Лекции переходящие в шпоры Алгебра и геометрия

Лекции переходящие в шпоры Алгебра и геометрия

1. Матрицы. Терминология и обозначения.

Матрицей размера (mxn) называется набор m(n чисел – элементов м-цы Ai,j,

записанных в виде прямоугольной таблицы:

[pic]

Набор аi1, ai2, ain – наз iтой строкой м-цы. Набор a1j, a2j, amj – jтым

столбцом.

М-ца размером 1хп – называется строкой, вектором; м-ца размером mx1 –

столбцом. Если размерность пхп – матрица называется квадратной. Набор

элементов а11, а22, апп образует главную диагональ м-цы. Набор а1п, а1,п-1,

ап1 – побочную диагональ. М-ца все эл-ты, которой = 0 наз. нулевой.

Квадратная м-ца, элементы главной диагонали которой равны 1, а все

остальные – 0, называется единичной, обозн.: Е

Матрицы: А(I,j) и B(I,J) называется равными, если равны их размеры и их

элеме6нты в одинаковых позициях совпадают.

2. Действия с матрицами

1) Сложение

Суммой м-ц А(I,j) и B(I,J) наз. м-ца С(I,J) элементы кот, выч по формуле:

Сij=Aij+Bij (I=1…m, j = 1…n)

C=A+B (размер всех м-ц: mxn)

2) умножение м-цы на число

Произведение м-цы А = (Aij) размера mxn на число С называется матрица:

B=(Bij) размера mxn, элементы кот, выч. по формуле:

Вij=С(Aij (I=1…m, j = 1…n)

В=С(А

вычитание:

С=А+(-)В = А-В

3) умножение м-ц

А=(Aik), B=(Bkj) – квадратные м-цы порядка n. Произведением А на В называют

м-цу С= (Сij) элементы, кот выч. по формуле:

Сij = Ai1(B1j+… Ain(BnJ

С=АВ. Можно записать так:

[pic]

Порядок сомножителей в матрице существенен: АВ не равно ВА

Св-ва умножения м-цы:

(АВ)С=А(ВС)

А(В+С)=АВ+АВ, (А+В)С=АС+ВС

Произведение двух прямоугольных матриц существует, если их внутренние

размеры (число столбцов первой, и число строк второй) равны.

3. Порядки суммирования. Транспонирование м-цы

Сумму Н всех элементов квадратной м-цы А можно вычислить 2 мя способами:

1. Находя сумму элементов каждого столбца и складывая полученные суммы:

[pic]

2. Находя сумму элементов каждой строки и складывая эти суммы:

[pic]

отсюда вытекает, что

[pic]

порядок суммирования в двойной сумме можно менять.

Матрица

[pic]

называется транспонированной по отношению к м-це А=

[pic]

Обозначается АТ. При транспонировании строки переходят в столбцы, а столбцы

в строки и если А размером mxn, то АТ будет размером nxm

Св-ва операции транспонирования.

1 (АТ)Т=А

2 (А+В)Т=АТ+ВТ

3 (СА)Т=САТ (С-число)

4 (АВ)Т=АТ(ВТ

4. Элементарные преобразования матрицы.

1 Переставление двух строк

2 Умножение строки на не равное 0 число В

3 Прибавление к строке матрицы другой ее строки, умноженной на число С.

Также производят элементарные преобразования столбцов.

5. Матрицы элементарных преобразований.

С элементарными преобразованиями тесно связаны квадратные матрицы

элементарных преобразований. Они бывают следующих типов:

1 м-цы получающиеся из единичных путем перестановки двух любых строк

например м-ца:

получена перестановкой 2 и 4 строки

2 тип. м-цы получающиеся из единичной заменой диагонального элемента на

произвольное не нулевое число:

отличается от единичной элементом В во второй строке

3 тип отличающиеся лишь одним недиагональным не нулевым элементом:

Основное св-во матриц элементарных преобразований Элементарное

преобразование произвольной матрицы равносильно умножению этой м-цы на

матрицу элементарных преобразований

Элементарные преобразования строк м-цы А

1 умножение м-цы А на м-цу 1 типа слева переставляет строки с номерами I,j

2 Умножение м-цы А на м-цу второго типа слева равносильно умножению j

строки м-цы А на число В

3 прибавление к jстороке м-цы А ее iтой строки, умноженной на число С

равносильно умножению м-цы А на м-цу 3 типа слева

Элементарные преобразования столбцов м-цы А

1 умножение м-цы А на м-цу 1 типа справа переставляет столбцы с номерами

I,j

2 Умножение м-цы А на м-цу второго типа справа равносильно умножению j

столбца м-цы А на число В.

3 прибавление к j столбцу м-цы А ее I того столбца, умноженного на число С

равносильно умножению м-цы А на м-цу 3 типа справа.

6. Определители

С каждой квадратной матрицей связано некое число наз. определителем.

Определителем м-цы второго порядка:

[pic]

наз число: а11(а22-а12(а21

Определитель м-цы третьего порядка:

[pic]=

=[pic]

также можно восп правилами треугольника:

Предположив, что определитель м-цы порядка меньше n уже известен,

определитель м-цы порядка n будет равен:

D= a11(M11-a21(M21+…+(-1)n+1(an1(Mn1

где Мi1 – определитель м-цы порядка n-1, это число называется

дополнительным минором. Подобная м-ца получается из А путем вычеркивания 1

столбца и j строки. Это называется разложением определителя по 1 ому

столбцу.

[pic]

число: Аij=(-1)I+1(Mij называется алгебраическим дополнением эл-та аij в

определителе [А] с учетом алгебр. доп ф-лу нахождения определителя можно

записать так:

[pic]

Определитель – сумма попарных произведений эл-тов произвольного столбца на

их алгебраический дополнитель.

7. Свойства определителя

1 При транспонировании матрицы определитель не изменяется: [AT]=[А]

отсюда вытекает, что строка и столбец равноправны с точки зрения свойств

определителя.

2 Линейность

Если в определителе D I является линейной комбинацией 2-х строк:

[pic]

тогда D=fD’+lD’’

где: [pic] [pic]

отличаются от D только I-тыми строками.

3 Антисимметричность если определитель В* получен из опр В перестановкой

строк, то В* = -В

4 Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен 0

5 Умножение строки определителя на число равносильно умножению самого

определителя на это число

6 определитель с 0 строкой = 0

7 определитель, одна из строк которого = произв другой строки на число не

равное 0 = 0. (Число выносится за определитель далее по св-ву 4)

8 Если к строке определителя прибавить другую его строку, умноженную на

какое либо число, то полученный определитель будет равен исходному.

9 Сумма произведения эл-тов строки определителя на алгебр. дополнение

соответствующих элементов другой строки опр = 0

8. Обратная матрица

Квадратная матрица наз. невырожденной, если ее определитель не равен 0.

М-ца В, полученная из невырожд м-цы А по правилу:

В позицию ij м-цы В помещается число = алгебраическому дополнению м-цы Aji,

эл-та аji в м-це А.

М-ца В наз. союзной или присоединенной к м-це А и обладает следующими св-

вами:

АВ=ВА=[А]I (I-единичная матрица)

Матрица А-1=1/[А]В называется обратной м-це А. Отсюда вытекает равенство:

АА-1=I, А-1А=I

М-цу А-1 можно рассматривать как решение 2х матричных уравнений АХ=I, ХА=I,

где [pic]- неизвестная матрица.

Произвольную невырожденную м-цу элементарными преобразованиями строк можно

привести к единичной матрице

1 Привести к треугольному виду

2 Диагональ матрицы преобр 2 вида приводится к равенству единицам

3 Преобразованиями 3 го типа, прибавляя к п-1 строке последнюю умноженную

на –а1п, -а2п…-ап-1п, приводится к матрице у которой все эл-ты п-ного

столбца, кроме последнего равны 0 и т. д.

2 метод построения обратной м-цы путем составления расширенной матрицы

(метод Жордана)

1 составляется расширенная матрица, приписывая к матрице А единичную

матрицу I того же порядка т. е. получаем м-цу (А|I) элементарными преобр

строк м-ца А приводится к треугольному виду, а потом к единичному,

полученаая на месте I м-цы м-цы С – является обратной исходной матрице А

15. Понятия связанного и свободного векторов.

Рассмотрим т А и т. В, по соединяющему их отрезку можно перемещать в двух

направлениях: если считать А началом, а т. В – концем, то получим

направленный отрезок АВ, а если т. В- начало, а т. А – конец, то

направленный отрезок ВА. Направленный отрезок часто наз. связанными или

закрепленными векторами. В случае, когда начальная и конечная точка

совпадают, т. е. А=В, связанный вектор наз. нулевым..

Связанные векторы АВ и СД равны, если середины отрезков АД и ВС совпадают

обоз: АВ=СД, отметим, что в случае, когда т. А,В,С,Д не лежат на одной

прямой это равносильно тому, что четырехугольник АВСД – параллелограмм.

Поэтому равные связанные в-ры имеют равные длины.

Св-ва связанных в-ров:

1 Каждый связанный в-р равен самому себе АВ=АВ

2 Если АВ=СД, то и СД = АВ

3 Если АВ=СД и СД=EF, то AB=EF

От каждой точки можно отложить связанный в-р равный исходному.

Свободные в-ры – те, начальную точку которых можно выбирать произвольно.

или, что тоже самое, которые можно произвольно переносить параллельно самим

себе. Свободный в-р однозначно определяется заданием связанного в-ра АВ.

Обоз свободные в-ры малыми латинскими буквами и стрелкой сверху. Нуль-

вектор обоз 0 со стрелкой.

Если задан в-р а и т. А, сущ ровно 1 т. В, для которых АВ=а. Операция

построения связанного в-ра АВ, для которой выполнено это равенство

называется откладывание свободного в-ра а от т. А. Связанные в-ры,

полученные в результате операции откладывания равны между собой. И имеют

одинаковую длину. Длина свободного в-ра а обоз |f|, длина нуль-в-ра=0, Если

а=в, то и длины их равны., обратное неверно!!!.

16. Линейные операции над в-рами

1 сложение в-ров

Пусть даны в-ры: а и в

от т. О отложим в-р ОА=а, от полученной т. А отложим в-р АВ=в. Полученный в

результате в-р ОВ называется суммой векторов а и в и обозн: а+в. Сложение в-

ров коммутативно: а+в=в+а. Существует два правила построения суммы: правило

треугольник и правило параллелограмма.

Сложение в-ров ассоциативно, т. е. для любых в-ров а, в, с вып рав-во:

(а+в)+с=а+(в+с),

2 Умножение в-ра на число

Свободные в-ра а и в наз коллинеарными, если определяющие их связанные в-ры

лежат на параллельных или совпадающих прямых. Если отложить коллинеарные в-

ры а и в от общей т. О: ОА=а, ОВ=в, то т. О, А, В будут лежать на одной

прямой. Возможны 2 случая: т. А и В располагаются по одну сторону от т. О

или по разные стороны. В первом случае в-ры а и в наз одинаково

направленными, во втором – противоположно направленными. если в-ры имеют

равные длины и одинаково направлены, то они равны.

Произведением в-ра а на число С наз в-р в, такой, что

1 длина его |b|=|C|(|a|

2в-ры а и в одинаково (противоположно) направлены, если С>0 (C0 (случайц внутреннего деления)

2 М=А, ( = 0

3 М лежит вне Ав, ( 0 ,

если по одну сторону – то (0

L2:=А2х+В2у+С2=0, А22+В22>0

((угол между ними)= углу между их нормальными в-рами n1 ={A1,B1} и

n2={A2,B2}

оттуда вытекает, что

L1|| L2 ( n1 || n2( n1 = (n2

A1=(A2, B1=(B2

L1 ( L2 ( n1 ( n2( n1(n2 =0 (

( A1(A2+B1(B2=0

б) прямые заданы каноническим уравнением

угол между ними равен углу между их направляющими векторами:

S1={m1,n1} S2{m2,n2} поэтому:

L1|| L2 ( S1 || S2

L1 ( L2 ( S1 ( S2 ( S1(S2=0 (

m1(m2+n1(n2=0

в) прямые заданы ур-ем с угловым коэффициентом

L1:= у=к1х+в1

L2:= у=к2х+в2

за угол между прямыми принимаемся наименьший угол на который нужно

повернуть прямую L1 против часовой стрелки до совмещения с прямой L2 вокруг

т. пересечения прямых.

Через (1 и (2 обоз углы наклона прямых L1 и L2 к оси ОХ

Угол между прямыми (= (2- (1

[pic]

tg(1=k1, tg(2=k2

[pic]

L1|| L2 ( (1 = (2 ((=0) ( k1=k2

L1 ( L2 ( (=П/2

k2= -1/k1

33. Нормальное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости.

Зафиксировав неку т. О в пространстве положение плоскости П будет

определено, если задать следующие величины: расстояние до нее от начальной

т. О, т. е. длину р отрезка ОТ, перпендикуляра, опущенного из т. О на

плоскость П и единичный в-р n0, |n0|=1, перпендикулярный плоскости П и

направленный из начальной т. О к этой плоскости.

Когда текущая т. М движется по плоскости ее радиус в-р r меняется так, что

prn0 OM=p (1)

это соотношение вып для каждой т. принадлежащей плоскости, а для не

принадлежащей – нарушается.

(1) являет уравнением этой Плоскости П

prn0 OM=r(n0 или r(n0-p=0 (2)

ур-е (2) – нормальное уравнение плоскости в векторной форме. Радиус-вектор

r произвольной т. плоскости наз. ее текущим радиус вектором.

Введем в пространстве прямоугольную Декартову систему координат, поместив

ее начало в т. О, тогда в-ры r и n0 можно записать так: n0={cos(, cos(,

cos();

r={x,y,z}

Ур-е (2) примет вид:

x( cos( +y(cos(+z(cos(-p=0 (3) – нормальное уравнение плоскости в

координатной форме

Особенности ур-я (3)

1 Сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах = 1:

cos2(+cos2(+cos2(=1

2 свободный член (-р) (0

Относительно переменных x,y,z – ур-е (3) явл. ур-ем 1 степени.

Всякое ур-е 1 степени определяет плоскость

Ур-е:

Ax+By+Cz+D=0 (4) – уравнение плоскости общего вида.

Всякий ненулевой, перпендикулярный плоскости вектор наз. нормальным

вектором этой плоскости. В-р n={A,B,C} нормальный в-р плоскости, заданной

ур-ем (4), таким образом коэффициенты при координатах в ур-е (4) являются

координатами нормального в-ра этой плоскости. Все другие нормальные вектора

получают из в-ра n умножая его на любое ( 0 число.

34. Ур-е плоскости проходящей через заданную точку перпендикулярно

заданному направлению

Уравнение плоскости, проходящей через т. М0, заданной r0={x0,y0,x0},

перпендикулярной в-ру n={A,B,C}строится так:

Проведем радиус в-р r={x,y,z} в произвольную т. М этой плоскости. В-р М0М=r-

r0 лежит в плоскости П и значит перпендикулярен в-ру n., поэтому их

скалярное пр-е = 0

(r-r0)(n=0 (1) Рав-во (1) справедливо для всех т. М плоскости П и

нарушается если М не принадлежит этой плоскости, тем самым – (1) –

векторное уравнение искомой плоскости, в координатной форме это выражается

так:

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)+D=0

35. Исследование ур-я плоскости. неполное ур-е плоскости

По виду общего ур-я можно судить о том как лежит плоскость относительно

системы координат OXYZ. Если хотя бы один из коэффициентов общего ур-я = 0,

то оно наз. неполным.

Возможны случаи:

1 D=0 П: Ax+By+Сz=0 т. О(0,0) удовлетворяет этому уравнению значит прямая

проходит через начало координат

2 А=0 П: Ву+ Сz +D=0 - нормальный в-р n={0,B,C} перпендикулярен оси ОХ

отсюда следует, что плоскость параллельна оси ОХ

3 В = 0 П: Aх + Cz +D=0 - нормальный в-р n={А,0,С} перпендикулярен оси ОY

отсюда следует, что плоскость параллельна оси ОУ

4 С=0 П: Ax+By+D=0, n={А,B,0} перпендикулярен OZ(П ||OZ плоскость

параллельна оси OZ

5 А=0, C=0 П: By+D=0( y= - D/B( тогда из 2 П||ОХ, из 4 П||OZ значит П||OXZ

6 А=0, В=0 П: Cz+D=0(z= - D/C( П||ОХ, П||OY значит П||OXY

7 C=0, В=0 П: Ax+D=0( x= - D/A( П||ОZ, П||OY значит П||OYZ

8 A=0, В=0, D=0 П: Cz=0 ( z=0( П||ОXY, O ( П значит П= OXY

9 A=0, C=0, D=0 П: By=0 ( y=0( П||ОXZ, O ( П значит П= OXZ

10 B=0, C=0, D=0 П: Ax=0 ( x=0( П||ОXY, O ( П значит П= OXY

11 A ( 0, В ( 0, С ( 0 П; - не параллельна ни одной из осей и пересекает

их.

36. Уравнение плоскости проходящей через три данный точки

Даны М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2), М3(x3,y3,z3) не лежащие на одной прямой.

Пусть М(x,y,z) – точка искомой плоскости.

r1={x1,y1,z1}, r2={x2,y2,z2}, r3={x3,y3,z3} и r={x,y,z} – радиус векторы

данных точек.

В силу компланарности в-ров М1М=r-r1, M1M2=r2-r1, M1M3=r3-r1 их смешанное

произведение = 0, т. е. радиус в-р т. М удовлетворяет условию:

(r-r1)(r2-r1)(r3-r1)=0 (10)

а ее координаты линейному уравнению:

[pic] (11)

ур-е (10) векторное, а ур-е (11) – координатные уравнения искомой

плоскости.

37. Уравнение плоскости в отрезках.

Представив общее ур-е плоскости при A,B,C,D ( 0 в виде:

[pic]

и положив a= - D/A, b = -D/B, c = -D/C, получим уравнение плоскости в

отрезках:

[pic]

Найдем координаты точек М1, М2, М3 пересечения П с осями OX, OY, OZ

для М1 имеем

[pic]

x=a, значит М1(а,0,0)

аналогично получаем:

М2(0,в,0): М3(0,0,с)

Значения а,в,с определяют величину отрезков, отсекаемых П на осях

координат.

38. Расстояние от точки до плоскости

Пусть М*(x*,y*,z*) – заданная точка,

xcos(+ycos(+cos(-р=0 – заданное уравнение плоскости

расстояние от т. М* до плоскости П выч. по ф-ле:

d=d(M*, П) = |x*cos(+y*cos(+z* cos(| (13)

обозначим через ((M*, П)=r*(n0-p= x*cos(+y*cos(+z* cos(-p. Если т М* и т. О

–начало координат лежат по разные стороны от П, то (>0, а если по одну

сторону, то (0, A22+B22+C22>0

углом между двумя плоскостями будем называть любой из двух смежных

двугранных углов образованных этими плоскостями. (в случае параллельности

угол между ними равен 0 или П) один из этих двугранных углов = <( между

нормальными в-рами: n1={A1,B1,C1} и n2={A2,B2,C2} этих плоскостей.

Отсюда вытекает:

[pic]

П1 || П2 ( n1 || n2 ( n1=(n2 ( A1=(А2, B1=(B2, C1=(C2

[pic]условие параллельности плоскостей

П1 ( П2 ( n1( n2 ( n1(n2=0 ( A1A2+B1B2 + C1C2=0 условие перпендикулярности

плоскостей.

40. параметрические уравнения прямой в пространстве.

Положение прямой в пространстве будет однозначно определено, если задать

т. М0 на прямой (при помощи радиус-в-ра r0, относит некоторого

фиксированного О) и направляющего в-ра S (S ( 0), которому прямая

параллельна.

Перемещение т. М прямой, соотв ее радиус в-ру ОМ=r ОМ=ОМ0+М0М (1)

М0М||S, M0M=t(S

r=r0+t(S (2)

Введем в пространство прямоугольную декартову систему координат, поместив

начало координат в т. О.

т. М0 имеет коорд. (x0,y0,z0); т. M (x,y,z), напр. в-р S={m,n,k}, тогда ур-

е записанное в коорд форме:

[pic](3)

Ур-я (2) и (3) наз. параметрическими уравнениями прямой в пространстве в

векторной и координатной форме соответственно. Числа m,n,k наз.

направляющими коэффициентами этой прямой.

41. Каноническое уравнение прямой в пространстве

Уравнение (2), озн. коллинеарность в-ров r-r0 и S может быть записана и в

терминах пропорциональности в-ров.

r-r0={x-x0,y-y0,z-z0}; S={m,n,k}

[pic](4)

Ур-е (4) наз. каноническим ур-ем прямой в пространстве, в нём x0,y0,z0 –

коорд. Т. М., лежащей на прямой, а m,n,k – координаты направляющего в-ра

прямой.

Система ур-й (4) определяет прямую, как линию пересечения двух плоскостей.

Также как и для канонического уравнения на плоскости ур-е (4) говорит лишь

о пропорциональности координат в-ров: r-r0 и S. Если например m=0, то ур-е

переходит в ур-е x-x0=0, [pic]

если m=0 и n=0, то у р-е будет:

x-x0=0, у-у0=0, [pic]

42. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки

Еси на до найтить урювнение примой проход. через т. М1(x1,y1,z1) и

M2(x2,y2,z2)

Для решения в каноническом виде:

Надо знать коорд одной из точек нах на прямой и направляющий в-р. За т. на

прямой можно принять любую , например, М1(x1,y1,z1), за направляющий вектор

прямой –

вектор М1М2 = {x2-x1,y2-y1,z2-z1}

Уравнение искомой прямой следует из ур-я (4):

[pic](5)

43. Общее уравнение прямой в пространстве. переход к каноническим

уравнениям

Всякие две непараллельные между собой и не совпадающие плоскости,

определяют прямую, как линию их пересечения.

Пусть ур-я этих плоскостей в прямоугольной декартовой системе координат

OXYZ:

П1: A1x+B1y+C1z+D1=0

П2:A2x+B2y+C2z+D2=0

рассматриваемые совместно:

[pic](6)

Эти уравнения наз. общими уравнениями прямой L, являющийся линией

пересечения этих плоскостей. От общий уравнений прямой можно перейти к

каноническим, для этого надо знать какую-нибудь точку прямой и её

направляющий вектор. точку прямой наёдем из (6), выбирая одну из координат

произвольно и решая полученную систему относительно оставшихся 2 координат.

Для отыскания направляющего в-ра S прямой, заметим, что этот в-р,

направленный по линии пересечения данных плоскостей должен быть

перпендикулярен нормальным в-рам n1={A1,B1,C1} и n2{A2,B2,C2} так как

векторное произведение n1х n2 перпендикулярно каждому из векторов n1 n2, то

в качестве напр. в-ра можно взять в-р S= n1х n2.

Найденные координаты подставляются в ур-е (4) [pic]

44. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и

перпендикулярности двух прямых

<( между двумя прямыми L1, L2 = углу между направляющими в-

рами:S1={m1,n1,k1} и S2={m2,n2,k2}, посему:

[pic](8)

Возможные случаи:

1 L1 || L2 отсюда вытекает S1 || S2

[pic](9)

2 L1 ( L2 отсюда вытекает S1 ( S2 = 0( ( m1(m2+n1(n2+ к1(к2=0

45. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и

перпендикулярности прямой и плоскости.

Если дана прямая:

[pic]

и плоскость:

П: Ax+By+Cz+D=0

<( между прямой и плоскостью называют наименьший из углов, образованных

прямой с её проекцией на эту плоскость.

Угол буде равен:

(=углу между нормальным в-ром Плоскости П n и направляющим в-ром прямой S.

[pic]

возможны случаи:

1 L || П отсюда вытекает S ( n ( S( n = 0

Am+Bn+Ck=0 –уравнение параллельности прямой и плоскости.

2 L1 ( L2 отсюда вытекает n || S

[pic] - уравнение перпендикулярности прямой и плоскости.

-----------------------

[pic]

[pic]

[pic]?–??/?????†???????????"???–??/?????†???????????"???–??/?????†??????????

?"???–??/?????†???????????"???–??/?????†???????????"???–??/?????†???????????

"???–??/?????†???????????"???–??/???

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]