Лекции по Математическому анализу

Лекции по Математическому анализу

Непрерывность и арифметические операции

Пусть [pic] и [pic]непрерывна в т. х0 , тогда справедливо:

1. Сумма этих ф-ий непрерывна в т. х0 ;

[pic]- непрерывна в точке х0

2. Произведение этих ф-ий непрерывно в т. х0

[pic]- непрерывна в точке х0

3. Отношение этих функций непрерывно в тех точках, в которых знаменатель

отличен от нуля, т.е. если знаменатель (0.

[pic]

Доказательство: [pic]

Непрерывность сложной ф-ии.

Пусть:

|Ф-ия [pic]- непрерывна в т. y0 | |

|. |(тогда сложная ф-ия [pic]- непрерывна в т. |

|Ф-ия [pic]- непрерывна в т. х0 |х0 . |

|. | |

|[pic] | |

Доказательство:

А). [pic]

Б).[pic]

[pic]

из А) и Б) следует:

[pic]

Sl. [pic]

Непрерывность ф-ии на множестве.

Df. Ф-ия непрерывна на множестве Х , если она непрервна в каждой точке

этого меожества.

Непрерывность обратной ф-ии:

Пусть [pic]- непрерывна и строго монотонна на промежуте Х , тогда

справедливо:

1. *****

2. На промежутке Y существует непрерыная обратная ф-ия [pic].

3. Характер монотонности обратной ф-ии такой же как и прямой.

Непрерывность элементарной ф-ии:

1. **********

2. Доказательство непрерывности основной элементарной ф-ии tg и ctg ,

следует из свойств непрерыности элементарных ф-ий.

3. Непрерывность log, arcsin, arccos, arstg следует из определения

непрерывности обратной ф-ии.

Df Элементарные ф-ии, полученные из основных элементарных ф-ий с помощью

арифметических операций, взятых в конечном числе,********

Характеристика точек разрыва ф-ии.

1. Точка устранимого разрыва.

D(f) т. х0 называется точкой устранимого разрыва ф-ии [pic], если она не

определена в этой точке, но имеет конечный предел.

Ф-ию можно сделать непрерывной в этой точке, доопределив ей значение в этой

точке равным пределом.

[pic]

2. Точка разрыва первого рода.

D(f) х0 – точка разрыва первого рода, если существует конечный

левосторонний и правосторонний предел не равные между собой.

[pic]

Разницу (b-a)называют скачком ф-ии в т. х0

3. Точка разрыва второго рода.

*********************************

Односторонняя непрерывность ф-ии.

1. Если в D(f)1 непрерывности предел заменить односторонним пределом, то

получим определение односторонней непрерывности ф-ии.

2. Ф-ия называется непрерывной в точке х0 справа, если правосторонний

предел совпадает со значением ф-ии.

3. Ф-ия называется непрерывной в точке х0 слева, есди левосторонний предел

совпадает со значением ф-ии.

Например:

[pic]- исследуем предел ф-ии справа и слева:

[pic]ф-ия непрепывна в точке х=0.

Для непрерывности в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы она была

непрерывна слева и справа в этой точке.

Свойства ф-й, непрерывных на отрезке

Ф-ия называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна на

интервале(a,b) и в т. а непрерывна справа а в т. b – слева.

Т1: Ф-ия [pic], непрерывная на [a,b], ограничена на этом отрезке.

[pic]- непрерывная на [a,b] [pic]

D(f) : число М называется наибольшим значением ф-ии на отрезке [a,b], если

существует такое число [pic].

D(f) :точка называется наименьшим значекнием ф-ии на [a,b], если [pic]

Т2 : ф-ия [pic], непрерывная на [a,b],имеет на [a,b] наибольшее и

наименьшее значения.

Т3 : *************

Sl1 : ((f) ф-ии, непрерывной на отрезке, является отрезок

Sl2 (Т3): ф-ия, непрерывная на отрезке [a,b], имеющая различные по знаку

значения, на его границах обязательно обращается в ноль, хотя-бы в одной

точке этого отрезка.

*******************************************

Дифференциальное счисление.

Ф-ия одной переменной.

1. Задачи, приводящие к понятию производной.

3.1. Задача о вычислении скорости точки, движущейся вдоль прямой.

Пусть точка движется вдоль прямой х.

****************************************** - l-единичный вектор, задающий

направление вдоль прямой.

[pic]

[pic]

[pic] [pic]

3.2 Построение касательной к кривой с уравнением [pic] в т. х0 .

******************** [pic]

Задачи, различные по смыслу, из разных областей науки, свелись к вычислению

одного и того же предела. В таких случаях в математике абстрагируются от

крнкретных задач и изучают отдельно предел ф-й.

Определение призводной ф-ии в точке.

Обозначение: [pic]

Df1 Производной ф-ии [pic]в т. х называют предел отношения приращения ф-ии

в этой т. к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю.

[pic]

Пример: [pic]

[pic]

[pic]- непрерывная.

[pic]

Степень ф-ии с вещественным показателем.

Справка: [pic].

[pic]

Геометрический смысл производной.

Из второй задачи следует, что поизводная ф-ии [pic] в т. х0 =тангенсу угла

наклона касательной, проведенной к графику ф-ии в этой точке.

Sl1 : Уравнение касательной к кривой. Его можно написать, зная точку, через

которую она проходит, и угловой коэффициент [pic]

[pic]где x и y – координаты т. на касательной.

Sl2 : Уравнение нормали. Его можно написать, зная точку, через которую она

проходит и угловой коэффициент [pic]

[pic], x и y – точки на нормали.

Механический смысл производной.

************

Дифференцируемость ф-ии.

Df : Ф-ия [pic] дифференцируема в точке х0 , если приращение ф-ии в точке

сможет быть представлено в виде:

[pic], А – const.

Dh: Для дифференцирования ф-ии в т. х0 , необходимо и достаточно, чтобы в

этой точке существовала производная.

Доказательство: (необходимость)

[pic]

(достаточность): [pic]

Производная суммы, произведения, частного.

Dh:Пусть ф-ия [pic] и [pic]дифференцируемы в точке х0 , тогда в этой точке

дифференцируемы их сумма, произведение и частное, причем выполняются

формулы:

1. [pic]

2. [pic]

3. [pic], если [pic]

Лемма: Ф-ия, дифференцируема в точке х0 , непрерывнна в этой точке.

[pic]- дифф. в т. х0 [pic]

обратное утверждение неверно!!!

Производная от const ф-ии =0.

Если [pic]

Доказательство:

[pic]

Zm1: При вычислении производной, константу можно выносить за знак

производной.

[pic]

Zm2: Данные формулы можно рассматривать на большее число слагаемых и

сомножителей.

Df: Линейным колебанем системы из т. ф-ий[pic] называется сумма призведения

этих ф-ий на производную и постоянную.

[pic]

Zm: Свойство линейности производной.

Из доказанных свойств, следует, что производная от линейных колебаний ф-й =

линейные комбинации призводных.

[pic]

Производная от обратной ф-ии.

Dh: Пусть [pic] в точке х0 имеет:

1. [pic]

2. на промежутке, содержащем х0 , обратную ф-ию [pic]

3. [pic]

тогда в точке х0 существует [pic], равная [pic]