| |||||
МЕНЮ
| Лекции (1-18) по мат. анализу 1 семестрЛекции (1-18) по мат. анализу 1 семестрЛекция №1 Ведущая: Голубева Зоя Николаевна Дата: вторник, 5 сентября 2000 г. Тема: Введение Условные обозначения: : - так, что def – по определению ( – включает ’’’ – [dnf(x)]/dxn=(d/dx)([dn-1f(x)]/dxn) ( - следует, выполняется ( - тогда и только тогда ( - любой ( - существует ] – пусть ! – единственный [x] – целая часть ~ - эквивалентно о - малое Все R представляют десятичной дробью. Все Q представляют конечной дробью, либо периодичной дробью. Все иррациональные числа представляют бесконечной десятичной дробью ( не периодичной). Рассмотрим числовую ось. Числовая ось – направленная прямая с отмеченной точкой и отмеченным масштабом. 0 – отвечает за ноль. Отрезок [0;1] отвечает за единицу Единица за единицу. Каждой точки х на числовой прямой отвечает некоторое действительное число. Если длинны отрезков [0;x] из заданного масштаба соизмеримы, тогда числу х отвечает рациональное число. Если не соизмеримы, то иррациональны. Каждому R отвечает точка на числовой прямой и наоборот, каждой точке отвечает R. Основные числовые множества. x Отрезок: [/////////] x a b Обозначается [a;b] a(b Частный случай отрезка точка Или a(x(b – в виде неравенства. х Интервал: (/////////) x – множество точек на числовой прямой. a b Обозначается (a;b) или в виде неравенства a0 а-? а а+? О?(а)={x(R:(x-a(0 (х(= 0; x=0 -x; xh( x>h h>0 x?} (////////// x ?>0 ? О?(-()={x(R:x0 -? 0 О?(()={x(R:(x(>?} \\\\\\) ( (////// x x>?;xf(x2) [pic] 3) Не убывающий на Х, если для любого х1;х2 принадлежащие Х: х10 так что (аn((С, для любого n(N. Монотонные последовательности 1) возрастающая anan+1, ( n(N 3) не возрастающая an(an+1, ( n(N 4) не убывающая an(an+1, ( n(N Пределы последовательности. Определение: числа а , называется пределом числовой последовательности аn, если для любого сколь угодно малого числа ?>0, найдётся натуральный номер N такой, что для всех чисел n(N выполняется модуль разности (an- a(0 ( N : ( n(N ((an-a(0, хотим чтобы ((-1)n-0(1/? N=[1/?]+1 ?=0.01 N=[1/0.01]+1=101 |an|0 ((1-1/n2)-1(1/? ( n>1/(? N=[1/(?]+1 Лекция №3 Ведущая: Голубева Зоя Николаевна Дата: среда, 13 сентября 2000 г. Тема: Последовательности Бесконечно малые последовательности Последовательность аn называется бесконечно малой , это означает, что предел этой последовательности после равен 0. an – бесконечно малая ( lim an=0 то есть для любого ?>0 существует N, такое что для любого n>N выполняется n(+( (an(0 (1/n(1/?( N[1/?]+1 Докажем, что lim1/n=0 n(+( 2) (n= sin(1/n). Докажем, что для любого ?>0 (sin(1/n)(0, следовательно sin(1/n)1/arcsin? N=[1/arcsin?]+1. Докажем, что lim sin1/n=0 n(+( 3) (n=ln(1+1/n) n(0; 1/n((; 1+1/n(1 lim ln(1+1/n)=0 n(+( Докажем (ln(1+1/n)(1/e?-1( N=[1/e?-1]+1 5) (n=1-cos(1/n) lim(1-cos(1/n))=0 n(+( Докажем (?>0 (1-cos(1/n)(1-? (считаем, что 01/arcos(1-?) N=[1/arcos(1-?)]+1 Свойства бесконечно малой последовательности. Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое. (n(n(бесконечно малое ( (n+(n – бесконечно малое. Доказательство. Дано: (n- бесконечно малое ( (?>0 ( N1:(n>N1 ( ((n(0 ( N2:(n>N2 ( ((n(N ( одновременно выполняется оба неравенства: ((n(N ((n(0, положим ?=?1/2. Тогда для любого ?1>0 (N=maxN1N2 : ( n>N ( ((n+(n(0, положим ?=(?1, так как (n и (n – бесконечно малое для этого ?>0, то найдётся N1: ( n>N ( ((n(N2 ( ((n(N = ((n(0 (N:(n>N ((n(n(0: (n(N ( (an((C Зададим (?1>0; положим ?=?1/C; так как (n – бесконечно малая, то ?>0 (N:(n>N( ((n(0 (N: (n>N ( (an(n(=C?=?1 ( lim an(n=0( an(n – бесконечно малое n(( Замечание: в качестве ограниченной последовательности можно рассматривать const ( произведение постоянно. Теорема о представление последовательности имеющий конечный предел. lim an=a ( an=a+(n n(+( Последовательность an имеет конечный предел а тогда и только тогда, когда она представлена в виде an=a+(n где (n – бесконечно малая. Доказательство: lim an ( ( ?>0 (N:(n>N ( (an-a(N, то есть (n - бесконечно малая n(+( an=a+(n что и требовалось доказать Доказательство (обратное): пусть an=a+(n, (n – бесконечно малая, то есть (n=an-a ( (?>0 (N: (n>N ( (((n(=(an-a(N1(bn(0 bn 0( (////////b(/////////) x an/bn=an/bn-a/b+a/b=a/b+(ban-abn)/bbn=a/b+[b(a+(n)- a(b+(n)]/b(b+(n)=a/b+(n/b(1+bn/b) lim an/bn=a/b n(+( Лекция №4 Ведущая: Голубева Зоя Николаевна Дата: понедельник, 19 сентября 2000 г. Тема: Бесконечно большие последовательности . аn=(-1)n – не имеет предел. {bn}={1,1…} {an}={-1;1;-1;1…} – предел не существует. Бесконечно большие последовательности. an=2n [pic] (N:(n>N ( an>? bn=(-1)n2n [pic] (N:(n>N ( (bn(>? cn=-2n [pic] (N:(n>N (cn0(N:(n>N ( an>? где ?- сколь угодно малое. n(( 2)lim an=-(, если (?>0 (N:(n>N ( an0 (N:(n>N ( (an(>? n(+( Последовательностью имеющий конечный предел называют сходящимися. В противном случае последовательность называют расходящимися. Среди них есть последовательности, которые расходятся в бесконечность. О них мы говорим, что они имеют бесконечный предел. Доказательство: an=2n Берём (?>0; хотим 2n>? n>log2? N=[log2?]+1 Правило формирования обратного утверждения: нужно поменять местами значки ( и (, а знак неравенства на дополнительный. Пример: Утверждение lim an=a0 (N(N:(n>N ( (an-a(0 (N(N:( n>N ( (an-a(0(N:(n>N ( (an-a(0 возьмем ?=1 ( (N:(n>N ( (an-a(N Этому неравенству может быть не удовлетворять только первые N члены последовательности. N1=max{(a1(;(a2(;…(an(;(1+a(;(a-1(} an(c, (n>N Теорема (о единстве предела сходящейся последовательности). Если (lim an=a 0 для определенности пусть b>a ((N1:(n>N1( (an-a(N2 ( (an-b(-(b-a)/2 b-aa неверно. Аналогично доказывается, что bN0) (1/(n – бесконечно большая Доказательство: 1)an- бесконечно большая ( lim an=( ( для достаточно больших номеров n an(0. Зададим любое сколько n(+( угодно малое ?>0, положим ?=1/?>0 Для ? (N1:(n>N1( (an(>?, то есть (an(>1/? N=max{N1;N0} Тогда (n>N ( 1/(an(N0 зададим (?>0 положим ?=1/?>0 (N1:(n>N1( ((n(N ( 1/((n(=(, то есть 1/(n – бесконечно большая. Основные теоремы о существование предела последовательности. Теорема Вейрштрасса: Пусть an- ограниченная и моннатонна. Тогда ( lim an=а<( n(+( Лемма. Среднее арифметическое чисел больше среднего геометрического. Равенство достигается только если все числа равны. ----------------------- По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик van_mo_mail@mtu-net.ru или на сотовый: 8-901-7271056 спросить Ваню( x [pic] [pic] [pic] |
ИНТЕРЕСНОЕ | |||
|