История тригонометрии в формулах и аксиомах

Тригонометрические функции

Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает

измерение треугольников ((((((((( - треугольник, а ((((((- измеряю).

В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение

треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов

треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических

задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других

приводятся к задаче решения треугольников.

Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и

строительным делом.

Впервые способы решения треугольников, основанные на изависимостях

между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими

астрономами Гиппархом (2 в. до н .э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.).

Пожднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами

начали называть тригонометрическими функциями.

Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые аль-

Батани (850-929) и Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухамед (940-998), который

составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604.

Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти

неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед

(1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном

четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как

самостоятельную дисциплину.

Теорему тангенсов доказал Региомонтан (латинизированное имя немецкого

астронома и математика Иоганна Мюллера (1436-1476)). Региомонтан составил

также плдробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и

сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся

астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы

мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в

работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил

задачу об определениях всех элементов плоского или сферического

треугольника по трем данным.

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер. Такою

она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и

аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Постепенно

тригонометрия органически вошла в математический анализ, механику, физику и

технические дисциплины.

Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к

решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для

описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных

механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому

тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались и приобрели

важное значение для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была

создана выдающимся математиком XVIII в. Леонардом Эйлером (1707-1783)

членом Петербургской Академии наук.

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении

треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических

функциях.

Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства

тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть

гониометрией (в переводе – наука об измерении углов, от греч. ((((( - угол,

((((((- измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не

употребляется.

Изучение свойств тригонометрических функций и зависимостей между ними

отнесено к школьному курсу алгебры, а решение треугольников – к курсу

геометрии.

Тригонометрические функции острого угла

В прямоугольном треугольнике, имеющем данный угол (, отношения сторон

не зависят от размеров треугольника. Рассмотрим два прямоугольных

треугольника АВС и А1В1С1 (рис.1), имеющих равные углы (А=(А1 =(. Из

подобия этих треугольников имеем:

Если величину угла ( измерить, то написанные равенства остаются

справедливыми, а измениться

лишь числовое значение отношений и т.д. Поэтому отношения

можно рассматривать как функции угла (.

Рис.1.

Синусом острого угла называется отношение противоположного этому

углукатета к гипотенузе. Обозначают это так:

sin(=

Значения тригонометрических функций (отношений отрезков) являются

отвлеченными числами.

Приближенные значения тригонометрических функций острого угла можно

найти непосредственно согласно их определениям. Построив прямоугольный

треугольник с острым углом ( и измерив его стороны, согласно определениям

мы можемвычислить значение, например, sin(.

Пользуясь тем, что значения тригонометрических функций не зависят от

размеров треугольника, для вычисления значений sin углов (=30(; 45(; 60(

рассмотрим прямоугольный треугольник с углом (=30(; и катетом ВС=a=1, тогда

гипотенуза этого треугольника с=2, а второй катет b=(3; рассмотрим также

треугольник с углом (=45( и катетом a=1, тогда для этого треугольника c=(2

и b=1.

Полученные результаты запишем в таблицу.

| |30( |45( |60( |

|sin( | | | |

| | | | |

Рис.2.

Приближенные значения тригонометрических функций для углов от 0( до

90( можно получить построив четверть круга, радиус которогопримем за 1, и

его дугу разделимна 45 равных частей. Тогда градусная мера каждой части

будет равна 2(.

90( N

0,79

А b С 0,62 0( M Рис.3.

Радиусы АМ и АN разделим на 100 равных частей. Построим прямоугольный

треугольник с вершиной в центре круга и катетом совпадающим с радиусом АМ и

гипотенузой АВ=1. Если угол ВАС=(, то по определению тригонометрических

функций мы имеем:

sin(=а

Для угла 52( на шкале радиуса АN находим, что а=0,79, а на шкале

радиуса АМ находим, что b=0,62., то есть sin52(=0,79.

Построив прямоугольные треугольники для углов (=2(, 4(, 6(, 8(,…, 88(,

согласно рис.3., найдем значения (при аккуратных измерениях и вычислениях)

с точностью до 0,01. Для углов 0( и 90( прямоугольных треугольников не

существует. Однако, если гипотенуза АВ будет стремиться по положению к

радиусу АМ, то угол ((0, а катеты а(0 и b(1. В таком случае для полноты

значений тригонометрических функций принимают, что

sin0(=а=0; cos0(=b=1.

Что касается значений tg( и ctg(, то при ((0 отношение (0, т.е.

, а отношение при ((0 неограниченно возрастает. Этот результат

записывают как ((, где символ ( указывает, что величина неограниченно

возрастает и не может быть выражена никаким числом, так как знак ( не

является каким-либо числом. Таким образом, принимают, что tg0(=0, а ctg0(

не существует, что чаще записывают как ctg0(=(.

Рассуждая аналогично при ((90( приходим к целесообразности принять

что

sin90(=1; cos90(=0, tg90( не существует (tg90((() и ctg90(=0.

Приведем таблицу значений синусов для углов от 0( до 90( с шагом 2(,

которую можно получить указанным выше способом.

градусы |0 |2 |4 |6 |8 |10 |12 |14 |16 |18 |20 |22 | |sin |0,00 |0,03 |0,07

|0,10 |0,14 |0,17 |0,21 |0,24 |0,28 |0,31 |0,34 |0,37 | |градусы |24 |26

|28 |30 |32 |34 |36 |38 |40 |42 |44 |46 | |sin |0,41 |0,44 |0,47 |0,50

|0,53 |0,56 |0,59 |0,62 |0,64 |0,67 |0,69 |0,72 | |градусы |48 |50 |52 |54

|56 |68 |60 |62 |64 |66 |68 |70 | |sin |0,74 |0,77 |0,79 |0,81 |0,83 |0,93

|0,87 |0,88 |0,90 |0,91 |0,93 |0,94 | |градусы |72 |74 |76 |78 |80 |82 |84

|86 |88 |90 | | | |sin |0,95 |0,96 |0,97 |0,98 |0,98 |0,99 |0,99 |1,00

|1,00 |1,00 | | | |Пользуясь значениями тригонометрической функции y=sinx

из таблицы, построим график.

0 30( 60( 90( x

Рис.4.

Основные соотношения между тригонометрическими функциями острого угла

Для прямоугольного треугольника в соответствии с теоремой Пифагора

a2+b2=c2

или

По определению тогда

(1)

Легко также найти следующие зависимости

(2)

(3)

(4)

(5)

Из соотношений (1)-(5), которые называют основными, можно вывести и

другие вспомогательные соотношения, например:

(6)

(7)

(8)

Соотношения (1)-(8) связывают все тригонометрические функции так, что

по значению одной из них для данного острого угла можно найти значения всех

остальных функций для этого же угла.

Тригонометрические функции произвольного угла

Пусть в прямоугольной системе координат x0y задан радиус-вектор

образующий с положительным направлением оси 0x угол (. Будем считать, что

ось 0x – начальная сторона, а вектор - конечная сторона угла (.

Проекция вектора на координатные оси соответственно обозначим ax и ay.

Можно показать, что отношения где а – длина вектора ,

зависят только от

величины угла ( и не зависят от длины вектора . Поэтому эти отношения

можно рассматривать как функции произвольного угла (.

Синусом угла (,образованного осью 0x и произвольным радиусом-вектором

, называется отношение проекции этого вектора на ось 0y к его длине:

Рис. 6.

Если не указано сколько оборотов совершил вектор вокруг точки 0, то

положение вектора определяет угол с точностью до целого оборота, т.е углу с

начальной стороной 0x и конечной стороной соответствует бесчисленное

множество углов, которые выражаются формулой

360((n+(, где n=0; (1; (2; (3; (4; …

и sin((+360(( n)=sin(

Длина радиуса-вектора всегда число положительное. Проекция его на

координатные оси величины алгебраические и в зависимости от координатных

четвертей имеют следующие знаки:

В I четверти ax>0; ay>0;

Во II четверти ax0;

В III четверти ax0; ay<0/

График функции y=sinx

До сих пор аргументами тригонометрических функций рассматривались

именованные величины – углы (дуги), измеренные в градусах или радианах.

Значения тригонометрических функций, как отношения отрезков, являются

абстрактными величинами (числами). При изучении свойств тригонометрических

функций приходится сравнивать изменения функции в связи с изменениями

аргумента, а сравнивать можно только однородные или, что еще лучше,

абстрактные величины.

Кроме того, введение тригонометрических функций от абстрактного

аргумента дает возможность применять эти функции в различных вопросах

математики, физики, техники и т.д.

Вместо именованного значения аргумента тригонометрических функций в x

(радианов) будем рассматривать абстрактное число где r обозначает

радианы, ии по определению принять что

sinx, где x – абстрактное число, равен sinx, где x измерен в радианах.

Тригонометрические функции являются периодическими, то есть существует

число а, отличное от 0, такое, что при любом целом nтождественно

выполняется равенство:

f(x+na)=f(x), n=0; (1; (2 ...

Число а называется периодом функции. Период функции sinx равен 2(. Для

нее имеет место формула:

sin(x+2(n)= sinx, где n=0; (1; (2 ...

График функции y=sinx называют синусоидой. Для построения графика

можно взять значения аргумента x с определенным интервалом и составить

таблицу значений y=sinx, соответствующих выбранным значениям x, а затем по

точкам, как это часто делается в алгебре, построить график.

Строим в системе координат x101y1 единичную окружность R=1 с центром

01 на оси абсцисс x1. Дугу этой окружности начиная от точки

начиная от точки оси абсцисс x1 =+1, делим на n равных частей:

Затем строим вторую систему координат x0y, ось которой 0x совпадает с

осью 01 x1 , но сначало координат 01(x1 =0) и 0(x=0) у етих систем

различные. В новой системе координат отрезок оси абсцисс от x=0 до x=2(

делим на n равных частей: Из точек деления окружности

проводим прямые параллельные оси 0x, а из точек деления отрезка [0, 2(]

проводим прямые, перпендикулярные этой осм. Точки пересечения

соответствующих прямых будут точками графика y=sinx, так как ординаты

этихточек равны значениям синуса, соответствующим значениям аргумента в

точках деления отрезка [0, 2(].

Рис.8.

Некоторые свойства функции y=sinx

1. Непрерывность.

Функция y=sinx существует при всех действительных значения x, причем,

график ее является сплошной кривой линией (без разрывов), т.е. функция sinx

непрерывна.

2. Четность, нечетность.

Функция y=sinx нечетная и ее график симметричный относительно начала

координат.

3. Наибольшие и наименьшие значения.

Все возможные значения функции sinx ограничены неравенствами

-1( sinx (+1,

причем sinx=+1, если

и sinx=-1, если

4.Нулевые значения (точки пересечения графика функции с осью абсцисс).

sinx=0, если x=(n (n=0; (1; (2;…).

5. Интервалы возрастания и убывания.

Функция возрастает, т.е. большему значению аргумента соответствует

большее значение функции на интервалах

(n=0; (1; (2;…).

И убывает, т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее

значение функции на интервалах

(n=0; (1; (2;…).

-----------------------

[pic]

А1

В1

С1

а1

90(

[pic]

30(

60(

[pic]

45(

[pic]

B 52(

45(

[pic]

y=sinx

[pic]

ax 0

[pic]

МЕНЮ

История тригонометрии в формулах и аксиомах

История тригонометрии в формулах и аксиомах

ИНТЕРЕСНОЕ