реферат, рефераты скачать
 

Лекции (1-18) по мат. анализу 1 семестр


Лекции (1-18) по мат. анализу 1 семестр

Лекция №1

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 5 сентября 2000 г.

Тема: Введение

Условные обозначения:

: - так, что def – по определению

( – включает ’’’ – [dnf(x)]/dxn=(d/dx)([dn-1f(x)]/dxn)

( - следует, выполняется

( - тогда и только тогда

( - любой

( - существует

] – пусть

! – единственный

[x] – целая часть

~ - эквивалентно

о - малое

Все R представляют десятичной дробью.

Все Q представляют конечной дробью, либо периодичной дробью.

Все иррациональные числа представляют бесконечной десятичной дробью ( не

периодичной).

Рассмотрим числовую ось. Числовая ось – направленная прямая с отмеченной

точкой и отмеченным масштабом.

0 – отвечает за ноль.

Отрезок [0;1] отвечает за единицу

Единица за единицу.

Каждой точки х на числовой прямой отвечает некоторое действительное

число. Если длинны отрезков [0;x] из заданного масштаба соизмеримы, тогда

числу х отвечает рациональное число. Если не соизмеримы, то иррациональны.

Каждому R отвечает точка на числовой прямой и наоборот, каждой точке

отвечает R.

Основные числовые множества.

x

Отрезок: [/////////] x

a b

Обозначается [a;b] a(b

Частный случай отрезка точка

Или a(x(b – в виде неравенства.

х

Интервал: (/////////) x – множество точек на

числовой прямой.

a b

Обозначается (a;b) или в виде неравенства a0 а-? а а+?

О?(а)={x(R:(x-a(0

(х(= 0; x=0

-x; xh( x>h

h>0 x?} (////////// x

?>0 ?

О?(-()={x(R:x0 -? 0

О?(()={x(R:(x(>?} \\\\\\) ( (////// x

x>?;xf(x2)

[pic]

3) Не убывающий на Х, если для любого х1;х2 принадлежащие Х:

х10 так что (аn((С, для любого n(N.

Монотонные последовательности

1) возрастающая anan+1, ( n(N

3) не возрастающая an(an+1, ( n(N

4) не убывающая an(an+1, ( n(N

Пределы последовательности.

Определение: числа а , называется пределом числовой последовательности

аn, если для любого сколь угодно малого числа ?>0, найдётся натуральный

номер N такой, что для всех чисел n(N выполняется модуль разности (an-

a(0 ( N : ( n(N ((an-a(0, хотим чтобы ((-1)n-0(1/?

N=[1/?]+1

?=0.01

N=[1/0.01]+1=101

|an|0 ((1-1/n2)-1(1/? ( n>1/(?

N=[1/(?]+1

Лекция №3

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 13 сентября 2000 г.

Тема: Последовательности

Бесконечно малые последовательности

Последовательность аn называется бесконечно малой , это означает, что

предел этой последовательности после равен 0.

an – бесконечно малая ( lim an=0 то есть для любого ?>0 существует N, такое

что для любого n>N выполняется

n(+(

(an(0 (1/n(1/?( N[1/?]+1

Докажем, что lim1/n=0

n(+(

2) (n= sin(1/n). Докажем, что для любого ?>0 (sin(1/n)(0, следовательно

sin(1/n)1/arcsin? N=[1/arcsin?]+1. Докажем, что lim

sin1/n=0

n(+(

3) (n=ln(1+1/n)

n(0; 1/n((; 1+1/n(1

lim ln(1+1/n)=0

n(+(

Докажем (ln(1+1/n)(1/e?-1( N=[1/e?-1]+1

5) (n=1-cos(1/n)

lim(1-cos(1/n))=0

n(+(

Докажем (?>0 (1-cos(1/n)(1-? (считаем, что 01/arcos(1-?)

N=[1/arcos(1-?)]+1

Свойства бесконечно малой последовательности.

Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое.

(n(n(бесконечно малое ( (n+(n – бесконечно малое.

Доказательство.

Дано:

(n- бесконечно малое ( (?>0 ( N1:(n>N1 ( ((n(0 ( N2:(n>N2 ( ((n(N ( одновременно выполняется оба

неравенства:

((n(N

((n(0, положим ?=?1/2. Тогда для любого ?1>0 (N=maxN1N2 : ( n>N (

((n+(n(0, положим ?=(?1, так как (n и (n – бесконечно малое для этого

?>0, то найдётся N1: ( n>N ( ((n(N2 ( ((n(N = ((n(0 (N:(n>N ((n(n(0: (n(N ( (an((C

Зададим (?1>0; положим ?=?1/C; так как (n – бесконечно малая, то ?>0

(N:(n>N( ((n(0 (N: (n>N ( (an(n(=C?=?1 ( lim an(n=0( an(n – бесконечно малое

n((

Замечание: в качестве ограниченной последовательности можно

рассматривать const ( произведение постоянно.

Теорема о представление последовательности имеющий конечный предел.

lim an=a ( an=a+(n

n(+(

Последовательность an имеет конечный предел а тогда и только тогда, когда

она представлена в виде an=a+(n

где (n – бесконечно малая.

Доказательство:

lim an ( ( ?>0 (N:(n>N ( (an-a(N, то есть

(n - бесконечно малая

n(+(

an=a+(n что и требовалось доказать

Доказательство (обратное): пусть an=a+(n, (n – бесконечно малая, то есть

(n=an-a ( (?>0 (N: (n>N (

(((n(=(an-a(N1(bn(0

bn

0( (////////b(/////////) x

an/bn=an/bn-a/b+a/b=a/b+(ban-abn)/bbn=a/b+[b(a+(n)-

a(b+(n)]/b(b+(n)=a/b+(n/b(1+bn/b)

lim an/bn=a/b

n(+(

Лекция №4

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: понедельник, 19 сентября 2000 г.

Тема: Бесконечно большие последовательности .

аn=(-1)n – не имеет предел.

{bn}={1,1…}

{an}={-1;1;-1;1…} – предел не существует.

Бесконечно большие последовательности.

an=2n

[pic]

(N:(n>N ( an>?

bn=(-1)n2n

[pic]

(N:(n>N ( (bn(>?

cn=-2n

[pic]

(N:(n>N (cn0(N:(n>N ( an>? где ?- сколь угодно малое.

n((

2)lim an=-(, если (?>0 (N:(n>N ( an0 (N:(n>N ( (an(>?

n(+(

Последовательностью имеющий конечный предел называют сходящимися. В

противном случае последовательность называют расходящимися. Среди них есть

последовательности, которые расходятся в бесконечность. О них мы говорим,

что они имеют бесконечный предел.

Доказательство:

an=2n

Берём (?>0; хотим 2n>?

n>log2?

N=[log2?]+1

Правило формирования обратного утверждения: нужно поменять местами значки (

и (, а знак неравенства на дополнительный.

Пример:

Утверждение lim an=a0 (N(N:(n>N ( (an-a(0 (N(N:( n>N ( (an-a(0(N:(n>N ( (an-a(0 возьмем ?=1 ( (N:(n>N ( (an-a(N

Этому неравенству может быть не удовлетворять только первые N члены

последовательности.

N1=max{(a1(;(a2(;…(an(;(1+a(;(a-1(}

an(c, (n>N

Теорема (о единстве предела сходящейся последовательности).

Если (lim an=a 0 для определенности пусть b>a

((N1:(n>N1( (an-a(N2 ( (an-b(-(b-a)/2

b-aa неверно. Аналогично

доказывается, что bN0) (1/(n – бесконечно большая

Доказательство:

1)an- бесконечно большая ( lim an=( ( для достаточно больших номеров n

an(0. Зададим любое сколько

n(+(

угодно малое ?>0, положим ?=1/?>0

Для ? (N1:(n>N1( (an(>?, то есть (an(>1/? N=max{N1;N0}

Тогда (n>N ( 1/(an(N0 зададим (?>0 положим ?=1/?>0

(N1:(n>N1( ((n(N ( 1/((n(=(, то есть 1/(n – бесконечно большая.

Основные теоремы о существование предела последовательности.

Теорема Вейрштрасса:

Пусть an- ограниченная и моннатонна. Тогда ( lim an=а<(

n(+(

Лемма. Среднее арифметическое чисел больше среднего геометрического.

Равенство достигается только если все числа равны.

-----------------------

По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик

van_mo_mail@mtu-net.ru или на сотовый:

8-901-7271056 спросить Ваню(

x

[pic]

[pic]

[pic]


ИНТЕРЕСНОЕ



© 2009 Все права защищены.