Краткая методичка по логике

следствием из p1, …, pn. Полезно обратить внимание на то, что проблема

тавтологического следствия является разрешимой с помощью истинностных

таблиц.

Замечание последние семь теорем не исключают случай n = 0.

Замечание если не оговорено противное, слово логика понимается как

эгалитарная логика.

Тема 6. Формальные теории

предназначены для четкого изложения и развития тех или иных отраслей

человеческих знаний. Задать формальную теорию – значит задать ее

функциональные и предикатные символы, а также аксиомы, т. е. некоторые из

высказываний, которые являются истинными в данной отрасли знаний. Развивать

формальную теорию – значит пополнять запас ее теорем, т. е. таких

высказываний, которые являются логическими следствиями аксиом.

Изложение любой формальной теории в принципе можно оформить в виде

книжек с доказательными текстами:

|1 |a1 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (|( индуктивная |

| |( ( ( ( ( ( ( |( последовательность |

| | |( термов |

|… |((((((((((((((((((((((((((| |

| |((((((((((((((((((((((((((| |

| |(( | |

|k |ak ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (| |

| |( ( ( ( ( ( ( | |

| | | |

|k+1 |r1 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (|( индуктивная |

| |( ( ( ( ( ( ( |( последовательность формул |

| | |( на основе a1,…, ak |

|… |((((((((((((((((((((((((((| |

| |((((((((((((((((((((((((((| |

| |(( | |

|k+е |re ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (| |

| |( ( ( ( ( ( ( | |

| | | |

|k+е+1 |s1 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (|( аксиомы |

| |( ( ( ( ( ( ( |( s1,…, sm есть |

| | |( среди r1,…, re |

|… |((((((((((((((((((((((((((| |

| |((((((((((((((((((((((((((| |

| |(( | |

|k+е+m |sm ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (| |

| |( ( ( ( ( ( ( | |

| | | |

|k+е+m+1 |t1 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (|( индуктивная |

| |( ( ( ( ( ( ( ( |( последовательность теорем |

| | |( t1,…, tn есть среди r1,…, |

| | |re |

|… |((((((((((((((((((((((((((| |

| |((((((((((((((((((((((((((| |

| |(( | |

|k+е+m+n |tn ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (| |

| |( ( ( ( ( ( ( | |

Здесь штрих-пунктирная линия обозначает пояснение о том, с помощью

какого правила порождения получено соответствующее знакосочетание. Для

удобства таких пояснений знакосочетания a1,…, tn нумеруются последовательно

от 1 до k+е+m+n. Вспомним, что правила порождения теорем являются правилами

вывода, что конечная индуктивная последовательность теорем является

доказательством и что следующие девять правил, называемых основными,

образуют достаточный набор правил вывода из аксиом: правила тавтологии,

отделения, обобщения, подтверждения, общевнесения, сущевнесения, тождества,

равенства, неотличимости.

Такая форма изложения делает доказательство легко проверяемым, но

практически не применяется из-за ее громоздкости.

Способы более компактного изложения формальной теории.

1. Последовательность a1,…, re не записывается, потому что при

достаточном навыке термы и формулы распознаются без построения их

индуктивных последовательностей.

2. В последовательность t1,…, tn включаются теоремы из других

доказательных текстов.

3. Для двухместного функционального или предикатного знака v

используется операционная форма записи: вместо v(a,b) пишут (a)v(b).

4. При операционной форме записи принимается соглашение об упразднении

некоторых пар скобок в соответствии с соглашением об убывании силы связи в

последовательности: одноместный функциональный знак, двухместный

функциональный знак, одноместный предикатный знак, двухместный предикатный

знак, логический знак.

5. Используются специальные начертания для функциональных и

предикатных знаков. Например в теории чисел: 0, 1, 2, 3 - нульместные

функциональные знаки; (, sin, cos - одноместные функциональные знаки; +, -,

(, ((( - двухместные функциональные знаки; (( (( (( ( - двухместные

предикатные знаки.

6. Используются знаковые фигуры. Например, (х=3х обозначает сумму

3+4+5.

7. Вводится определяющая аксиома g(х1,...,х11)( р для нового n-

местного предикатного символа g. Здесь переменные х1,...,хn попарно

различны, а высказывание р не имеет свободных вхождений переменных,

отличных от х1,...,хn.

8. Вводится определяющая аксиома р(х, (( х1,...,хn)( для нового n -

местного функционального символа ( в тех случаях, когда формула (рх

является теоремой. Здесь переменные х, х1,...,хn попарно различны, а р не

имеет свободное вхождение переменных, отличных от х, х1,...,хn.

Теорема об определениях: если теория Т2 получена из теории Т1 путем

добавления определяющей аксиомы для нового функционального или

предикатного символа v то для каждой теоремы теории Т2 существует

равносильная ей теорема теории Т1.

9. Кроме девяти основных применяются дополнительные правила вывода,

например правило отделения конъюнкта ( p(g, р и правило присоединения

дизъюнкта (р, p(g.

10. Применяются известные методы доказательства. Обоснование таких

методов дается в учебниках логики. Например метод доказательства от

противного основан на следующей теореме.

Теорема о доказательстве методом от противного: если формальная

теория Т2 получена путем добавления аксиомы (р к аксиомам теории Т1 и

если формулы q, (q являются теоремами теории Т2, то формула р является

теоремой теории Т1.

Формальная арифметика формализует систему знаний о целых

неотрицательных числах, использует в качестве исходных четыре

функциональных и два предикатных знака

|([pic] |([pic] |([pic] |([pic] |g[pic] |g[pic] |

|0 |1 |+ |( |= |( |

интерпретируемых в соответствии с их известными со школы специальными

начертаниями, имеет такие аксиомы

(1=0

х + 1= y + ( x = y

x + 0 = x

x + (y + 1) = (x + y) + 1

x(0 = 0

x((y + 1) = x(y + x

(x ( 0

x ( y + 1 ( x ( y ( x = y

p (x, 0((((p((x, x + 1()( p

Здесь при записи аксиом использованы ранее перечисленные соглашения о

компактизации изложения и известное соглашение о том, что знак умножения

связывает сильнее знака сложения. Если такие соглашения не принимать, то к

примеру первую аксиому следовало бы записать в виде ((g[pic](([pic],(

[pic])).

Пример определяющих аксиом для новых нульместных функциональных знаков

2, 3, 4, 5 и новых двухместных предикатных знаков (, ( (( (( :

|2 = 1 + 1 |(1((2 ( (2<(1 |

|3 = 2 + 1 |(1((2 ( (1 ( (2 ( (1 = (2 |

|4 = 3 + 1 |(1((2 ( (1 ( (2 ( (1 = (2 |

|5 = 4 + 1 |(1((2 ( ((1 = (2 |

Заметим, что знак ( можно было бы не включать в перечень исходных

знаков формальной арифметики, а ввести его с помощью определяющей аксиомы

(1((2 ( ((3(((3 = 0 ( (1+ (3 = (2).

Пример доказательного текста в формальной арифметике (k = 3, е = 6, m

= 1, n = 3):

|1 |([pic] |Константа |

| |--------------------------------| |

| |-------------- | |

|2 |([pic] |Константа |

|3 |(1 |Переменная |

|4 |g[pic](([pic], ([pic]) |Предикат от 2,1 |

|5 |((g[pic](([pic], ([pic])) |Отрицание 4 |

|6 |g[pic]((1, ([pic]) |Предикат от 3,1 |

|7 |((g[pic]((1, ([pic])) |Отрицание 6 |

|8 |((1(g[pic]((1, ([pic]))) |Подтверждение 7 по (1 |

|9 |(((g[pic](([pic], |Импликация 5,8 |

| |([pic])))(((1(((g[pic]((1, | |

| |([pic])))) | |

|10 |((g[pic](([pic], ([pic])) |5: аксиома |

|11 |((( g[pic](([pic],( |9: пр. подт. 7, (1, 2 |

| |[pic])))(((1(((g[pic]((1,([pic])| |

| |))) | |

|12 |((g[pic](([pic], ([pic])) |5: аксиома 10 |

|13 |((1((( g[pic]((1, ([pic]))) |8: пр. отделения для |

| | |12, 11 |

Компактизированный текст:

|11 |(1 = 0 (((1((1 = 0 |Правило подтверждения |

|12 |(1 = 0 |Аксиома |

|13 |((1((1 = 0 |Правило отд. для 12, 11 |

Словесный вариант: «Если единица не равна нулю, то тем самым

существует не равное нулю число. Но единица не равна нулю. Следовательно,

существует число, не равное нулю».

Тема 7. Множества и функции.

В этой теме A, B, C, D, E, F, G, X, Y, Z, X1, Z1,…, Xn, Yn, Zn

обозначают попарно различные переменные. Множество – это совокупность

различных объектов, мыслимая как единый новый объект. Различные объекты, из

которых составлено множество, называются его элементами. Соотношение x(A

означает, что объект х есть элемент множества A. Отрицание соотношения x(A

записывается в виде x(A. Соотношение А(В означает, что А есть подмножество

множества В, т.е. что каждый элемент множества А является элементом

множества В. Отрицание соотношения А(В записывается в виде А(В. Множество,

элементами которого являются все те и только те объекты вида а, для которых

истинно соотношение p, обозначается через (a(p(. Множество (x((A(x(A)}

называется пустым множеством и обозначается символом Ш. Множество x обозначается через {x1,…,xn}. Множество x(A(x(B называется

объединением множеств А, В и обозначается через А(В. Множество x(A(x(B

называется пересечением множеств А, В и обозначается через А(В. Множество

x называется дополнением множества В относительно А или

результатом удаления из множества А элементов множества В и обозначается

через А\В.

Простейшие теоремы: 3({9, 7, 3}, {x+5(x2 = 4} = {3, 7], A(A, A(A, …

Обозначения для некоторых множеств:

N - множество натуральных чисел

Z - множество целых чисел

R - множество действительных чисел

Упорядоченная n-ка объектов x1,…,xn обозначается через (x1,…,xn) и

определяется так: (x1) = x1

(x1, x2) = {{x1}, { x1, x2}}

(x1, x2, x3) = ((x1, x2), x3)

(x1, x2, x3,x4) = ((x1, x2, x3), x4)

………………………………..

Упорядоченная n-ка называется еще n-мерным упорядоченным набором,

вектором, точкой, кортежем. Объект x1 называется k-той компонентой или

координатой n-мерного набора (x1,…,xn) и обозначается через

koor[pic](x1,…,xn). Множество (x1,…,xn( x1(z1(…( xn(zn} называется

декартовым произведением множеств z1,…,zn и обозначается через z1(…(zn.

Если А - множество упорядоченных n-ок, то множество (xk((x1,…,xn(A}

называется k-той проекцией n-мерного множества А и обозначается через

?[pic]А. Через Аn обозначается множество А(…(А (n множителей). Соглашение:

знаки (, (, связывают сильнее чем (, \.

Простейшие теоремы: (x1,…,xn) = (y1,…,yn)( x1= y1(…( xn= yn, (9, 9,

9)( (9, 9), ([pic](A(B(C(D(E) = C, {5. 7}2 = {(5, 5), (5, 7), (7, 5), (7,

7)}, koor[pic](5, 7, 9) = 9, koor[pic](5, 7, 9) = koor[pic](5, 7, 9) =

koor[pic](5, 7, 9) = H, {7}({8, 5}({9} = {(7, 8, 9), (7, 5,9)}. {4}5 = {(4,

4, 4, 4, 4)}, ([pic]{(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 4)} = {2, 3}. A(B(C =

(A(B)(C.

Функцией называется множество, любой элемент которого есть

упорядоченная двойка. Множество ?[pic]F называется областью определения или

доменом функции F и обозначается dom F. Множество ?[pic]F называется

областью значений или ранжиром функции F и обозначается ran F. Если

(x,y)(F, то y называется значением функции F в x и обозначается F(x). Если

А( domF, то множество {y(((A((x, y)(F)} называется образом множества А

относительно функции F и обозначается F(А(. Функция F в случае dom F = A и

ran F(B / ranF=B называется еще отображением множества А в/на множество В.

Запись F:А(В означает что F есть отображение множества А в множество В.

Функция F называется сужением функции G (на множество dom F), а функция G

называется расширением функции F (на множество dom G), если F есть

результат удаления из G всех тех (x, y), для которых x( dom F. Если F есть

функция, то {(y, x)( (x, y)(F} тоже есть функция, называемая обратной по

отношению к F. Очевидно, что если функция G является обратной по отношению

к функции F, то F является обратной по отношению к G. Если dom F есть

множество упорядоченных n-ок, то функция F называется n-аргументной и

вместо F((x1,…,xn)) используют более короткое обозначение F(x1,…,xn).

Функция F называется однозначной, если из (x, y)(F и (x, z)(F следует

y=z. Функция называется взаимно однозначной или биективной, если она сама и

обратная к ней функция являются однозначными. Последовательностью

называется однозначная функция F т.ч. dom F = N. Если F есть

последовательность и n(N, то F(n) называется n-м членом последовательности

и обычно обозначается через Fn.

Множество А называется бесконечным, если существует биективное

отображение множества N в множество А. Множество называется конечным, если

оно не является бесконечным.

Простейшие теоремы: cos(0)=1, cos({0}( = {1}, Аrccos и cos обратны

друг к другу, функция arccos не является обратной к cos и является обратной

к сужению функции cos на множество ran arccos.

ЗАДАЧНИК-МИНИМУМ ПО ЛОГИКЕ

В квадратных скобках дается ответ к задаче, Д означает ДА, Н означает

НЕТ, все высказывания о числах в задачах 1.1 – 6.4 являются

арифметическими, т.е. высказываниями о целых неотрицательных числах.

1. Указать истинное значение для высказываний 5=5, 5(5, 5(5, 5(5, 5(5,

5(5, Х(0, Х+2(5, Х+Х(6, Х-Х=0, Х(0, X+Z=Z+X [ИЛЛИИЛЛППИИИ] и для

каждых двух соседних высказываний выяснить, являются ли они

равносильными [НДНДНДНДНДД].

2. Для каждой из трех последовательностей 2, 3; 3, 2, 4, 5; 3, 2, 3, 6

выяснить, является ли она индуктивной относительно набора правил

(3; (Х, Х-1; (Х,Z,X+[НДД].

3. Выяснить, являются ли (а(b, a(b+3; (a(b, b(0, a(0 правилами вывода

[ДД].

2.1 Для каждого из пяти знакосочетаний ((; ([pic]g[pic](; f[pic]

f[pic] f[pic]; (4(8 f[pic] g[pic]; ((((((( выяснить следуют ли в нем его

знаки в алфавитном порядке [ДНДНД].

2.2 Для терма f[pic](f[pic]((1), f[pic], f[pic](f[pic], (1,

f[pic](f[pic]))) составить индуктивную последовательность термов [f[pic],

(1, f[pic](f[pic]), f[pic](f[pic], (1, f[pic](f[pic]) f[pic](f[pic]((1),

f[pic], f[pic](f[pic], (1, f[pic](f[pic])))].

2.3 Пусть p, q, r обозначают нульместные предикаты. Для высказывания

p((q(r(p(q(r составить индуктивную последовательность высказываний [p, q,

r, ((q), (((q)((r), (p)(((((q))((r)), (q)((r), (p)(((q)((r)),

((p)(((((q))((r)))(((p)(((q)((r)))].

2.4 Для высказывания ((5g[pic]((1, f[pic]((2), (1) составить

индуктивную последовательность термов и высказываний [(1, (2, f[pic]((2),

g[pic]((1, f[pic]((2), (1), ((5 (g[pic]((1, f[pic]((2), (1))].

2.5 Для каждого из семи обозначений а: f[pic](a), g[pic](a), g[pic](a,

b); Z; (Xg[pic](X, X, Z); (Xf[pic](X, X) выяснить, обозначает ли оно: Терм,

Высказывание, Ни-то-ни-другое [TTBHTBH].

2.6 Для каждой из шести скобочных диад в высказывании

((p)((q))(((r)((s)) выяснить можно ли ее отбросить без нарушения смысла

данного высказывания [HДДДДД].

2.7 В высказывании p(q((r((p восстановить все скобки

[(p)(((q)(((((r))((((p))))].

2.8 В высказываниях p((q(r(p(r((p, p((q((r(p(r)((p восстановить все

скобки с помощью нумерации логических знаков и скобок в порядке их

восстановления.

(((p)(((((q))((r)))((((p)((r))((((p))),

(p)((((((q))(((r)(((p)((r)))((((p)))(

(76p666422q2444r4677753p333r355511p1577p77776544q45552r2221p111r1256663

3p367(

2.9 Пусть p обозначает высказывание (((1((2g[pic]((2, f[pic]((1,

(2)))(g[pic](f[pic], f[pic] ((2))(g[pic](g[pic]((1). Индукцией по

построению высказывания определить его истинностное значение на универсуме

при такой интерпретации функциональных и предикатных знаков.

|f[pic]|g[pic]| |X |f[pic]|g[pic]| |X |Y |f[pic](X|g[pic](X|

| | | | |(X) |(X) | | | |, Y) |, Y) |

|3 |И | |3 |4 |Л | |3 |3 |3 |И |

| | | |4 |3 |И | |3 |4 |4 |И |

| | | | | | | |4 |3 |4 |И |

| | | | | | | |4 |4 |4 |Л |

Ответ:

|(2 |p |

|3 |Л |

|4 |И |

2.10 Указать истинностные значения высказываний 2(2(Х(3, Х(3+4(Х(9,

7(Х(9(Х=8, Х(3(Х(3, (Х(Х(3)(5=3, ((1((2((2((1), ((2((1 ((2((1) [ИПИИИЛИ].

2.11 Для каждого из правил (p, q, r, p(q(r; (p, p(p; (p(p, p ; (p(q,

(p, q; (((((p, p; (p, (XP; ((XP, P; (P, (XP; ((XP; P выяснить является ли

оно правилом вывода [ДДНДДДНДД].

2.12 Для каждого из высказываний g[pic](a), (X g[pic](X,C), (X(g[pic](

g[pic]), (Xg[pic]( g[pic], g[pic], ( g[pic], g[pic]( g[pic], g[pic]

выяснить, является ли оно: предикатом [ДНННДННД], элементарным

высказыванием [ДДДНДННД].

2.13 Для высказывания (X(g[pic]( g[pic](X))(g[pic] записать: все его

компоненты [g[pic], g[pic](X), g[pic](g[pic](X), (X(g[pic](g[pic](X)),

(X(g[pic]( g[pic](X))(g[pic]], все его элементарные компоненты , все его

пропозициональные компоненты [g[pic], (X(g[pic](g[pic](X))], все его

предикатные компоненты [g[pic], g[pic](X)].

2.14 Записать все пропозициональные компоненты высказываний (XP((ZP,

(XP(((ZP. [(XP, (ZP – если X, Z различные переменные, ((nP – если X, Z

обозначают одну и ту же переменную (n].

3.1 Вычислить:

И((Л(И(Л(И(И(Л(И(Л((И(Л(И(Л((И((Л(И(Л((И(И(Л

[И].

3.2 Выяснить, является ли высказывание (p(q((r(s)((p((q(r((s)

тавтологией [Д].

3.3 Пусть p, q, r – различные элементы высказывания. Для каждого из

высказываний p((r(q(p, p((r, r((p(q выяснить, является ли оно тавтологией

[ДНН] и является ли оно тавтологическим следствием двух других [ДНД].

3.4 Решить истинностное уравнение (p(q)((q(p= Л с двумя неизвестными

p, q [Л, Л].

3.5 Из p, q, r составить высказывание, истинное только при p=q=r

((p(q) ((q(r)(.

4.1 Пусть Р обозначает g[pic](x). Для каждого из высказываний p((XP,

(XP( P, (XP((P выяснить является ли оно кванторологически истинным (ДНН( и

является ли оно кванторологическим следствием двух других (ДДН(.

4.2 Для каждого вхождения переменной в высказывание из задачи 2.9

выяснить, является ли оно свободным или связанным (связанное, связанное,

связанное, связанное, свободное, свободное(.

4.3 Записать обозначенное через ((3g[pic]((3, (4) ((4,([pic]((3)(

высказывание (((3g[pic]((3, ([pic]((3))(.

4.4 Пусть P обозначает высказывание ((3g[pic]((6, (3)( ((6g[pic]((6,

(3) ( g[pic]((6, (4).

Указать высказывания с обозначениями P ((3, (6(, P ((3, ([pic]((5)(, P

((3, (3( . (((3g[pic]((6, (3)( ((6g[pic]((6, (6) ( g[pic]((6, (6),

((3g[pic]((3, (3)( ((6g[pic]((6, (3) ( g[pic]((3, (3), P, P(.

4.5 Для каждого из терминов ([pic]((1), ([pic]((2), ([pic]((8),

([pic]((1, (5, (8), ([pic] выяснить, является ли он допустимым заменителем

для (8 в высказывании ((2g[pic]((8)( ((5g[pic]((8) (ДНДНД(.

4.6 Для каждого из высказываний (((1g[pic]((1), ((2g[pic]((2, (3),

g[pic]((1, (2, (3), g[pic](([pic]) выяснить, является ли оно замкнутым

(ДННД( и является ли оно открытым (ННДД(.

4.7 Высказывание ((((((((((((((((((((((((((((((((( привести к

позитивной форме

(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((.

4.8 В высказывании ((3g[pic]((3, (5)((( (5g[pic]((3, (5) (

g[pic](g[pic](([pic], (5) второе вхождение высказывания g[pic]((3, (5)

заменить высказыванием ( g[pic]((3, (5) ( g[pic]((3, (5). (((3g[pic]((3,

(5)((( (5(( g[pic]((3, (5) ( g[pic]((3, (5) ( g[pic](g[pic](([pic], (5) и

выяснить, равносилен ли результат замены исходному высказыванию (Д(.

5.1 Для каждого из высказываний g[pic](([pic], ([pic]), ((1g[pic]((1,

(2), g[pic](([pic], ([pic])(g[pic](([pic], ([pic]) выяснить, является ли

оно логически истинным (НДН( и является ли оно логическим следствием

остальных (ДДН(.

5.2 Указать высказывания p, q т.ч. p((q, но p(q не есть логически

истинное высказывание ((1= (2, (1= (3(.

6.1 Выяснить, является ли последовательность высказываний P, P((((,

(((, P((((((, (((((, (((((((, (((, ((Q(((Q, Q, ((Q доказательством в теории

с аксиомами (,Q (Д(.

6.2 Для каждого из высказываний 3(5, 5=5, Х(6((((((6), 5(6(5(6

выяснить, является ли оно: истинным (ДДДД(, логически истинным (НДДД(,

кванторологически истинным (ННДД(, тавтологически истинным (НННД(.

6.3 Для каждого из высказываний g[pic]((1, (2), ((1g[pic]((1),

g[pic]((1) выяснить, является ли оно из двух других: логическим следствием

(НДД(, кванторологическим следствием (НДН(, тавтологическим следствием

(ННН(.

6.4 Записать определяющие аксиомы в формальной арифметике для термов

((1( (2(,6. ((1+((1( (2(=(2((2+((1( (2(=(1, 6=(((((1)+(1))+(1))+(1))+(1)( и

для высказываний: (1 есть четное число, (1, есть простое число, (1, есть

делитель числа (2. (((3=(3 + (3), (((3((4((3((4 ((3((1((4((1) (1((,

((1=0(((3((2=((1((3)(.

7.1 Пусть A, D, C, D, E, F, G, X, Y, Z, X1,..., Xn обозначают попарно

различные переменные. Указать истинное значение каждого из высказываний

5((3,5(, 3((3,5(, 4((3,5(, (3,5(((5,3(, (3,5(=(3,3,5(, (2,8(((2,9,8(,

(2,9,8(((2,8(, 4((4(, 4((4(, (4((4, 4(4, (4(((4(, (4((4, (6(((2,6(,

(2Х(Х=3(Х=4(=(6,8(, (Х(Х(Х(=(, (4,3(((3,7(=(4,3,7(, (4,3(((3,7(=(3(,

(4,3(\(3,7(=(4(, (3,5(((5,3(((3,5(, A=B((((((((((((, ((((((((, (((( ((((

(((((((X(((((((( ((((((((( ((((((C(((C, (((( (((( (((((( (((((( ((((((

(((((( (((((( (((((( ((((((C=(((B(C(, (((((((( (((((((( ((((((

(((((((((((((((((((((((( (((((((((((((((( (((((\(((( (A\B)\B=A\B,

A\B=A(A(((, A\(A((((\B, A\B=B\A, A((((( ((((((((((

((((1,...,(n(((((1(...((((n, (((((((((((((( (((((((((((((, (((((((( A\A(((

A\((A, (((, N(Z, Z(R, Z(N, R(Z, (2,2)=(2,2,2), (3,5)=(3,2+3), (3,5)=(5,3),

(3,5(=(5,3(, (4,8) ((8,4), (A,B)=(C,D)(((C(B=D, koor[pic](8,5,4)=5,

koor[pic](8,5,4)=4, koor[pic](8,5,4)=(8,5), koor[pic](8,5,4)=8, (X,Z)

((Z,X), (X,Z) ((Z,X) (X(Z, koor[pic](a, b), koor[pic](a, b)=(a, b), (a,

b)=(b, a), (a, a)=a, (4,6(х(7,9(=(4,7), (4,9), (6,7), (6,9)(, (5( х (3,2( х

(6(=((5,3,6), (5,2,6)(, (5( х (6(=(6( х (5(, A х B=B х A, A х B(B х A, A х

(B х C)=(A х B) х C, (A х B) х C=A х B х C, A1=A, A2=A х A, A3=A х A х A,

(8,5(2=((8,8), (8,5), (5,5)(, (6(4=((6,6,6,6)(, ([pic](A*D*C*D*E)=B,

([pic]((a, b)((b, ([pic]((3,7), (3,8), (3,9), (4,9)(=(3,4(, ([pic]((3,7),

(3,8), (3,9), (4,9)(= (7,8,9(, ([pic]((6,7,8,9)(=8, dom ((3,6), (6,4)(=

(3,6,4(, dom ((3,6), (6,4)(= (3,6(, ran ((3,6), (6,4)(= (6,4(, ran ((3,6)(

(6, (5,4,8( есть область определения функции {(5,5), (8,0). (4,)0(, есть

образ множества (3( относительно функции ((3,7)(, dom sin =R, ran

sin=(X(R((((((1(, dom sin =dom tg, dom Arcsin=ransin, dom arcsin=R, ran

arcsin=R,, функция sin биективна, cos(0)=1, функция sin и arcsin обратны

друг другу, функция sin однозначна, функция arcsin однозначна, функция

arcsin биективна, ((5,9), (5,8) (2,9)( есть расширение функции ((2,9)(,

arcsin есть сужение функции Аrcsin, ((4,5), (5,8)( есть сужение функции

((4,7), (5,9) (5,8)(, функция ((4,4), (5,5)( биективна, функция sin ( cos

является многозначной.

(1010110100011011111011001110101П1П00101011П1П1П0111111П00111110101111111П11

П0110ПП011111110111011010110101011010110011(

Для A=B((((((((((( построить доказательство

((X=((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((

((((((((((((((((((((((((

Страницы: 1, 2, 3