реферат, рефераты скачать
 

Задача остовных деревьев в k–связном графе


каркасом) графа G. очевидно, что в каждом графе существует остов: разрушая

в каждой компоненте циклы, т.е. удаляя лишние ребра, придем к остову. Остов

в графе легко найти с помощью поиска в ширину.

Следствие 3.3. число ребер произвольного графа G, которые необходимо

удалить для получения остова, не зависит от

последовательности их удаления и равно m(G)-|G|+k(G), где

m(G) и k(G)–число ребер и число компонент графа G

соответственно.

Если (n1, m1)–граф Н является одной из компонент графа G, то для

превращения ее в остове дерево нужно удалить m1-(n1-1) подходящих ребер.

Суммируя по всем k(G) компонентам, получим требуемое.

Число ((G)=m(G)-|G|+k(G) называется циклическим рангом (или

цикломатическим числом) графа G. число ребер остова графа G называется

коциклическим рангом графа G. таким образом.

Очевидны три следствия 13.4–13.6.

Следствие 3.4. Граф G является лесом тогда и только тогда, когда ((G)=0.

Следствие 3.5. граф G имеет единственный цикл тогда и только тогда, когда

((G)=1.

Следствие 3.6. Граф, в котором число ребер не меньше, чем число вершин,

содержит цикл.

Утверждение 3.7. Если S и Т –два остова графа G, то для любого ребра е1

графа S существует такое ребро е2 графа Т, что граф также

является остовом.

Доказательство

Не ограничивая общности, будем считать граф G связным. Граф имеет

ровно две области связности; пусть это будут А и В. Поскольку граф Т

связен, то в нем существует ребро е2, один из концов которого входит в А, а

другой – в В. Граф Н=S-e1+e2 связен и число ребер в нем такое же, как в

дереве S. следовательно, он сам является деревом. Итак, Н–остов графа G.

Доказано.

Теорема 13.8. Центр любого дерева состоит из одной или из двух смежных

вершин.

Доказательство

Очевидно, что концевые вершины дерева Т являются центральными только

для T=K1 или T=K2.

Пусть Т дерево порядка n>2. Удалив из Т все концевые, получим дерево Т’.

Очевидно, что эксцентриситет Т на единицу меньше эксцентриситета дерева Т и

что центры деревьев Т и Т совпадают. Далее доказательство легео проводится

индукцией по числу веншин.Доказано.

Глава II

Связность

Связный граф был определен как граф, у которого любые две вершины

соединены цепью. Так, оба графа Кn и Cn связны, однако интуитивно ясно, что

при n>3 граф Kn «сильнее» связен, чем Cn. В этой главе вводится и

исследуются понятия, характеризующие степень связности графа.

§4 Вершинная связность и реберная связность.

Прежде чем ввести понятия вершинной и реберной связности, рассмотрим

одну математическую модель, возникающую, в частности, при проектировании и

анализе сетей ЭВМ. Имеется сеть, состоящая из центров хранения и

переработки информации. Некоторые пары центров соединены каналами. Обмен

информацией между любыми двумя центрами осуществляется либо непосредственно

по соединяющему их каналу, если он есть, либо через другие каналы и центры.

Сеть считается исправной, если каждая пара центров в состоянии обмениваться

информацией. Такой сети естественно сопоставить граф: вершины–центры,

ребра–каналы сети. Тогда исправной сети будет соответствовать связный граф.

Важным понятием является надёжность (живучесть) сети, под которой обычно

подразумевают способность сети функционировать при выходе из строя одного

или нескольких центров или (и) каналов. Ясно, что менее надежной следует

считать ту сеть, исправность которой нарушается при повреждении меньшего

количества элементов. Оказывается, надежность сети можно измерять на основе

вводимых ниже определений.

Числом вершин связности (или просто числом связности) [pic](G) графа G

называется наименьшее число вершин, удаление которых приводит к несвязному

или одновершинному графу.

Так, например, [pic](K1)=0, [pic](Kn)=n–1, [pic](Cn)=2.

Это вполне согласуется с интуитивным представлением том, что при n>3 граф

Kn сильнее связен, чем Cn.

Граф G, представленный на рис. 4.1 связен, но его связность можно

нарушить, удалив вершину 4. Поэтому [pic](G)=1. Если же попытаться нарушить

связность этого графа путем удаления ребер (а не вершин), то придется

удалить не менее трех ребер. Например, G распадается на две компоненты

[pic]

при удалении ребер {4,5}, {4,6}, {4,7}. Чтобы учесть это обстоятельство,

введем еще одно определение.

Пусть G–граф порядка n>1. Числом реберной связности [pic](G) графа G

назовем наименьшее число ребер, удаление которых приводит к несвязному

графу. Число реберной связности графа будем считать равным нулю, если этот

граф одновершинный.

В качестве иллюстрации снова обратимся к графу G на рис. 4.1 Здесь

[pic](G)=3 и, следовательно, [pic](G)>[pic](G). Ниже будет показано, что

противоположное неравенство невозможно ни для какого графа.

Определим некоторые элементы графа, играющие особую роль в дальнейших

рассмотрениях.

Вершина v графа G называется точкой сочленения (или разделяющей

вершиной), если граф G – v имеет больше компонент, чем G. В частности, если

G связен и v – точка сочленения, то G– v не связен. Аналогично ребро графа

называется мостом, если его удаление увеличивает число компонент.

Таким образом, точки сочленения и мосты – это своего рода «узкие

места» графа. Граф, изображенный на рис. 4.2, имеет три точки сочленения a,

b, c и один мост ab.

Понятно, что концевая вершина моста является точкой сочленения, если

в графе есть другие ребра, инцидентные этой вершине.

Возвращаясь к рассматриваемой в начале параграфа сети, нетрудно

заметить, что число вершинной связности и число реберной связности ее графа

отражают чувствительность сети к разрушению центров и каналов

соответственно, а мостам и точкам сочленения отвечают наиболее уязвимые

места сети.

Если [pic](G) – минимальная степень вершин графа G, то очевидно, что

[pic](G)[pic][pic](G), поскольку удаление всех ребер, инцидентных данной

вершине, приводит к увеличению числа компонент графа.

Выясним теперь соотношения между числами [pic](G) и [pic](G). Если

граф G не связен или имеет мост, то очевидно, что [pic](G)= [pic](G). Пусть

G– связный граф без мостов. Выберем в этом графе множество Е1, состоящее из

[pic]=[pic](G) ребер, удаление которых приводит к несвязному графу. Пусть

E2[pic] E1, |E2|=[pic]–1. Граф G – E2 связен и имеет мост, который

обозначим через uv. Для каждого ребра из множества Е2 выберем какую–либо

инцидентную ему вершину, отличную от u и v. Удалим теперь выбранные вершины

из графа. Этим самым будут удалены, в числе прочих, и все ребра, входящие в

Е2. Если оставшийся граф не связен, то [pic]=[pic](G)2. Тогда следующие утверждения

эквивалентны:

1) граф 2–связен;

2) любые две вершины графа принадлежат простому циклу;

3) любая вершина и любое ребро принадлежат простому циклу;

4) любые два ребра принадлежат простому циклу;

5) для любых двух вершин a и b и любого ребра е существует простая

(a,b)–цепь, содержащая е;

6) для любых трех вершин a,b,c существует простая (a,b)–цепь,

проходящая через с.

1)[pic]2). Пусть a и b–две вершины графа G. Рассмотрим множество всех

простых циклов графа G, содержащих а. Обозначим через U множество всех

вершин, входящих в эти циклы. Ясно, что U[pic]Ш. Действительно, простой

цикл, содержащий а, можно получить, объединить два ребра ax и ay (x?y) и

простую (x, y)–цепь, не проходящую через а (существующую согласно свойству

4)). Предположим, что b[pic]U, и положим [pic]=VG\U. Поскольку граф G

связен, то в нем найдется такое ребро zt, что z[pic]U, t[pic][pic](рис.

5.1). Пусть S–простой цикл, содержащий a и z. Так как G – 2-связный граф,

то в нем имеется простая (a, t)-цепь P, не содержащая z. Пусть v – первая,

считая от t, вершина, входящая в S, т.е. (t, v)-подцепь цепи P не имеет с S

общих вершин, отличных от v. Теперь легко построить простой цикл,

содержащий a и t. Он получается объединением (v, z)- цепи, проходящей через

а и являющейся частью S, с ребром zt и (t,v)-подцепью цепи Р (на рис. 5.1

этот цикл показан пунктирной линией). Следовательно, t[pic]; но это

противоречит выбору ребра zt. Таким образом, [pic]=Ш, т.е. a и b лежат на

общем простом цикле.

2)[pic]3). Пусть а–вершина и zt–ребро графа G. По условию G содержит цикл

S, проходящий через вершины a и z. Не теряя общности будем считать, что

zt[pic]S. Если при этом окажется, что S проходит через вершину t, то

требуемый цикл строится очевидным образом. Пусть S не проходит через t.

Тогда рассмотрим простой цикл S', проходящий через вершины t и a. Такой

цикл, по условию, существует. Частью этого цикла является простая цепь Р,

соединяющая t с некоторой вершиной v[pic]S. Цепь Р можно выбрать так, чтобы

[pic]

VP[pic]VS={v}. искомый цикл теперь строится точно так же, как в предыдущем

пункте.

3)[pic]4). Пусть ab и tz–два ребра графа G. По условию G имеет простые

циклы S и S', первый из которых содержит ab и z, а второй – ab и t. Далее

искомый цикл строится так же, как в предыдущих пунктах.

4)[pic]5). Пусть a,b [pic]VG, tz[pic]EG. Будучи связным, граф G содержит

простую цепь P=(a,x,…,b). Согласно утверждению 4) а графе G есть простой

цикл S, содержащий ребра ax, tz. Легко видеть, что в объединении S[pic]P

имеется требуемая цепь.

5)[pic]6). Пусть a,b,c[pic]VG, cd[pic]EG. По условию в графе имеется

простая (a,b)–цепь, проходящая через cd и, следовательно, содержащая c.

6)[pic]1). Пусть v[pic]VG. Покажем. Что граф G – v связен, т.е. любая a,b

его вершин соединена цепью. Действительно, согласно утверждению 6) в графе

G имеется простая (v,b)-цепь, которая, очевидно, не проходит через v и,

следовательно, является (a, b)-цепью и в графе G – v. Доказано.

Если в формулировке теоремы 34.1 заменить всюду слова «простая цепь»

и «простой цикл» соответственно на слова «цепь» и «цикл», то получим

аналогичную теорему о 2–реберно–связном графах.

Как отмечалось выше, при решении многих задач на графах достаточно

уметь решать эти задачи для каждой 2–связной компоненты графа. Поэтому

представляет интерес взаимное расположение 2–компонент в графе.

Максимальные относительное включения элементы множества связных

подграфов графа G, не имеющих точек сочленения, называются его блоками.

Таким образом, каждый блок графа либо 2–связен, либо совпадает с К2 или К1

(граф К1 – блок тогда и только тогда, когда он является связной

компонентой). Связный граф без точек сочленения также называют блоком.

[pic]

Множество вершин блока будем называть блоковым множеством.

Например, граф, изображенный на рис. 5.2, содержит пять блоков Bi

(i=1,2,3,4,5) (они обведены пунктирными линиями). Среди этих блоков В1, В2

и В3 –2-связные графы, а каждый из двух оставшихся является ребром.

Утверждение 5.2. Любые два блока графа имеют не более одной общей

вершины. В частности, всякое ребро графа входит

только в один его блок.

Утверждение 5.3. Если блок графа содержит вершины a и b, то он

содержит и всякую простую (a, b)-цепь этого графа.

Эти утверждения непосредственно следуют из перечисленных в начале

параграфа свойств 2–связных графов и теоремы 5.1.

Следствие 5.4. Система блоковых множеств графа является покрытием

множеств его вершин. Каждая пара блоковых множеств либо не пересекаются,

либо имеют единственную общую вершину, и эта вершина является точкой

сочленения графа.

Следующая конструкция дает представление о структуре графа «с

точностью до блоков». Пусть В=В{Bi} и С={ci} – соответственно множества

блоков и точек сочленения графа G. Сопоставим с G граф bc(G), у которого

B[pic]C – множество вершин и {Bici: B[pic]B, ci[pic]C, ci[pic]Bi} –

множество ребер. Тем самым, ребра двудольного графа bc(G) указывают на

принадлежность точек сочленения блоками. На рис. 5.3 представлены графы G и

bc(G).

Утверждение 5.5. Если граф G связен, то bc(G)–дерево.

Доказательство:

Очевидно, что из связности графа G вытекает связность графа bc(G).

[pic]

Предположим, что bc(G) содержит цикл С. Пусть этот цикл имет вид С=(c[pic],

b[pic],c[pic], b[pic],…,c[pic],b[pic],c[pic]). Каждый из блоков B[pic]

содержит (с[pic],с[pic])- цепь и объединение этих цепей дает простой цикл в

графе G. Обозначим этот цикл через С'. Ясно, что С' содержит по крайне мере

две вершины каждого из блоков B[pic]. Поэтому из утверждения 34.3 следует,

что цикл С' должен содержаться в каждом их этих блоков. Последнее означает,

что каждая пара блоков B[pic] имеет не менее |C'|[pic]3 общих вершин.

Получаем противоречие с утверждением 5.2. доказано.

Граф bc(G) называется bc–деревом связного графа G.

Блоки графа G, соответствующие концевым вершинам его bc–дерева, называются

концевыми блоками.

Похожее представление графа можно получить, положив в основу его

максимальные реберно-2-связные подграфы, т.е. максимальные связные

подграфы, не содержащие мостов. Такие подграфы называют листами. Не

останавливаясь на деталях заметим следующее. Каждая вершина графа порядка

n>1 принадлежит в точности одному листу и каждое ребро, не являющееся

мостом, входит только в один лист. Таким образом, граф состоит из листов и

мостов, соединяющих некоторые из них. Для описания строения графа «с

точностью до листов» можно ввести граф, аналогичный графу bc(G). Вершины

такого графа биективно соответствуют листам графа G и две его вершины

соединены ребром в том и только в том случае, когда соответствующая пар

листов в G соединена мостом. Можно показать, что введенный таким образом

граф является деревом, если исходный граф связен.

На рис. 5.4 граф G имеет 5 листов L1, L2, L3, L4, L5 и 4 моста, а граф

G' показывает, как связаны между собой листы графа G.

Приведем некоторые результаты о трехсвязных графах, которые будут

использованы в главе «Планарность».

[pic]

Пусть G–связный граф, H–некоторый его подграф. Простую открытую цепь .

графа G назовем H–цепь, если выполняются условия

v1[pic]VH, vk[pic]VH, vi[pic]VH, i=[pic]

ребро e=uv графа G также будем называть Н–цепь, если u[pic]VH, v[pic]VH,

e[pic]EH.

Лемма 5.6. Пусть G–двусвязный граф. Тогда для всякого его подграфа Н,

содержащего более одной вершины и отличного от G,

существует Н–цепь графа G.

Доказательство

Если Н–остовный подграф, то любое ребро графа G, не входящее в EH,

служит Н–цепью.

Пусть подграф не является остовным. Рассмотрим три попарно различные

вершины u[pic]VH, v[pic]VH, w[pic]VH. По теореме 5.1 в графе G есть проcтая

(u,v) – цепь, проходящая через w. Очевидно существование подцепи этой цепи,

являющейся Н – цепью графа G. Доказано.

Ниже для u,v[pic]VG положим Guv = G-u-v.

Теорема 5.7. Во всяком 3-связном графе G есть такое ребро uv, что

граф Guv не имеет точек сочленения.

Доказательство

Если |G|=n=4, то утверждение теоремы очевидно . Поэтому будем считать,

что n[pic]5. Предположим противное, т.е. что для любого ребра uv[pic]EG

граф Guv имеет хотя бы одну точку сочленения. Тогда на 3-связности графа G

следует, что при любом выборе ребра uv[pic]EG граф Guv обладает следующими

свойствами (рис. 5.5):

1) если а – висячая вершина графа Guv, то av[pic]EG, au[pic]EG;

2) всякий висячий блок графа Guv, не являющийся ребром , содержит

такую пару вершин с и d, отличных от точек сочленения графа Guv,

что uc[pic]EG, vd[pic]EG.

3) всякий блок графа Guv, имеющий ровно две точки сочленения и

отличный от ребра, содержит такую вершину l, не являющуюся точкой

сочленения графа Guv, что или ul[pic]EG.

[pic]

Обозначим через Buv максимальный по числу вершин блок графа Guv, а

через tuv– число вершин в этом блоке . Теперь выберем ребро uv так, чтобы

число tuv было наибольшим.

Покажем, что в этом случае tuv[pic]3. Пусть tuv=2 и а – висячая

вершина графа Guv (являющегося деревом). Так как n[pic]5, то существует

ребро cd[pic]EGuv. Из свойства 1) вытекает, что в графе Gcd существует цикл

(u,a,v,u), т.е. tcd>tuv. Получено противоречие, следовательно, tuv[pic]3.

Через Duv обозначим bc-дерево графа Guv и рассмотрим следующие случаи.

1. Дерево Duv не является цепью. Выберем в этом дереве цепь, соединяющую

пару висячих вершин и проходящую через вершину, соответствующую блоку

Buv. Этой цепи соответствует последовательность B1,…,Bp блоков графа

Guv, среди которых содержится блок Buv, причем блоки B1 и Bp являются

висячими (рис. 5.6).

Пусть B'– произвольный висячий блок графа Guv, отличный от B1 и Bp. Из

свойств 1) и 2) вытекает существование таких отличных от точек сочленения

графа Guv вершин a[pic]VB1, b[pic]VBp, c[pic]VB', uc[pic]EG, va[pic]EG,

vb[pic]EG. Тогда в графе Guc вершины множества [pic] входят в один блок и,

следовательно, tuvtuv, и снова получаем противоречие.

3. Дерево Duv – цепь и Buv – висящий блок графа Guv. Если граф Guv

содержит такое ребро xy, что VBuv[pic]{x, y}=Ш, то, используя свойство

2), легко показать, что в графе Gxy есть блок, содержащий множество

вершин VBuv[pic]{x, y}, а, значит tuv1 не во всяком графе G с реберной

связностью [pic](G)[pic]k существуют k непересекающихся по ребрам связных

остовов. Из ранее известных результатов «глобальным ананлогом» теоремы

Менгера в некоторой степени является доказанный результат: в графе G с

реберной связностью [pic](G)[pic]k существуют k остовных деревьев T1, T2,

…, Tk такие, что для любого j от 1 до k объединение деревьев T1, T2, …, Tj

дает j–реберно связный граф.

В настоящей работе мы рассматриваем еще один глобальный аналог теоремы

Менгера: будет доказано, что при [pic](G)[pic]2k в графе G существует k

остовных деревьев, не имеющих общих ребер. Мы докажем необходимость условия

[pic](G)[pic]2k при k>1. Более того, мы построим примеры (2k-1)–связныцх

графов, у котороых минимальная степень вешины больше любого заданного

числа, но среди любых k связных остовов какие–то два имеют общее ребро.

В нашей работе используется редукционная техника, которую разработал

. Введем необходимые понятия и обозначения.

Пусть W– множество из нескольких вершин графа G. Через G-W мы, как

обычно, будем обозначать граф, полученный из G при удалении всех вершин

множества W и всех выходящих из них ребер. Пусть F– множество из нескольких

ребер графа G. Через G-F мы , будем обозначать граф, полученный из G при

удалении вcех ребер множества F.

Для произвольной вершины x графа G через dG(x) мы будем обозначать

степень вершины x в графе G(V, E). Для x[pic]V, A[pic]V через dG(x, A)

обозначим количество ребер, соединяющих вершину x с вершинами множества A

(с учетом кратных ребер). Минимальную степень вершины в графе G будем

обозначать через[pic](G), a максимальную степень– через[pic](G).

Пусть z–вершинa четной степени в графе G. Рассмотрим граф G-z,

разобъем на пары все вершины, смежные в графе G с z и соединим вершины в

парах. Полученный граф Gz назовем разрезом графа G по вершине z.

§7. Построение k непересекающихся остовных деревьев.

Теорема 7.1. Пусть граф G(V, E) таков что [pic](G)=k, а вершина

z[pic]V не является точкой сочленения. Тогда существует

такой разрез Gz графа G по вершине z, что для любых

x,y[pic]V\{z} выполняется соотношение ((x, y, Gz)=((x, y,

G) и, в частности [pic](Gz)[pic] [pic](G).

Замечание. Доказательство обобщается на случай , когда вершина z–точка

сочленения, но ни одно из ребер с концами в z не является мостом. В

частности, при [pic](G)[pic]2 для любой вершины z существует разрез по z

такой, что [pic](Gz)[pic] [pic](G).

Теорема 7.1 позволяет редуцировать граф, не уменьшая реберной

связности. Это открывает широкие возможности для построения различных

конструкций. В наших конструкциях также использует последовательные разрезы

графа по вершинам опирается на теорему 7.1.

Для построения нам также потребуется классический результат

относительно минимально k–связных графов.

Теорема 7.2. Пусть степени всех вершин мультиграфа G(V, E) строго

более k и [pic](G)[pic]k. Тогда существует ребро e[pic]E

такое, что [pic](G-e)[pic]k.

Замечание. Впервые результат теоремы 7.2 для графов без кратных ребер

доказал . Это доказательство обобщается на случай мультиграфа .

Перейдем к доказательству основного результата настоящей работы.

Теорема 7.3. Пусть мультиграф G(V, E) (в нем допускается наличие

кратных ребер, но запрещены петли) таков, что

[pic](G)[pic]2k. Тогда у мультиграфа G существуют попарно

k непересекающиеся ребра остовных дерева.

Доказательство. Будем доказывать теорему индукцией по количеству

вершин в мультиграфе G0. База для мультиграфа с двумя вершинами

очевидна. Предположим, что теорема доказана для любого 2k– реберно

связного мультиграфа, у которого меньше вершин, чем у G. По теореме

7.2, у графа G(V, E) существует остовный подграф G0(V, E0), такой, что

[pic](G0)=2k и одна из его вершин z[pic]V имеет степень d[pic](z)=2k.

Очевидно , что граф G0–z связен, следовательно, по теореме 7.1

существует разрез G[pic] графа G0 по вершине z такой, что

[pic](G[pic])[pic]2k. Если в графе G[pic] есть петли, то уберем их. Из

условия [pic](G[pic])[pic]2k следует, что графа G1, полученного из

G[pic] в результате удаления петель, выполняется условие

[pic](G1)[pic]2k.

Назовем новыми ребра графа G1, добавленные при разрезе по вершине z.

Пусть этo ребра e1, …, em. Поскольку при построении разреза было добавлено

k ребер, после чего были удалены петли, то m[pic]k. По индукционному

предположению, у графа G1 существуют непересекающиеся по ребрам остовные

деревья T1, T2, …, Tk. Опишем метод построения по каждому из этих k

деревьев остовного графа G. Все ребра, которые могут входить в деревья T1,

T2, …, Tk, либо являются ребрами графа G, либо новыми ребрами. Пусть дерево

Ti содержит mi новых ребер, тогда

m1+m2+…+mk[pic]m[pic]k

(1)

Если дерево Ti не содержит ни одного нового ребра, то оно является

подграфом мультиграфа G. Поскольку множество вершин дерева Ti содержит все

вершины графа G, кроме z, то добавив к Ti вершину z и любое ребро графа G с

концом в z, мы получим остовное дерево T'i графа G. Отметим, что в этом

случае для построения дерева T'i потребовалось одно ребро графа G,

инцидентное вершине z (причем это ребро можно выбрать произвольно).

Предположим, что mi>0, то есть дерево Ti содержит новые ребра.

Поставим в соответствие дереву Ti подграф Ti* графа G, в котором каждое

новое ребро xy дерева Ti заменим на два ребра xy и yz графа G. Каждое новое

ребро в дереве Ti соответствует двум ребрам в графе Ti*, при этом, к

вершинам дерева добавляется вершина z. Следовательно, мы получили связный

остовный подграф Ti* графа G, в котором количество ребер на mi-1 больше ,

чем в дереве. Таким образом, в графе Ti* ровно mi-1 цикл, причем не трудно

заметить, что каждый из этих циклов проходит через вершину z.

Следовательно, из графа Ti* можно удалить mi-1 инцидентных вершине z ребер

так, что получится отстовное дерево Ti' графа G. В дерево Ti' входит mi+1

ребро, инцидентное вершине z. По построению очевидно, что при i[pic]j, mi>0

и mj>0 остовные деревья Ti' и Tj' графа не имеют общих ребер.

Пронумеруем k непересекающихся по ребрам остовных деревьев графа G

таким образом, чтобы деревья T1, …, Tn содержали новые ребра, а деревья

Tn+1, …, Tk не содержали новых ребер (где 0[pic]). С помощью описанного

выше способа построим по остовным деревьям T1, …, Tn графа G1 остовные

деревья T'1, …, T'n графа G, никакие два из этих деревьев не будут иметь

общих ребер. Всего при построении этих n деревьев использовано

(m1+1)+…+(mn+1) ребер графа G, инцидентных вершине z. В силу неравенства

(1), мы получаем, что

(m1+1)+…+(mn+1)=(m1+m1+…+m1)+n[pic] (2)

Следовательно, в силу неравенства (2), и так как dG(z)[pic], остались

неиспользованными еще хотя бы n-k ребер графа G, инцидентных вершине z.

Для дополнения каждого из оставшихся деревьев Tn+1, …, Tk до остовного

дерева графа G требуется еще по одному ребру, инцидентному вершине z,

причем это ребро можно выбрать произвольно. Таким образом, мы можем

построить попарно k непересекающихся по ребрам отстовных дерева графа G.

§8 Необходимость условия [pic](G)[pic]2k.

Мы покажм необходимость условия [pic](G)[pic]2k для выделения k

попарно непересекающихся по ребрам остовных деревьев из графа G. Более

того, при n>1 для любого n мы построим (2k-1)–вершинно связный граф Gn, у

которого степени всех вершин более n, но среди любых k связных остовов

графа Gn какие–то два имеют общее ребро. Таким образом, ослабление условия

реберной 2k–связности нельзя «компенсировать», накладывая допoлнительно

условия на минимальную степень вершины и условие вершинной (2k-

1)–связности. Перейдем к построению серии примеров.

Определение.8.1. Пусть A[pic]V–множество из некотрорых вершин графа G(V,

E). Определим граф GA с множеством вершин (V\A)[pic] (где a[pic]). Удалим в

графе G все ребра между вершинами из множеcтва А, объединим все вершины

множемтва А в одну новую вершину а. Для любой вершины b[pic], мы добавим

ровно dG(b, A) ребер ab. Все вершины из V\A и соединяющие их ребра в графе

GA будут же, как и в графе G. Назовем построенный граф GA стягиванием графа

G по множеству А.

Лемма 8.2. Пусть в графе G(V, E) есть k попарно непересекающихся по ребрам

остовных дерева. Тогда для любого A[pic]V в графе GA также есть k

попарно непересекающихся по ребрам остовных дерева.

Доказательство. Пусть T1, T2,…, Tk –остовные деревья графа G. По

определению стягивания нетрудно заметить, что графы TA1, TA2,…, TAk связны

и никакие два из них не имеют общих ребер.

Определние 8.3. Пусть граф H(V, E) не имеет кратных ребер, a[pic]V,

n>dH(a). Пусть граф H[pic] получен из Н в результате замены вершины а на

полный грaф Kn, причем все ребра, инцидентные вершине а в графе Н, в H[pic]

будут из разных вершин соответствующего Н полного графа Kn.

Для n>[pic] определим граф Hn, в котором каждую вершину а графа H

заменим полным графом Kn (других вершин в Hn нет). Для каждого ребра ab

графа Н проведем в графе Hn ребро, соединяющее какие–то две вершины из

соответствующих a и b полных графов (такие ребра графа Hn мы назовем

главными). При этом, мы проведем главные ребра так, чтобы никакие два из

них не имели общего конца (это возможно так, как n>[pic]).

Текст программы

unit diplom;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls,

Forms, Dialogs,

StdCtrls, Buttons, ExtCtrls, Menus, CheckLst, ActnList;

type

masiv = set of byte;

TForm1 = class(TForm)

BitBtn1: TBitBtn;

Image1: TImage;

Image2: TImage;

ComboBox1: TComboBox;

Label1: TLabel;

procedure Image1MouseDown(Sender: TObject; Button:

TMouseButton;

Shift: TShiftState; X, Y: Integer);

procedure Image1MouseUp(Sender: TObject; Button:

TMouseButton;

Shift: TShiftState; X, Y: Integer);

procedure FormActivate(Sender: TObject);

procedure ComboBox1Change(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

function Proverka(ind: byte): boolean;

procedure Newselect(ind: byte);

procedure Duga(ind:byte);

procedure Graph;

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;i:integer;

b,b1,b2,b4:boolean;

Data: array[1..20] of record x1,y1:integer;end;

matr,matr_edit:array[1..40,1..40] of integer;

mas_x,mas_y : masiv;

x2,y2:integer;

implementation

{$R *.DFM}

//************************esli mouse

najata*****************************

procedure TForm1.Image1MouseDown(Sender: TObject; Button:

TMouseButton;

Shift: TShiftState; X, Y: Integer);

begin

canvas.MoveTo(x,y); x2:=x;y2:=y;

if (ssleft in Shift) then b:=true

else

if (ssRight in Shift) then b:=false else

end;

procedure TForm1.Image1MouseUp(Sender: TObject; Button:

TMouseButton;

Shift: TShiftState; X, Y: Integer);

var k,k1:integer;

begin

if b then

begin

Canvas.Brush.Color := clRed;

canvas.Ellipse(x-10,y-10,x+10,y+10);

inc(i);

canvas.TextOut(x-3,y-6,inttostr(i));

Data[i].x1:=x;Data[i].y1:=y;

combobox1.items.Append(inttostr(i));

end

else

//risovanie peteli

if (x=x2) and (y=y2) then begin

for k:=1 to i do

if (sqr(X-data[k].x1)+sqr(Y-data[k].y1)i2)) then

begin

s_1[v]:=i2;inc(v);

end;

if v=3 then

begin

a2:=data[s_1[1]].x1;d2:=data[s_1[1]].y1;

a1:=data[s_1[2]].x1;d1:=data[s_1[2]].y1;

a:=round((sqr(a1)+sqr(d1)-sqr(a2)-sqr(d2))/(2*(a1+d1-a2-d2)));

b:=a;

R:=sqrt(sqr(a2-a)+sqr(d2-b));

image2.canvas.pen.color:=clblue;

image2.Canvas.arc(round(a-R),round(a-

R),round(a+R),round(a+R),a1,d1,a2,d2);

v:=1;

end;

end;end;

//*******vybor vershin************************************

procedure TForm1.ComboBox1Change(Sender: TObject);

begin

if combobox1.ItemIndex = 0 then

Graph

else

begin

newselect(combobox1.ItemIndex);

duga(combobox1.ItemIndex); end;

end;

end.

Вывод Целью моей дипломной работы была исследовать задачу на построение

разреза в графе по вершине z. Был разработан алгоритм, который

строит разрез по заданому графу. По данному алгоритму была написанна

программа. Алгортм заключался в следующем: задается граф, по нем

строится матрица смежности. В матрице суммируется строка и если при

делении на два остаток от деления равен нулю, тогда данную вершину

удаляют, а те вершины которые были смежные с ней соединяются между

собой.

Страницы: 1, 2


ИНТЕРЕСНОЕ



© 2009 Все права защищены.