Математика. Интегралы

Математика. Интегралы

1.

*1. Говорят, что функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b),

если для любых точек x1f(x2)). В этом

случае функцию называют монотонной на (a,b).

Т1. Дифференцируемая на (a,b) функция f(x) тогда и только тогда не

убывает (не возрастает) на (a,b), когда f((x)(0 ((0) при любом x((a,b).

Док-во: 1) Достаточность. Пусть f((x)(0 ((0) всюду на (a,b).

Рассмотрим любые x10, f((a)(0 ((0), f(x2)-f(x1)(0 ((0), значит, f(x) не

убывает (не возрастает) на (a,b). 2) Необходимость. Пусть, например, f(x)

не убывает на (a,b), x((a,b), x+(x((a,b), (x>0. Тогда (f(x+(x)-f(x))/(x(0.

Переходя к приделу при (x(0, получим f((x)(0. Теорема доказана.

Т2. Для возрастания (убывания) f(x) на (a,b) достаточно, чтобы f((x)>0

(0 (f(x). По теореме Лагранжа (применительно к отрезку [x,x0] или [x0,x])

f(x)–f(x0)=(x- x0)f(((), где ( лежит между x0 или x: а) x< x0(x- x00(f(x)–f(x0)f(x); б) x>x0(x–x0>0,

f((()f(x).

Замечание 2. Если f((x) не меняет знака при переходе через точку х0,

то х0 не является точкой экстремума.

Т2. (Второе достаточное условие экстремума). Пусть x0 – стационарная

точка функции y=f(x), которая имеет в точке x0 вторую производную. Тогда:

1) f((( x0)>0(f имеет в точке x0 локальный минимум. 2) f((( x0)0, (x((a,b)(график f(x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную

вниз; 2) ) f(((x)0 [pic]

[pic]

[pic] – рекуррентная формула.

Интегрирование рациональных функций: R(x)=P(x)/Q(x), R(x)-рациональная

функция, P(x) и Q(x)-многочлены. Дробь P(x)/Q(x) можно разложить в сумму

простейших дробей, где Ai, Bi, Ci – постоянные, а именно: каждому множителю

(x-a)k в представлении знаменателя Q(x) соответствует в разложении дроби

P(x)/Q(x) на слагаемые сумма k простейших дробей типа [pic] а каждому

множителю (x2+px+q)t соответствует сумма t простейших дробей типа [pic].

Таким образом при разложении знаменателя Q(x) на множители имеет место

разложение дроби P(x)/Q(x) на слагаемые.

[pic]

Правила интегрирования рациональных дробей:

1. Если рац. дробь неправильная, то её представляют в виде суммы

многочлена и неправильной дроби.

2. Разлагают знаменатель правильной дроби на множетели.

Правую рац. дробь разлагают на сумму простейших дробей. Этим самым

интегрирование правильной рац. дроби сводят к интегрированию простейших

дробей.

8.

Интегрирование тригонометрических функций:

I. 1 Интеграл вида: [pic]

2. R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx, то cosx=t.

3. R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно cosx, то sinx=t.

4. R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx и cosx, то tgx=t.

[pic]

II. 1 [pic]

2. Оба показателя степени m и n – четные положительные числа:

sinxcosx=1/2 sin2x; sin2x=1/2(1-cos2x); cos2x=1/2(1+cos2x).

III. (tgmxdx и (ctgmxdx, где m-целое положительное число. tg2x=sec2x-1 или

ctg2x=cosec2x –1.

IV. (tgmxsecnxdx и (ctgmxcosecnxdx, где n – четное положительное число.

sec2x=1+tg2x или cosec2x=1+ctg2x.

V. (sinmx*cosnxdx, (cosmx*cosnxdx, (sinmx*sinnxdx;

sinacosb=1/2(sin(a+b)+sin(a-b)); cosacosb=1/2(cos(a+b)+cos(a-b));

sinasinb=1/2(cos(a-b)-cos(a+b));

9.

Интегрирование иррациональных функций:

I. 1 (R(x, [pic], [pic],…)dx, k-общий знаменатель дробей m/n, r/s…. x=tk,

dx=ktk–1dt

2. (R(x,[pic], [pic]…)dx, [pic], x=[pic], dx=[pic]

II. 1 [pic] Вынести 1/(a или 1/(-a. И выделим полные квадраты.

2. [pic]

3. [pic] Разбить на два интеграла.

4. [pic] [pic]

III. 1 [pic]

2. [pic]

3. [pic]

[pic] 1)p-целое число x=tS, где s- наименьшее общее кратное знаменателей у

дробей m и n. 2) (m+1)/n –целое число: a+bxn=tS; 3) p+(m+1)/n-целое число:

a-n+b=tS и где s- знаменатель дроби p.

10.

Определенный интеграл:

1) интервал [a,b], в котором задана функция f(x), разбивается на n

частичных интервалов при помощи точек a=x0

2) Значение функции f((I) в какой нибудь точке (i([xi–xi–1] умножается на

длину этого интервала xi–xi–1, т.е. составляется произведение

f((i)(xi–xi–1);

3) [pic], где xi–xi–1=(xi;

I=[pic]– этот предел (если он существует) называется определенным

интегралом, или интегралом от функции f(x) на интервале [a,b],

обозначается [pic]

*1. Определенным интегралом называется предел интегральной суммы

[pic] при стремлении к нулю длинны наибольшего частичного интеграла (в

предположении, что предел существует).

Т1. (Необходимое условие существования интеграла): Если ОИ

существует, т.е. функция f(x) интегрируема не [a,b], то f(x) ограничена на

этом отрезке. Но этого не достаточно. Док-во: Функция Дирихле: [pic]