реферат, рефераты скачать
 

История открытия комплексных чисел


История открытия комплексных чисел

[pic][pic]

“Помимо и даже против воли

того или другого математика,

мнимые числа снова и снова

появляются на выкладках, и

лишь постепенно по мере того

как обнаруживается польза от

их употребления, они получают

более и более широкое

распространение” Ф. Клейн.

Автор: Соловьев Алексей 12а.

[pic]

ревнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа.

Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных

чисел.

В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого

громадного как [pic]. Наряду с натуральными числами применяли дроби -

числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах

дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем

Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается

или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть

дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что “… элементы

чисел являются элементами всех вещей и весь мир в челом является гармонией

и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным

одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со

стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для

того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание

утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической

математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не

прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.

Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение

отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века

до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик

Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже

подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом.

С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения

величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из

положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а

из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа

[pic], чтобы [pic].

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым

извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения

кубических уравнений вида [pic] кубические и квадратные корни: [pic].[pic]

Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один

действительный корень ([pic]), а если оно имеет три действительных корня

([pic]), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число.

Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию

извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как

были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для

решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX

веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени [pic] нельзя решить

алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины

a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание,

умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).

В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень

которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее

всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа)

n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были

убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных

случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была

доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой

природы. Он показал, что система уравнений [pic], не имеющая решений во

множестве действительных чисел, имеет решения вида [pic], [pic], нужно

только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной

алгебры и считать что [pic]. Кардано называл такие величины “чисто

отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их

бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких

чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни

изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга

итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые

правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из

них кубических корней. Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский

математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков

XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского

слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа [pic] (мнимой единицы).

Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин

“комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс

(от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий,

предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых

чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже

XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала

из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на

следующей формуле английского математика А. Муавра (1707): [pic][pic]. С

помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и

синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу :

[pic], которая связывала воедино показательную функцию с

тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число

e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что [pic]. Можно

находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел,

то есть строить теорию функций комплексного переменного.

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что

математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых

чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в

теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше

швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения

интегралов.

Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие

вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией,

гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования

теории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал, что

результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение,

приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми

доказательствами.

“Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при

вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только

алгебраические формы иероглифы нелепых количеств” Л. Карно.

В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое

истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и

немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное

число [pic] точкой [pic] на координатной плоскости. Позднее оказалось, что

еще удобнее изображать число не самой точкой M, а вектором [pic], идущим в

эту точку из начала координат. При таком истолковании сложение и вычитание

комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор [pic]

можно задавать не только его координатами a и b, но так же длиной r и

углом j, который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При

этом [pic], [pic] и число z принимает вид [pic], который называется

тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем

комплексного числа z и обозначают [pic]. Число [pic] называют аргументом z

и обозначают ArgZ. Заметим, что если [pic], значение ArgZ не определено, а

при [pic] оно определено с точностью до кратного [pic]. Упомянутая ранее

формула Эйлера позволяет записать число z в виде [pic] (показательная форма

комплексного числа).

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие

понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область

их применения.

Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют

дело с величинами, которые изображаются векторами [pic]на плоскости: при

изучении течения жидкости, задач теории упругости.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании

“гиперкомплексных” чисел - чисел с несколькими “мнимыми” единицами. Такую

систему вида [pic], где [pic], построил в 1843 году ирландский математик У.

Гамильтон, который назвал их “кватернионами”. Правила действия над

кватернионами напоминает правила обычной алгебры, однако их умножение не

обладает свойством коммутативности (переместительности): например, [pic],

а [pic]. Гиперкомплексные числа не являются темой моего реферата, поэтому я

лишь упоминаю об их существовании.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли

русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к

упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике, Н. Н.

Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.

Список используемой литературы:

“Энциклопедический словарь юного математика”

“Школьный словарь иностранных слов”

“Справочник по элементарной математике” М. Я Выгодский


ИНТЕРЕСНОЕ



© 2009 Все права защищены.