Линейное и динамическое программирование

пусть будет кратен 100 тыс. рублей. Эффект от направления i-й фирме

инвестиций в размере ? (сотен тыс. рублей) выражается функцией fi(xi).

Приходим к задаче fl(xl)+f2(x2)+f3(x3)+f4(x4)(max , где xi - пока еще

неизвестный размер х1+х2+х3+х4?7; х1,х2,х3.х4?0 инвестиций i-й фирме. Эта

задача решается методом динамического программирования: последовательно

ищется оптимальное распределение для k=2,3 и 4 фирм.

Пусть первым двум фирмам выделено ? инвестиций. обозначим z2(?) величину

инвестиций 2-й фирме, при которой сумма f2(z2j)+fl(?-z2j), 0?j? ?

максимальна, саму эту максимальную величину обозначим F2(?). Далее

действуем также: находим функции z3 и F3 и т.д. На k-ом шаге для нахождения

Fk(?) используем основное рекуррентное соотношение: Fk(?)=max{fkj(хk)+F(k-

1)( ?-хk); 0 ? хk ? ?

|xj |0 |100 |200 |300 |400 |500 |600 |700 |

|f1 |0 |28 |45 |65 |78 |90 |102 |113 |

|f2 |0 |25 |41 |55 |65 |75 |80 |85 |

|f3 |0 |15 |25 |40 |56 |62 |73 |82 |

|f4 |0 |20 |33 |42 |48 |53 |56 |58 |

Таблица 1

| |?-х2 |0 |100 |200 |300 |400 |500 |600 |700 |

| | | | | | | | | | |

|x2 | | | | | | | | | |

| | |0 |28 |45 |65 |78 |90 |102 |113 |

| |F1(?-x2)| | | | | | | | |

| | | | | | | | | | |

| |f2(x2) | | | | | | | | |

|0 |0 |0 |28 |45 |65 |78 |90 |102 |113 |

|100 |25 |25 |53 |70 |90 |103 |115 |127 | |

|200 |41 |41 |69 |86 |106 |119 |131 | | |

|300 |55 |55 |83 |100 |120 |133 | | | |

|400 |65 |65 |93 |110 |130 | | | | |

|500 |75 |75 |103 |120 | | | | | |

|600 |80 |80 |108 | | | | | | |

|700 |85 |85 | | | | | | | |

Жирным цветом обозначен максимальный суммарный эффект от выделения

соответствующего размера инвестиций по 2-м предприятиям.

|? |0 |100 |200 |300 |400 |500 |600 |700 |

|F2 |0 |28 |53 |70 |90 |106 |120 |133 |

|x2 |0 |0 |100 |100 |100 |200 |300 |300 |

Таблица 2

| |?-х2 |0 |100 |200 |300 |400 |500 |600 |700 |

| | | | | | | | | | |

|х3 | | | | | | | | | |

| | |0 |28 |53 |70 |90 |106 |120 |133 |

| |F3(?-x3)| | | | | | | | |

| | | | | | | | | | |

| |f3(x3) | | | | | | | | |

|0 |0 |0 |28 |53 |70 |90 |106 |120 |133 |

|100 |15 |15 |43 |68 |85 |105 |121 |135 | |

|200 |25 |25 |53 |78 |95 |115 |131 | | |

|300 |40 |40 |68 |93 |110 |130 | | | |

|400 |56 |56 |84 |109 |125 | | | | |

|500 |62 |62 |90 |115 | | | | | |

|600 |73 |73 |101 | | | | | | |

|700 |82 |82 | | | | | | | |

Жирным цветом обозначен максимальный суммарный эффект от выделения

соответствующего размера инвестиций по 3-м предприятиям.

|? |0 |100 |200 |300 |400 |500 |600 |700 |

|F2 |0 |28 |53 |70 |90 |106 |121 |135 |

|x2 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |100 |100 |

Таблица 3

| |?-х4 |0 |100 |200 |300 |400 |500 |600 |700 |

| | | | | | | | | | |

|x4 | | | | | | | | | |

| | |0 |28 |53 |70 |90 |106 |121 |135 |

| |F4(?-x4)| | | | | | | | |

| | | | | | | | | | |

| |f4(x4) | | | | | | | | |

|0 |0 | | | | | | | |135 |

|100 |20 | | | | | | |141 | |

|200 |33 | | | | | |139 | | |

|300 |42 | | | | |132 | | | |

|400 |48 | | | |118 | | | | |

|500 |53 | | |106 | | | | | |

|600 |56 | |84 | | | | | | |

|700 |58 |58 | | | | | | | |

Жирным цветом обозначен максимальный суммарный эффект от выделения

соответствующего размера инвестиций по 4-м предприятиям.

Сведем результаты в 4 таблицы. Теперь F4(7)=141 показывает максимальный

суммарный эффект по всем 4-м фирмам, a z4(7)=100 тыс. руб. - размер

инвестиций в 4-ю фирму для достижения этого максимального эффекта. На долю

остальных трех предприятий остается 600 тыс. руб.

Третьему предприятию должно быть выделено х*3=Х3(700-х*4)=Х3(600)=100 тыс.

руб.

Продолжая обратный процесс, находим х*2=Х2(700-х*4-х*3)=Х2(500)=200 тыс.

руб.

На долю первого предприятия остается х*1=700-х*4-х*3-х*2=300 тыс. руб.

Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных

вложений по предприятиям:

х*1 =300; х*2 =200; х*3 = 100; х*4 = 100.

Оно обеспечивает производственному объединению наибольший возможный

прирост прибыли 141 тыс. руб.

Анализ доходности и риска финансовых операций

Финансовой называется операция, начальное и конечное состояния которой

имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации

дохода - разности между конечной и начальной оценками.

Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях

неопределенности и потому их результат невозможно предсказать заранее.

Поэтому финансовые операции рискованны, т.е. при их проведении возможны как

прибыль, так и убыток.

Существует несколько разных способов оценки операции с точки зрения

доходности и риска. Наиболее распространенным является представление дохода

операции как случайной величины и оценка риска операции как среднего

квадратического отклонения этого случайного дохода. Однако количественно

оценить риск возможно лишь если операция вероятностно характеризуема, т.е.

ее доход есть случайная величина - это предполагает возможность

неоднократного повторения этой операции. Итак, пусть доход от операции Q

есть случайная величина, которую будем обозначать также как и саму операцию

Q. Математическое ожидание М[Q] называют еще средним ожидаемым доходом, а

риск операции r отождествляют со средним квадратическим отклонением, т.е.

квадратным корнем из дисперсии D[Q].

Рассмотрим четыре операции Q1, Q2, Q3, Q4. Найдем средние ожидаемые

доходы Qi и риски ri, операций.

[pic] ; [pic] ;

[pic] ; [pic] .

|Q1: |0 |1 |2 |8 |

| |1/3 |1/3 |1/6 |1/6 |

Q1=0(1/3+1(1/3+2(1/6+8(1/6=2

M[Q12]= 02 (1/3+12 (1/3+22 (1/6+82 (1/6=11,7

D[Q1]= 11,7-22=7,7

r1=2,77

|Q2: |2 |3 |4 |10 |

| |1/3 |1/3 |1/6 |1/6 |

Q2=4

M[Q22]=23,7

D[Q2]=7,7

r2=2,77

|Q3: |0 |4 |6 |10 |

| |1/5 |1/5 |1/5 |2/5 |

Q3=6

M[Q32]=50,4

D[Q3]=14,4

r3=3,8

|Q4: |2 |6 |8 |12 |

| |1/5 |1/5 |1/5 |2/5 |

Q4=8

M[Q42]=78,4

D[Q4]=14,4

r4=3,8

Нанесем средние ожидаемые доходы Q и риски r на плоскость - доход

откладываем по горизонтали, а риски по вертикали (см. график 3);

Получили 4 точки. Чем правее точка (Q,r), тем более доходная операция,

чем точка выше - тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку

правее и ниже. Точка (Q',r') доминирует над точкой (Q,r) если Q'>Q и r'0

Рассматриваем вариант, когда В играет в смешанных стратегиях, а П – в

чистых стратегиях выбирает первую строку.

-7/11= 2y-5(1-y)

y*= 48/77

q*=(48/77, 0, 0, 29/77) – оптимальная смешанная стратегия В

Анализ модели краткосрочного страхования жизни

В страховой компании застраховано N1=900 человек в возрасте 45 лет и

N2=550 человек в возрасте 55 лет сроком на один год. Компания выплачивает

наследникам: 100000 руб., в случае смерти застрахованного от несчастного

случая, и 25000 руб., в случае смерти от естественных причин в течение

года. Компания не платит ничего, если человек проживет этот год.

Предположим, что смертность описывается моделью Мейкхама и рассчитаем нетто-

премию, цену полиса, страховую надбавку, чтобы вероятность неразорения

компании составляла 0,95.

Индивидуальные иски x[pic] и x[pic] каждого из застрахованных 1-ой и 2-ой

групп определяются, соответственно, рядами распределения (для удобства за

денежную единицу примем 100000 руб.).

0 ј 1 (1)

x[pic]

[pic]=0,9982 [pic]=0,0013 [pic]=0,0005

0 ј 1

x[pic]

[pic]=0,9962 [pic]=0,0044 [pic]=0,0005

Здесь вероятности смерти от несчастного случая примем равными 0,0005,

а вероятности смерти от естественных причин возьмем из Таблицы

продолжительности жизни.

Средние индивидуальные иски Мx[pic] и Мx[pic] равны соответствующим

нетто-премиям Р[pic] и Р[pic] для клиентов компании 1-ой и 2-ой групп.

Р[pic] = Мx[pic] = ј*0,0013 + 1*0,0005 » 0,00083 = 83 руб.

(2)

Р[pic] = Мx[pic] = ј*0,0044 + 1*0,0005 » 0,0016 = 160 руб.

I. Сначала рассмотрим решение, основанное на распределении Пуассона.

Чтобы свести задачу к схеме опытов Бернулли можно приближенно заменить

ряды распределения (1) следующими таблицами:

0 М(x[pic]/x[pic]№0) 0 М(x[pic]/x[pic]№0)

x[pic]: x[pic]:

(3)

[pic] [pic] [pic] [pic]

а затем в качестве условной денежной единицы принять условные

математические ожидания М(x[pic]/x[pic]№0) в 1-ой таблице и

М(x[pic]/x[pic]№0) – во 2-ой.

Вычислим условные математические ожидания:

М(x[pic]/x[pic]№0)=ј*Р(x[pic]=ј/x[pic]№0)+1*Р(x[pic]=1/x[pic]№0) =

=ј*[pic]/([pic])+1*[pic]=

=ј*0,0044/(0,0044+0,0005)+1*0,0005/(0,0044+0,0005)=

=ј*13/18+1*5/49 = 5/18 » 0,458=45800 руб. – денежная единица для клиентов 1-

ой группы.

М(x[pic]/x[pic]№0=ј*[pic]/([pic])+1*[pic]=

=ј*0,0044/(0,0044+0,0005)+1*0,0005/(0,0044+0,0005)=

=. ј*44/49+1*5/49 = 16/49 » 0,327=32700 руб – денежная единица для клиентов

2-ой группы.

С учетом всех замечаний вместо рядов распределения (3) имеем:

0 1 0 1

x[pic]: x[pic]: (4)

0,9982 0,0018 0,9962 0,0049

откуда получаем: Мx[pic] = 0,0018

Мx[pic] = 0,0049.

Подсчитаем сумму исков от застрахованных

1-ой группы:

l[pic] = [pic]Мx[pic] = N1* Мx[pic] = 400*0,0018 = 0,7

2-ой группы:

l[pic] = [pic]Мx[pic] = N2* Мx[pic] = 1000*0,0049 = 4,9

Общая сумма исков может рассматриваться, как случайная пуассоновская

величина с параметром l[pic]+l[pic] = 5,6

Так как вероятность не разорения компании должна быть не меньше 0,95,

необходимо чтобы для общей суммы исков от застрахованных

x = [pic]x[pic] + [pic]x[pic]

выполнялось соотношение: Р(x Ј x) і 0,95 , где х –

капитал компании.

Очевидно, что х = х[pic], здесь х[pic]» 10– квантиль уровня 0,95 для

распределения Пуассона. За счет нетто-премий компания может получить только

сумму:

5,6=0,7*45800 руб. + 4,9*32700 руб. = 32060 руб.+1060230 руб. =

192290руб.

Поэтому страховая надбавка компании должна составлять:

R=(10-5,6)/5,6 (100% »78,6% = 0,786*192290 руб.»1511400руб., (5)

а капитал компании:

х = 192290 руб. + 151140 руб. » 343430 руб. (6)

Таким образом, индивидуальные страховые надбавки r[pic] и r[pic], цены

полисов Р[pic] и Р[pic] для каждого из клиентов 1-ой и 2-ой группы

соответственно равны (они пропорциональны нетто-премиям):

r[pic] = 0,52*Р[pic] = 0,52*83 руб. » 43 руб.,

r[pic] = 0,52*Р[pic] = 0,52*160 руб. » 83 руб.,

(7)

Р[pic] = Р[pic] + r[pic] » 43 руб. + 83 руб. = 126 руб.,

Р[pic] = Р[pic] + r[pic] »160 руб. + 83 руб. = 243 руб.

II. Теперь решим задачу с помощью гауссовского приближения. Среднее

значение общего суммарного иска от застрахованных

x = [pic]Мx[pic] + [pic]Мx[pic]

с учетом средних индивидуальных исков (2) равно:

Мx = N1*Mx[pic]+ N2* Мx[pic]=400*0,00083+1000*0,0016=

= 0,332 + 1,6 » 1,9 = 190000 руб.

(8)

Дисперсию x в виду независимости x[pic] и x[pic] вычислим по формуле:

Dx = [pic]Dx[pic] + [pic]Dx[pic] » 400*0,00058 + 1000*0,00078=

=0,23 + 0,78 = 1,01. (9)

Здесь:

Dx[pic] = М(x[pic])[pic] - М[pic]x[pic] = 0,00058 – (0,00083)[pic] »

0,00058 ,

(10)

Dx[pic] = М(x[pic])[pic] - М[pic]x[pic] = 0,00078 – (0,0016) [pic] »

0,00078 ,

где с помощью рядов распределения (1) имеем:

М(x[pic])[pic] = 1/16*0,0013 + 1*0,0005 » 0,00058 ,

(11)

М(x[pic])[pic] = 1/16*0,0044 +1*0,0005 » 0,00078.

На основании центральной предельной теоремы функция распределения

нормированной случайной величины:

S[pic]= (x - Mx)/[pic],

при N1 + N2 ® Ґ имеет предел

F(x) = (1/[pic])*[pic]dz

Для гауссовского приближения случайной величины x верна следующая цепочка

равенств:

Р(x < x) = Р((x - Мx)/[pic] Ј (х - Мx)/[pic]) » F((x - Mx)/[pic]) ,

где х – капитал компании.

Для того чтобы вероятность неразорения компании не превосходила 0,95, т.е.

F((x - Mx)/[pic]) і 0,95 должно быть выполнено соотношение

(х - Mx)/[pic] і х[pic],

(12)

здесь х[pic]» 1,645 – квантиль уровня 0,95 стандартного гауссовского

распределения.

Нетрудно убедиться в том, что минимально необходимый капитал компании

должен составлять:

х=Мx+х[pic]*[pic]»1,9+1,645*1,005=1,9+1,65=3,55=355000руб.,

(13)

а относительная страховая надбавка составляет:

х[pic]*[pic]/Мx*100%=1,65/1,9*100%»86,8% (14)

Индивидуальные страховые надбавки r[pic] и r[pic], цены полисов Р[pic]

и Р[pic] для клиентов 1-ой и 2-ой групп с учетом (2), очевидно будут равны

(страховые надбавки пропорциональны нетто-премиям):

r[pic] = 0,68*83 руб. » 56 руб.;

r[pic] = 0,68*160 руб. » 109 руб.;

(15)

Р[pic] = Р[pic] + r[pic] »83 руб. + 56 руб. = 139 руб.;

Р[pic] = Р[pic] + r[pic] »160 руб. + 109 руб. = 269 руб.

III. Проанализируем результаты, полученные в п.п. I и II. Очевидно

расхождение результатов, полученных при использовании пуассоновского и

гауссовского приближений. Попытаемся разобраться, в чем причина этого

различия.

Дело в том, что при использовании закона Пуассона замена рядов

распределения (1) на ряды распределения (3) привела к тому, что не

изменились лишь математические ожидания Мx[pic]и Мx[pic]. В то же время

дисперсии Dx[pic] и Dx[pic], свидетельствующие о степени рассеяния

случайных исков x[pic] и x[pic], найденных по рядам распределения (1) и

(3), различны. Следовательно, различны и дисперсии Dx, найденные по рядам

распределения (1) и (3). Действительно, дисперсия общего суммарного иска x

по рядам (1) подсчитана: Dx = 1,24 (см. соотношение (9) ).

Вычислим дисперсию x по рядам распределения (3), т.е.

0 0,458 0 0,327

x[pic]: x[pic]:

(16)

0,9982 0,0018 0,9962 0,0049

Проведя расчеты, аналогичные (9-11), получим:

Dx =[pic]Dx[pic] + [pic]Dx[pic] » 400*0,00038 + 1000*0,00052 = 0,67.

(17)

Здесь:

Dx[pic] = М(x[pic])[pic] - М[pic]x[pic] = 0,00038 – (0,00083)[pic] »

0,00038 ,

(18)

Dx[pic] = М(x[pic])[pic] - М[pic]x[pic] = 0,00052 – (0,0016) [pic] »

0,00052 ,

причем:

М(x[pic])[pic] = 0,458[pic]*0,0018 » 0,00038 ,

(19)

М(x[pic])[pic] = 0,327[pic]*0,0049 » 0,00052.

В дальнейшем будем использовать следующие обозначения: дисперсию x,

найденную с использованием рядов (1), обозначим s[pic], а дисперсию x,

найденную по рядам (3) или (16), обозначим s[pic]. Таким образом, s[pic] =

1,01, а s[pic] = 0,67.

Из формулы (12), использующей стандартное гауссовское распределение,

непосредственно следует, что относительная страховая надбавка, если Dx =

s[pic] = 0,67 , равна

х[pic]*s[pic]/Мx*100% = 1,645*[pic]/1,9*100% » 70,9%

(20)

Этот результат хорошо согласуется с относительной страховой надбавкой,

учитывающей распределение суммарного иска x по закону Пуассона, равной

86,8% (см. (5)).

Учитывая вышеизложенное, напрашивается естественный вывод: если

относительная страховая надбавка, капиталл компании, обеспечивающий

неразорение компании с вероятностью 0,95, и цена полиса вычисляются, исходя

из распределения суммарного иска застрахованных по закону Пуассона, то для

нахождения основных характеристик компании необходимо ввести поправочный

коэффициент, равный k = s1 /s2.

Проиллюстрируем применение коэффициента k для коррекции результатов,

полученных в п.I:

страховая надбавка с учетом (5) станет равной:

R[pic]= k*R = [pic]*86,8%=1,2*86,8% » 71,4% » 135660 руб. (21)

капитал компании (см.(6)) станет равным:

х[pic]= 190000 руб. + 135660 руб. » 325660 руб.,

(22)

а индивидуальные страховые надбавки и цены полисов (см.(7)):

r[pic][pic] = k*r[pic] » 1,2*43 руб. » 54 руб.,

r[pic][pic] = k*r[pic] » 1,2*83 руб. » 100 руб.,

(23)

Р[pic][pic] = Р[pic] + r[pic][pic] » 83 руб. + 54 руб. = 137 руб.,

Р[pic][pic] = Р[pic] + r[pic][pic] » 160 руб. + 100 руб. = 260 руб.

В заключение необходимо отметить, что характеристики работы компании,

полученные с учетом коррекции результатов исследования, в котором суммарный

иск застрахованных подчинен распределению Пуассона хорошо согласуется с

характеристиками работы страховой компании.

Страницы: 1, 2