Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)

Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)

Формулы сокращенного умножения

(а ( в)2 = а2 ( 2ав + в2

(а ( в)3 = а3 ( 3а2в + 3ав2 ( в3

а2 ( в2 = (а + в) (а ( в)

а3 + в3 = (а + в) (а2 ( ав + в2)

а3 ( в3 = (а ( в) (а2 + ав + в2)

(а + в + с)2 = а2 + в2 + с2 +2ав +2ас +2вс

Степени.

ам ан = ам + н

ам ( ан = ам ( н

(ав)м = ам вм

(ам)н = амн

(а ( в)м = ам ( вм

а( м = 1 ( ам

ам ( н = н( ам

Корни.

н(ав =н(а н(в

н(а м(в = н м(ам вн

н(а ( в = н(а ( н(в

(н(ам)х = н(ам х

н(ам = ам/н

м(н(а = мн(а

(н(а)м = н(ам

Арифметическая прогрессия.

а1, а2, а3, …, а n-1, аn

а n-1 - аn = d

d – разность прогрессии

а2 = а1+ d

а3 = а2 + d = а1 + 2d

аn = а1 + d(n-1)

Sn = (а1 + аn) n = (2а1 + ( n-1) d) n

2 2

Sn – сумма членов арифметической

прогрессии.

d – разность прогрессии.

d > 0 – прогрессия возрастающая

d < 0 – прогрессия убывающая.

Геометрическая прогрессия.

а1, а2, а3, …, а n-1, аn

а n+1 / аn = q

а2 = а1 q

q - знаменатель прогрессии.

а3 = а2 q = а1 q2

аn = а1 q n-1

Сумма членов для возрастающей

прогрессии (q > 1)

Sn = аn q - а1 = а1 (qn -1 ( q – 1)

q – 1

Сумма членов для убывающей прогрессии (q < 1)

Sn = а1 (1 - qn)

1 - q

Сумма членов бесконечно убывающей

Прогрессии

Sn = а1

1 - q

Вектора.

а = М1М2 =(х2 – х1, у2 – у1, z2 –z1(

Длина вектора

(а (=((х2 - х1)2 +(у2 - у1)2 + (z2 - z1)2

Умножение вектора на число

( а = d

Скалярное произведение векторов

а в = (а ((в (cos (

cos ( = х1х2 + у1у2 + z1z2

(х12 + у12 +z12 (х22 +у22 + z22

а2 = (а (2

а в = х1х2 + у1у2 + z1z2

Параллельность векторов

а ((в, то х1 = у1 = z1

х2 у2 z2

Перпендикулярность векторов

а ( в, то х1х2 + у1у2 + z1z2

Производная.

(c u)( = с u(

u ( = u( v – u v(

v v2

(c)( = 0

(xn )( = n xn-1

(ax)( = ax ln a

(ех )( = ех

(sin x)( = cos x

(cos x)( = - sin x

(tg x)( = 1

cos2 x

(ctg x)( = - 1

sin2 x

(ln x)( = 1

х

(1 / х)( = - 1

х2

((х)( = 1

2 (х

(х)( = 1

Логарифмы.

logав = с

logа 1 = 0

logа а = 1

logа (m n) = logа m + logа n

logа m = logа m - logа n

n

logа m n = n logа m

logа n (m = 1 logа m

n

logав = logсв

logс а

Основные тригонометрические тождества

sin2x + cos2x = 1

tg x = sin x

cos x

ctg x = cos x

sin x

1 + ctg2 x = 1

sin2 x

1 + tg2 x = 1

cos2 x

tg x ctg x = 1

Формулы сложения и вычитания

sin (( ( () = sin( cos( ( cos( sin(

cos (( ( () = cos( cos( ( sin( sin(

tg (( ( () = (tg( ( tg()

(1 + tg( tg()

ctg (( ( () = ctg( ctg( ( 1

ctg( ( ctg(

sin( + sin( = 2 sin (( + () cos (( ( ()

2. 2

sin( ( sin( = 2 cos (( + () sin (( ( ()

2. 2

cos( + cos( = 2 cos (( + () cos (( ( ()

2. 2

cos( ( cos( = ( 2 sin (( + () sin (( ( ()

2. 2

tg( ( tg( = sin (( ( ()

cos( cos(

ctg( ( ctg( = sin (( ( ()

sin( sin(

sin2( ( sin2( = cos2( ( cos2( =

sin (( + () sin (( ( ()

cos2( ( sin2( = cos2( ( sin2( =

cos (( + () cos (( ( ()

Связь между тригонометрическими функциями

sin( = ( (1 ( cos2(

sin( = tg(

( (1 + tg2(

sin( = 1

( (1 + ctg2(

cos( = ( (1 ( sin2(

cos( = 1

( (1 + tg2(

cos( = ctg(

( (1 + ctg2(

tg( = sin(

( (1 ( sin2(

tg( = ( (1 ( cos2(

cos(

tg( = 1

ctg(

ctg( = ( (1 ( sin2(

sin(

ctg( = cos(

( (1 ( cos2(

ctg( = 1

tg(

Формулы преобразования произведения

sin( sin( = cos (( ( () ( cos (( + ()

2

cos( cos( = cos (( ( () + cos (( + ()

2

sin( cos( = sin (( + () + sin (( ( ()

2

tg( tg( = tg( + tg(

ctg( + ctg(

ctg( tg( = ctg( + tg(

tg( + ctg(

ctg( ctg( = ctg( + ctg(

tg( + tg(

Формулы двойных углов

sin2( = 2 sin( cos(

sin( = 2 sin (() cos (()

cos2( = cos2( ( sin2( =

= 1 ( 2sin2( =

= 2cos2( ( 1

tg2( = 2 tg(

1 ( tg2(

= 2

ctg( ( tg(

tg( = 2 tg ((/2)

1 ( tg2 ((/2)

ctg2( = ctg2( ( 1

2 ctg(

= ctg( ( tg(

2

ctg( = ctg2 ((/2) ( 1

2 ctg ((/2)

sin x = a

x = (-1)n arksin a + (n

cos x = a

x = ( arkcos a + 2(n

tg x = a

x = arktg a + (n

ctg x = a

x = arkctg a + (n

Формулы приведения

sin (( /2 ( () = + cos(

sin (( /2 + () = + cos(

sin (( ( () = + sin(

sin (( + () = ( sin(

sin (3(/2 ( () = ( cos(

sin (3( /2 + () = ( cos(

sin (2( ( () = ( sin(

sin (2( + () = + sin(

----------------

cos ((/2 ( () = + sin(

cos ((/2 + () = ( sin(

cos (( ( () = ( cos(

cos (( + () = ( cos(

cos (3(/2 ( () = ( sin(

cos (3(/2 + () = + sin(

cos (2( ( () = + cos(

cos (2( + () = + cos(

-----------------

tg ((/2 ( () = + ctg(

tg ((/2 + () = ( ctg(

tg (( ( () = ( tg(

tg (( + () = + tg(

tg (3(/2 ( () = + ctg(

tg (3(/2 + () = ( ctg(

tg (2( ( () = ( tg(

tg (2( + () = + tg(

-------------

ctg ((/2 ( () = + tg(

ctg ((/2 + () = ( tg(

ctg (( ( () = ( ctg(

ctg (( + () = + ctg(

ctg (3(/2 ( () = + tg(

ctg ((/2 + () = ( tg(

ctg (2( ( () = ( ctg(

ctg (2( + () = + ctg(

sin (( () = ( sin(

cos (( () = cos(

tg (( () = ( tg(

В прямоугольном треугольнике

a2 + b2 = c2

a = c sin(

a = b tg(

b = c cos(

теорема синусов:

a = b = c

sin( sin( sin(

теорема косинусов:

a2 = b2 + c2 ( 2 bc cos(

S = Ѕ ab

Площади фигур

Прямоугольник

S = a b = Ѕ d1 d2 sin(,

d1 и d2 - диагонали

( - угол пересечения диагоналей

Параллелограмм

S = a h = a b sin(

S = Ѕ d1 d2 sin(

Трапеция

S = a + b h = Ѕ d1 d2 sin(

2

Круг

S = l r = ( r2

2

ТРЕУГОЛЬНИК

S = Ѕ ah = Ѕ ab sin(

Формула Герона:

S = ( p (p ( a) (p ( b) (p ( c)

p = a +b + c

2

Площадь треугольника описанного окружностью:

S = a b c

4r

Площадь треугольника с вписанной окружностью:

S = Ѕ r P

где Р – периметр

радиус описанной окружности:

R = a b c

4S

радиус вписанной окружности:

r = 2S

a + b + c

длина окружности:

l = 2(r

Квадрат

S = a2 = d2/2

Ромб

S = a2 sin( = ah = Ѕ dD

где d - малая диагональ

D - большая диагональ

Объемы тел:

Параллелепипед

V = Sосн h

Куб

V = abc = a3

Призма

V = Sосн h = S(сеч l

l - грань призмы

Пирамида

V = 1/3 Sосн h

Цилиндр

V = Sосн h = ( r2 h = 1/4( d2 h

r - радиус основания

d - диаметр основания

Конус

V = 1/3 Sосн h = 1/3 ( r2 h

Шар

V = 4/3 ( r3

Площади поверхностей

Призма

Sп = Sбок + 2Sосн

Sбок = ph = S(сеч l

p = a + b +c

Куб

Sп = 6a2

Пирамида четырехугольная

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = Ѕ Pосн h

h – высота боковой грани

Пирамида треугольная

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = Sосн cos(

( - угол наклона грани

Цилиндр

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = 2( rh

Sосн = 2(r (h + r)

Конус

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = (rl

Sосн = (r (l + r)

Параллелепипед

Sп = Sбок + 2Sосн

Sбок = Pосн l

Шар

S = 4 (r2

Значения углов

( 0 (/6 (/4 (/3 (/2 (

sin 0 Ѕ (2/2 (3/2 1 0

cos 1 (3/2 (2/2 Ѕ 0 -1

tg 0 1/(3 1 (3 - 0

ctg - (3 1 1/(3 0 -

[pic]