| |||||
МЕНЮ
| АркфункцииАркфункцииПримеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции. Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики. Решение: Рассмотрим 1-ю функцию y = arcsin(1/x) Д(f): | 1/x | ? 1 , | x | ? 1 , ( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? ) Функция нечетная ( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;?/2] ) Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-?/2; ?/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x) Д(f): ( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? ) Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2). Решение: Д(f): [-1;1] Четная f(x) убывает на пр. [0;1] f(x) возрастает на пр. [-1;0] Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x). Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2 f(z) убывает на пр. [-1;1] от ? до 0. f(y) убывает на пр. [-1;1] от ?2 до 0. Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1)) Решение: Д(f): ( - ? ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +? ) Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках: [ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +? ) |X |0 |< x |1 |< x |+? | | | |< | |< | | |u=1/(x2-1|-1 |? |+ ? |? |0 | |) | | |- ? | | | |y=arctg(u|- |? |?/2 |? |0 | |) |?/4 | |- ?/2| | | Тригонометрические операции над аркфункциями Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой- либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение. В силу определения аркфункций: sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x (справедливо только для x є [-1;1] ) tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x (справедливо при любых x ) Графическое различие между функциями, заданными формулами: y=x и y=sin(arcsin(x)) Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями. |Аргумент |arcsin(x) |arccos(x) |arctg(x) |arcctg(x) | | | | | | | |функция | | | | | |sin |sin(arcsin(x))=|[pic] |[pic] |[pic] | | |x | | | | |cos |[pic] |x |[pic] |[pic] | |tg |[pic] |[pic] |x |1 / x | |ctg |[pic] |[pic] |1 / x |x | Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже: 1. Т.к. cos2x + sin2x = 1 и ? = arcsin(x) [pic] [pic] Перед радикалом [pic]следует взять знак “+”, т.к. дуга [pic]принадлежит правой полуокружности (замкнутой) [pic], на которой косинус неотрицательный. Значит, имеем [pic] 2. Из тождества [pic]следует: [pic] 3. Имеем [pic] 4. [pic] Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул. Пример №1. Преобразовать выражение [pic] Решение: Применяем формулу [pic], имеем: [pic] Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств: [pic] [pic] Пример №3. Пользуясь ... [pic] Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества: [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] Пример №5. Положив в формулах [pic], и [pic] [pic], получим: [pic], [pic] Пример №6. Преобразуем [pic] Положив в формуле [pic], [pic] Получим: [pic] Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга [pic]принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная. Соотношения между аркфункциями Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг. Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества: [pic] [pic] Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов). Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности. Пусть, например, рассматривается дуга ?, заключенная в интервале (- ?/2; ?/2). Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга [pic]имеет синус, равный sin? и заключена, так же как и ?, в интервале (-?/2; ?/2), следовательно [pic] Аналогично можно дугу ? представить в виде арктангенса: [pic] А если бы дуга ? была заключена в интервале ( 0 ; ? ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса: [pic] Так, например: [pic] [pic] Аналогично: [pic] Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней). 1. Выражение [pic][pic]через арктангенс. Пусть [pic], тогда [pic] Дуга [pic], по определению арктангенса, имеет тангенс, равный [pic] и расположена в интервале (-?/2; ?/2). Дуга [pic]имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-?/2; ?/2). Следовательно, [pic] (1) (в интервале ( -1 : 1 ) 2. Выражение [pic]через арксинус. Т.к. [pic], то [pic] (2) в интервале [pic] 3. Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства [pic]следует тождество [pic] (3) Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например, [pic] Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции. Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -?/2 до 0, либо промежутку от ?/2 до ? и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку. Так, например, дуга [pic] не может быть значением арксинуса. В этом случае [pic] Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях. 4. Выражение арксинуса через арккосинус. Пусть [pic], если [pic], то [pic]. Дуга имеет косинус, равный [pic], а поэтому [pic] При [pic]это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае [pic], а для функции [pic]имеем: [pic] так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень [pic], т.е. число неотрицательное. Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке: Х>0 X0, и [pic] Таким образом, имеем окончательно: [pic]если [pic], (4) [pic], если [pic] График функции [pic] Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом: [pic], если [pic] [pic], если [pic] 5. Аналогично установим, что при [pic]имеем: [pic], если же [pic], то [pic] Таким образом: [pic] [pic], если [pic] (5) [pic], если [pic] 6. Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения [pic] при [pic]имеем: [pic] Если же х0 (8) [pic],если x0 равенство (8) легко установить; если же x0 (11) [pic], если x0 -? , если x 0, y > 0 для дуги ? имеет место одна из следующих двух систем неравенств: а) [pic] б) [pic] Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства: [pic] в случае а) и [pic] в случае б) В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия [pic] и [pic](соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений. Вычислив [pic], получим: [pic] При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е. [pic]или [pic] Откуда [pic] и, следовательно, [pic] Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств [pic]; но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому [pic] или [pic] Случай 2. [pic] В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия [pic]получим [pic] Случай 3. [pic] Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и [pic] Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю: [pic] откуда [pic] Дуги ? и [pic] имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) [pic], следовательно в случае 1 [pic]; в случае 2 [pic] и в случае 3 [pic]. Итак, имеем окончательно: [pic] , [pic] или [pic] [pic] [pic]; x > 0, y > 0, и [pic] (1) [pic]; x < 0, y < 0, и [pic] Пример: [pic] [pic]; [pic] 2. Заменив в (1) x на –x получим: [pic] , [pic] или [pic] [pic] [pic]; x > 0, y > 0, и [pic] (2) [pic]; x < 0, y < 0, и [pic] 3. Выразить сумму [pic]через арккосинус [pic] и [pic] имеем [pic] Возможны следующие два случая. Случай 1: [pic]если [pic], то [pic] Приняв во внимание, что обе дуги [pic]и [pic]расположены в промежутке [0;?] и что в этом промежутке косинус убывает, получим [pic] и следовательно, [pic], откуда [pic] Случай 2: [pic]. Если [pic], то [pic], откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим [pic]. Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если [pic], а случай 2, если [pic]. Из равенства [pic] следует, что дуги [pic] и [pic] имеют одинаковый косинус. В случае 1 [pic], в случае 2 [pic], следовательно, [pic] [pic], [pic] [pic], [pic] (3) 4. Аналогично [pic] [pic], [pic] [pic], [pic] (4) пример: [pic] 5. [pic]; xy < 1 [pic] [pic]; x > 1, xy > 1 (5) [pic]; x < 0, xy > 1 При xy=1 не имеет смысла 6. [pic]; xy > -1 [pic] [pic]; x > 0, xy < -1 (6) [pic]; x < 0, xy < -1 7. [pic]; [pic] [pic] [pic]; [pic] (7) [pic]; [pic] 8. [pic] [pic]; [pic] (8) [pic]; [pic] 9. [pic]; [pic] [pic] [pic]; x > 1 (9) [pic]; x < -1 10. [pic] (10) [pic] (11) [pic] [pic] , если [pic] (12) [pic], если [pic] ----------------------- ?/2 -?/2 0 1 -1 [pic] [pic] -1 1 0 x ?/2 y x y y x [pic] -1 1 0 ?/2 ? [pic] y x -1 1 0 y x -?/4 -1 1 0 -?/2 ?/2 x y 0 0 y x 1 -1 x y 1 -1 arcsin(x) arccos(x) [pic] [pic] [pic] [pic] 1 -1 [pic] X Y [pic] -? ? X Y [pic] -? ? 0 Х Y [pic] |
ИНТЕРЕСНОЕ | |||
|