Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа

вероятностей нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов

подчиняется экспоненциальному закону с параметром [pic] и [pic] имеет вид

[pic] (1.21)

2. Исследование неоднородной нестационарной сети случайного доступа с

динамическим протоколом в условиях перегрузки

Рассмотрим сеть связи, описанную в разделе 1, в которой интенсивность

входящего потока зависит от времени и равна [pic], где Т – некоторый

интервал времени, в течение которого функционирует сеть связи. Структура

сети изображена на рис. 2.1.

Рис. 2.1 – Модель системы массового обслуживания

В нестационарном режиме распределение

[pic]

удовлетворяют системе дифференциально-разностных уравнений вида

[pic]

[pic] (2.1)

[pic]

где [pic], [pic], [pic], [pic].

Замечание: система уравнений (2.1) получена аналогично системе уравнений

(1.1). Вероятности переходов для состояний системы совпадают с

точностью до замены [pic].

Систему (2.1) будем решать в условиях перегрузки, то есть при [pic].

Первое приближение

В системе уравнений (2.1) произведем замену переменных: [pic]. В

результате такой замены производится переход от дискретной переменной [pic]

к непрерывной переменной [pic], от t перешли к [pic], причем [pic] такое,

что [pic]. После замены производная равна [pic].

Тогда уравнения (2.1) перепишем

[pic]

[pic] (2.2)

[pic]

Решим систему уравнений (2.2) в два этапа.

1 этап. Считая [pic] и предполагая, что [pic] будем иметь

[pic]

[pic] (2.3)

[pic].

Выразим [pic] через функцию [pic] и получим

[pic]

[pic] (2.4)

[pic]

где [pic] [pic]асимптотическая плотность распределения нормированного числа

заявок в источнике повторных вызовов.

Обозначим

[pic] (2.5)

([pic] - это асимптотическая вероятность того, что обслуживающий прибор

находится в состоянии k). Заметим, что из системы (2.3) следуют равенства

связывающие [pic], [pic] и [pic]

[pic]

[pic] (2.6)

[pic].

Найдем вид функции [pic], для этого перейдем ко второму этапу.

2 этап. В системе дифференциальных уравнений (2.2) все функции с

аргументом [pic] разложим в ряд по приращению аргумента [pic],

ограничиваясь слагаемыми порядка [pic], получим

[pic]

[pic] (2.7)

[pic]

Просуммируем левые и правые части уравнений системы (2.7) и получим

равенство

[pic]. (2.8)

С учетом того, что

[pic]

равенство (2.8) принимает вид

[pic]. (2.9)

Уравнение (2.9) является однородным линейным уравнением с частными

производными первого порядка. Для того чтобы его решить составим уравнение

[pic],

его решение [pic], тогда [pic]

Общее решение уравнения (2.9) имеет вид

[pic], (2.10)

где [pic] - произвольная дифференцируемая функция, аналитическое выражение

которой найдем из начальных условий.

Пусть распределение в начальный момент времени [pic] где [pic]

некоторая плотность распределения. Тогда [pic]следовательно [pic]. Возьмем

в качестве начальной плотности распределения [pic], где [pic] - дельта-

функция Дирака, а [pic], [pic] - число заявок в источнике повторных вызовов

в начальный момент времени.

Таким образом [pic], из свойств функции Дирака следует, что [pic].

То есть мы получили, что [pic], [pic] имеет смысл асимптотического

среднего.

Из приведенных рассуждений вытекает еще одно важное следствие, а

именно

[pic] имеет место [pic], тогда [pic] (отрицательная функция [pic]

противоречит смыслу задачи). В нашем случае [pic] совпадает с пропускной

способностью системы.

Перейдем ко второму приближению, в котором будем искать распределение

отклонения от асимптотического среднего.

Второе приближение

В исходной системе уравнений (2.1) сделаем замену переменных [pic].

Заметим, что в новых обозначениях производная по времени [pic] равна

[pic]. С учетом этого система (2.1) примет вид

[pic]

[pic] (2.11)

[pic]

Решение системы уравнений (2.11) аналогично решению системы (2.2), но

проводится в три этапа.

1 этап. В системе дифференциальных уравнений (2.13) сделаем предельный

переход при [pic] и предположим, что [pic], получим

[pic]

[pic] (2.12)

[pic].

Решим эту систему аналогично тому, как решили систему уравнений (2.3).

Введем функцию [pic] и выразим через нее [pic], получим

[pic]

[pic] (2.13)

[pic]

где [pic]асимптотическая плотность распределения отклонения числа заявок в

источнике повторных вызовов от асимптотического среднего.

2 этап. Функции [pic] будем искать с точностью до [pic] в форме

[pic] (2.14)

Найдем вид функций [pic], [pic] и [pic]. Для этого в системе

дифференциальных уравнений (2.11) все функции с аргументом [pic] разложим в

ряд по приращению аргумента [pic], ограничимся слагаемыми порядка [pic].

Получим

[pic]

[pic] (2.15)

[pic]

В уравнения (2.15) подставим [pic] в форме (2.14), приведем подобные

и получим систему неоднородных линейных алгебраических уравнений

относительно [pic] вида

[pic],

[pic], (2.16)

[pic]

Нетрудно увидеть, что между уравнениями этой системы есть зависимость

и ранг матрицы системы равен, следовательно, чтобы решение уравнений

(2.16)существовало, необходимо выполнение равенства

[pic] (2.17)

Из однородного линейного уравнения с частными производными первого

порядка (2.9) мы знаем, что [pic]. Таким образом, можно сделать вывод, что

система (2.16) разрешима. При условии, что функция [pic] известна, решение

можно записать в виде

[pic],

[pic] (2.18)

Теперь все готово, для того, чтобы найти функцию [pic]. Перейдем к

третьему этапу.

3 этап. В системе дифференциальных уравнений (2.11) все функции с

аргументом [pic] разложим в ряд по приращению аргумента [pic],

ограничиваясь слагаемыми порядка [pic], получим

[pic]

[pic] (2.19)

[pic]

Теперь подставим в уравнения (2.19) [pic] в форме (2.14) и

просуммируем левые и правые части уравнений, будем иметь

[pic] (2.20)

Подставляя вместо [pic] и [pic] их выражения, полученные на втором

этапе получим для [pic] уравнение Фоккера-Планка

[pic], (2.21)

где

[pic]

Нормированным решением полученного одномерного уравнения диффузии [8]

является плотность нормального распределения вероятностей с нулевым средним

и дисперсией

[pic]. (2.22)

3. Исследование нестационарной сети случайного доступа со статическим

протоколом в условиях большой задержки

Исследуем сеть связи, функционирование которой изложено в разделе 1,

в условиях большой задержки. В этом случае удобнее рассматривать случай,

когда интенсивность каждой заявки в ИПВ равна [pic]. Структура такой СМО

имеет вид рис. 3.1.

Рис. 3.1 – Модель системы массового обслуживания

Вероятности переходов из состояния системы [pic] в произвольный момент

времени t в состояние [pic] за бесконечно малый интервал времени [pic]

показаны на рис. 3.2, рис. 3.3, рис. 3.4.

Выпишем уравнения статистического равновесия для нестационарного

распределения процесса [pic], описывающего функционирование сети

[pic]

[pic] (3.1)

[pic]

где [pic]

Рис. 3.2 – Возможные переходы из состояния [pic]

Рис. 3.3 – Возможные переходы из состояния [pic]

Рис. 3.4 – Возможные переходы из состояния [pic]

Найти точное аналитическое решение системы (3.1) практически

невозможно, но можно решить асимптотически в условиях большой задержки, то

есть при [pic].

Первое приближение

Для асимптотического решения системы (3.1) сделаем замену переменных

[pic]. В результате замены производится переход от дискретной переменной

[pic] к непрерывной переменной [pic].

В новых обозначениях [pic]. Тогда система (3.1) примет вид

[pic]

[pic] (3.2)

[pic]

Получим вид решения системы (3.2), которую будем решать в два этапа.

1 этап. Считая [pic] и предполагая, что [pic], будем иметь

[pic]

[pic] (3.3)

[pic].

Выразим [pic] через функцию [pic] и получим

[pic]

[pic] (3.4)

[pic]

где [pic] [pic] - асимптотическая плотность нормированного числа заявок в

источнике повторных вызовов.

Обозначим

[pic] (3.5)

Заметим, что из системы (3.3) следуют равенства

[pic]

[pic] (3.6)

[pic].

Осталось найти вид функции [pic]. Для этого перейдем ко второму этапу.

2 этап. В системе (3.2) разложим функции по приращению аргумента [pic],

ограничиваясь слагаемыми порядка [pic], получим систему

[pic]

[pic] (3.7)

[pic]

Просуммируем полученные уравнения, поделим на [pic] и перейдем [pic].

Тогда будем иметь

[pic]. (3.8)

С учетом того, что

[pic]

равенство (3.8) принимает вид

[pic]. (3.9)

Таким образом мы получили, что [pic] удовлетворяет уравнению Фоккера-

Планка с коэффициентом переноса равным [pic], и нулевым коэффициентом

диффузии. Из определения для коэффициента переноса можно сделать вывод, что

[pic], то есть [pic] зависит от времени и [pic] – имеет смысл

асимптотического среднего, в ее окрестности достаточно долго флуктуируют

значения нормированного процесса [pic].

Второе приближение

Зная асимптотическое среднее, найдем распределение вероятностей

значений отклонения [pic] от его среднего. Для этого в исходной системе

уравнений (3.1) сделаем замену переменных [pic], [pic], [pic],[pic].

В новых обозначениях производная [pic] равна [pic].

Будем иметь

[pic]

[pic] (3.10)

[pic]

Решение системы (3.10) аналогично решению системы (3.2), но

проводится в три этапа.

1 этап. В системе дифференциальных уравнений (3.10) положим [pic] и найдем

решение в виде

[pic]

[pic] (3.11)

[pic]

где [pic] – асимптотическое распределение нормированного числа заявок в

источнике повторных вызовов в окрестности асимптотического среднего.

Перейдем ко второму этапу.

2 этап. Неизвестные функции [pic] будем искать с точностью до [pic] форме

[pic] (3.12)

где [pic] имеют вид аналогичный (3.5), где в качестве [pic] выступает [pic]

и для них справедливы равенства (3.7).

Найдем вид функций [pic].

С точностью до [pic] (3.10) запишем

[pic]

[pic] (3.13)

[pic]

В уравнения (3.13) подставим [pic] в форме (3.12), уничтожим подобные

слагаемые и получим систему неоднородных линейных алгебраических уравнений

относительно функций [pic] вида

[pic],

[pic], (3.14)

[pic]

Система (3.14) будет иметь решение, если [pic]. Из уравнения Фоккера-

Планка (3.9) мы знаем, что [pic]. Таким образом, можно сделать вывод, что

система (3.14) разрешима. При условии, что функция [pic] известна, решение

системы (3.14) можно записать так

[pic] (3.15)

[pic]

Перейдем к третьему этапу.

3 этап. С точностью до [pic] уравнения (3.10) запишем следующим образом

[pic]

[pic] (3.16)

[pic]

Теперь подставляем в систему уравнений (3.16) [pic] в форме (3.12),

оставляем слагаемые, имеющие порядок не выше [pic] и суммируем уравнения.

Получим равенство для нахождения [pic]

[pic] (3.17)

В полученное равенство подставим выражения для функции [pic] и [pic],

найденные на втором этапе. В результате приведения подобных, для [pic]

получим уравнение Фоккера-Планка

[pic] (3.18)

с коэффициентом переноса [pic] и коэффициентом диффузии

[pic]

Уравнение Фоккера-Планка (3.18) получено для некоторого диффузионного

процесса [pic], плотность распределения вероятностей которого [pic].

Запишем стохастическое дифференциальное уравнение для [pic] в общей

форме

[pic], (3.19)

где [pic] - винеровский процесс с нулевым средним и единичным

коэффициентом диффузии, в нашем случае оно приобретает вид

[pic]. (3.20)

Введем новый случайный процесс [pic], (3.21)

для его приращения справедливо

[pic]

Выберем функцию [pic] так, чтобы она удовлетворяла дифференциальному

уравнению [pic]. Например, [pic]. Тогда [pic] и, следовательно, [pic].

Выразим из (3.21) функцию [pic] (заметим, что [pic]) и получим

[pic] (3.22)

Анализируя вид процесса [pic] можно сделать вывод, что он распределен

по нормальному закону. Найдем [pic] и [pic], которые полностью определяют

вид плотности распределения [pic]. Учитывая свойства винеровского процесса,

получим

[pic] (3.23)

Найдем дисперсию.

[pic]

рассмотрим второе слагаемое подробнее. Для этого введем обозначение [pic],

тогда получим

[pic]

С учетом того, что [pic] будем иметь

[pic]

Тогда в окончательном варианте дисперсия равна

[pic] (3.24)

Теперь можно записать решение уравнения Фоккера-Планка (3.18),

которое имеет вид

[pic] (3.25)

Пусть [pic], где [pic]- точка покоя дифференциального уравнения [pic],

которая определяется конечным уравнением

[pic], (3.26)

где [pic].

Возможны три варианта:

1. [pic], тогда точек покоя не существует (рис. 3.5).

2. [pic], тогда существует одна точка покоя [pic].

3. [pic], тогда существует две точки покоя [pic] и [pic].

Для примера рассмотрим случай, когда [pic] (рис. 3.6). Тогда

уравнение (3.26) имеет единственный корень [pic]. Коэффициенты диффузии

уравнения Фоккера-Планка не зависят от времени и равны [pic]. Если взять

[pic], то уравнение (3.26) будет иметь два корня [pic] и [pic] (рис. 3.7).

Для первой точки коэффициенты диффузии равны [pic], для второй [pic]. Точка

[pic] является нежелательной. Если предположить, что сеть связи работает в

стационарном режиме, то в окрестности точки [pic] распределение

нормированного числа заявок в ИПВ является нормальным [1] и имеет вид

[pic], (3.27)

[pic]

Рис. 3.5

[pic]

Рис. 3.6

[pic]

Рис. 3.7

4. Исследование стационарного режима в сети с динамическим протоколом

случайного множественного доступа для конечного числа станций

Рассматривается сеть связи, состоящая из конечного числа малых

абонентских станций, центральной станции и спутника ретранслятора. Спутник,

приняв сообщение от периферийной станции передает его на центральную. Так

как спутниковый канал связи совместно используют все станции, то возможно

совпадение времени ретрансляции сообщений, при этом сообщения искажаются

(попадают в конфликт) и требуют повторной передачи. Архитектура подобных

сетей связи позволяет реализовать протоколы случайного множественного

доступа с оповещением о конфликте, в которых для избежания искажения других

сообщений, центральной станцией рассылается сигнал оповещения о конфликте.

Сообщения, попавшие в конфликт, должны будут переданы абонентскими

станциями повторно после случайной задержки для избежания повторных

конфликтов.

Математической моделью рассматриваемой сети связи может служить

однолинейная система массового обслуживания, на вход которой поступает

примитивный поток неповторных требований с параметром [pic], где N – число

периферийных абонентских станций сети, i – число тех АС, которые либо

передают свои сообщения, либо осуществляют их случайную задержку для

повторной передачи, [pic], если обслуживающий канал (спутник) свободен,

[pic], если обслуживающий канал осуществляет успешную передачу.

Каждое требование в момент поступления в систему встает на прибор и

начинает обслуживаться. Отправив заявку на обслуживание, АС не генерирует

других заявок до тех пор, пока отправленная заявка не обслужится успешно.

Обслуживание экспоненциальное с параметром (. Если за время обслуживания

какого-либо требования другие заявки не поступали в систему, то исходное

требование считается успешно обслуженным и покидает систему. В противном

случае, т.е. когда одновременно обслуживались два или более требований,

происходит конфликт. Продолжительность этапа оповещения о конфликте

распределена по экспоненциальному закону с параметром [pic]. Заявки,

попавшие в конфликт, переходят в ИПВ, откуда пытаются встать на

обслуживание вновь через экспоненциально (с параметром [pic])

распределенную задержку. Структура такой СМО имеет вид рис. 4.1.

Рис. 4.1 – Модель системы массового обслуживания

Состояние исследуемой сети связи можно описать двумерной случайной

величиной [pic], изменение во времени которой образует двумерный процесс

[pic].

Случайная величина [pic] описывает состояние обслуживающего канала в

момент времени t и принимает три значения:

[pic]

величина [pic] показывает число заявок в ИПВ в момент времени t .

Рассмотрим вероятности переходов из состояния системы [pic] в

произвольный момент времени t в состояние [pic] за бесконечно малый

интервал времени [pic].

1. Пусть система находится в состоянии [pic], то есть в ИПВ находится

i заявок и прибор свободен, за интервал времени [pic] состояние системы

может измениться таким образом:

а) с вероятностью [pic] из входящего потока требований поступит новая

заявка, которая немедленно займет прибор и начнет обслуживание, тогда

система в момент времени [pic]будет находиться в состоянии [pic];

Страницы: 1, 2, 3