реферат, рефераты скачать
 

Математические основы теории систем


an1...ank вk1....вkm

ТРАНСПОНИРОВАНАЯ МАТРИЦА.

Пусть А=[aij] - матрица размером m*n. Матрица АT=[а'ij] размером m*n,

строки которой являются столбцами матрицы А, столбцы строками матрицы А.

Элемент а'ij матрицы АT определяют по элементам аij матрицы А из

соотношения:

(12) а'ij=аji

ОСОБЕННОСТИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ.

В квадратной матрице число строк равно числу столбцов.

Определителем квадратной матрицы называют, определитель составленный из

элементов aij этой матрицы и обозначают det A.

Определитель det A обладает следующими свойствами:

1) при умножении на ? любого столбца матрицы А определитель det A

умножается на ?;

2) перемена местами двух соседних столбцов меняет знак det A на

противоположный;

3) если любые два столбца матрицы равны между собой, то det A=0;

4) добавление к любому столбцу матрицы любого другого столбца, умноженного

на произвольный скалярный множитель, оставляет det A неизменным;

5) если столбцы матрицы линейно зависимы, то det A=0;

ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА-КЕЛЛИ.

Каждая квадратная матрица является корнем своего характеристического

уравнения.

(13) det (A-?I)=a0?n+a1?n-1+...+an-1? an=0

(14) a0An+a0An-1+an-1A+anI=0[n*n]

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.

Матрицей, обратной по отношению к квадратной матрице А размером n*n,

назовем такую матрицу А-1 того же размера, для которой справедливо

соотношение:

(15) А*А-1=А-1*А=Е

Пусть у=Ах - линейное преобразование с квадратной матрицей А=[xij].

Обратным преобразованием называют преобразование х=А-1у. Матрицу А-1 этого

преобразования называют обратной по отношению к матрице А.

(16) А-1=(1/detA) [Aij]T , где Аij - алгебраическое

дополнение элемента а в определителе матрицы.

Система уравнений Ах=у называется определенной и имеет единственное

решение, если detA?0. Матрица А, для которой выполнено это условие,

называют невырожденной.

ДИАГАНАЛИЗАЦИЯ МАТРИЦ.

Вид квадратной матрицы А линейного преобразования у=Ах, может быть изменен

без изменения характеристического уравнения этой матрицы путем

использования преобразования подобия.

Пусть А - квадратная матрица; С - произвольная невырожденная матрица.

Преобразованием подобия называют преобразование:

(17) В=С-1*А*С

Преобразование подобия позволяет приводить некоторые виды квадратных матриц

к диагональной форме, являющейся наиболее удобным видом матрицы.

?1 0 0

(18) diag[?1 ?2 ......?n ]= 0 ?2 0

0 0 ?n

Нормой матрицы А размер m*n называется сумма модулей ее элементов:

m n

(19) |А|= S S |a ij |

i=1 j=1

При решении задач удобно ввести матрицы, элементы которых являются

функциями независимой переменной t.

Эти матрицы имеют вид:

a11(t) a12(t) ...... a1n(t)

(20) А(t)= a21(t) a22(t) ...... a2n(t)

............................

am1(t) am2(t) ..... amn(t)

и называются функциональными матрицами.

Производной матрицы А(t) по независимому переменному называется матрица

А(t) вида:

da11(t)/dt da12(t)/dt ......

da1n(t)/dt

(21) А(t)= dA(t)/dt =

............................................................. =

dam1(t)/dt adm2(t)/dt ......

damn(t)/dt

=[daij(t)/dt]

1.3 ПОНЯТИЕ ДИНАМЧЕСКОГО ОБЬЕКТА.

Физический объект - физическое устройство, характеризуемое некоторым числом

свойств, соответствующих целям его использования.

В теории систем существенным является не физическое, а математическое

описание свойств объекта и соотношений между ними. В теории систем объектом

А является абстрактный объект, связанный с множеством свойств, который

обычно характеризуется числами или набором чисел. Таким образом, фактически

абстрактный объект или просто объект представляет собой множество

переменных вместе с отношениями между ними.

Вспомогательные определения и понятия:

v1, v2,...- основные переменные объекта А.

Основное уравнение - соотношение между основными переменными.

(1) A(1)(v1,..., vn)=0 Основное уравнение объекта A,

A(2)(v1,...., vn)=0 где A(j), j=1,..., m

..................... vi , i= 1,..., n

A(m)(v1,..., vn)=0 m и n - конечные числа

Если абстрактный объект A определяется соотношениями (1) без каких - либо

указаний, какие переменные являются входными (причина), а какие - выходными

(следствия), то A будем называть неориентированным объектом.

Если основные переменные подразделены на две группы - входные и выходные

переменные, играющие роль независимых и зависимых, то A будет называться

ориентированным объектом.

Состояние объекта A в момент t0 может рассматриваться как параметр S(t0),

связанной с каждой парой вход-выход

(U[t0, t], Y[t0, t]), таким образом, что Y[t0, t] единственным образом

определяется заданием U[t, t] и S(t0).

Иначе говоря, состояние объекта в момент t0 есть некоторый набор

чисел, представленный, например, вектором ?, который изменяется в

пространстве S так, что знание (1)?, (2) - уравнения вход-выход для объекта

и (3) - входа U[t0,t]] является достаточным для однозначного определения

входа y[t0,t].

S(t0) - называется состоянием объекта в момент t0.

[t0,t]- интервал наблюдаемости

УРАВНЕНИЕ ВХОД-ВЫХОД-СОСТОЯНИЕ.

Пусть А- ориентированный абстрактный объект, U,у - вход и выход на

интервале наблюдения [t0,t] - переменная в пространстве S, R[U], R[y]-

пространство входа и выхода.

(2) y(t)=A (?;U[t0,t]) ? t>t0

где A- функция ? и U[t0,t]

U и у принадлежат R[U], R[у]

Уравнение (2) является уравнением вход-выход состояния. Символьная форма

записи вход - выход - состояние.

(2') у[t0,t]=A (?,U), где

черта над A служит для того, чтобы отличить у(t) и у[t0,t]

Следовательно пара U[t0,t],у[t0,t] удовлетворяет уравнению

вход - выход - состояние (2), если U[t0,t] и у[t0,t] составляют

пару вход-выход по отношению к некоторому ? в S.

В соответствии с уравнением (2') можем записать:

R[y]= ??S, U? R[U]

Условия взаимной совместимости:

Каждая пара вход-выход для удовлетворяет уравнению вход - выход-состояние

(2')

Более детально: (1) если (U[t0,t],у[t0,t]), или проще (U,у) является

любой парой функции времени (при U?R[U], у?R[y]),

удовлетворяющих уравнению А(U,y)=0, то (U,y) удовлетворяет также и (2') в

том смысле, что существует ?0 в S такое, что

(3) у= A (?0,U[t0,t]),

и (2) любая функция времени (U,y), удовлетворяющая уравнению (2') для

некоторого ?, принадлежащего S на интервале наблюдения [t0,t], является

парой вход-выход для A.

Первое условие собственной совместимости:

Для того, чтобы множество S могло называться пространством состояний A ,

оно должно иметь следующее свойство: если дана любая точка ? в S (которую

мы назовем состоянием A в момент t0) и любой вход U[t0,t] в пространстве

входов A, то выход в момент t однозначно определяется значением ? и

U[t0,t], и не зависит от значений U и y в момент времени, предшествующий

t0, т.е. для всех t0 реакция y(t) в любой момент времени t>t0, однозначно

определяется заданием ? и U[t0,t].

Это свойство является ключевым в понятии состояния. Второе условие

собственной совместимости.

Если уравнения вход - выход-состояние удовлетворяется при подстановке

пары (U[t0,t],у[t0,t]), тогда оно удовлетворяется при подстановке всех пар

вида (U[t,t1], у[t,t1]), где t0+ ? h(t-?)U(?)d?, t?t0

t0

где h- импульсная реакция R

Ф(t)=(Ф1(t),...,Фn(t)); составляющие которого суть базисные функции:

Ф?(t)= Z-1{ (an?n-1+...+ a?)/L(S) },

а обозначает скалярное произведение базисного

вектора Ф(t-t0) и начального вектора состояния x(t0-).

Уравнение (6) является соотношением вход - выход-состояние для R.

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТРИЦА.

Будем исследовать реакцию при нулевом входе и вынужденную реакцию систем,

описываемых уравнением вида:

(11) x(t)= A(t)x(t)+B(t)U(t), где

A(t)- квадратная матрица порядка n, элементами которой являются функции,

непрерывные для всех значений t; B(t)-непрерывная матрица размером [n*r];

x(t) - вектор состояния, U- вход.

Пусть A(t) есть квадратная матрица порядка n, элементы которой -

непрерывные функции. Тогда решение матричного дифференциального уравнения:

(12) X= A(t)X(t), X(t0)=C, где

C есть произвольная постоянная матрица, имеет следующий вид:

(13) X(t)= (t,t0)C

Любая неособенная матрица, которая удовлетворяет матричному

дифференциальному уравнению (12), называется фундаментальной матрицей

системы (11). Таким образом, любая фундаментальная матрица имеет вид (13)

при некоторой неособенной матрице С n строк любой фундаментальной матрицы

есть n линейно независимых решений для уравнения (11).

th. Пусть A(t) есть квадратная матрица порядка n, элементы которой

непрерывные функции времени. Пусть Ф(t,t0) есть также квадратная матрица

порядка n, которая является решением уравнения

(14) d/dt Ф(t,t0)=A(t)Ф(t,t0), (t,t0)=I

Тогда решение уравнения

(15) x(t)= A(t)x(t), x(t0)=x0,

обозначаемое через x(t,x0,t0), есть

(16) x(t,x0,t0)=Ф(t,t0)x0 ?t, ?x0

Матрица Ф(t,t0) называется переходной матрицей состояния.

Из уравнения (16) можно сказать: матрица Ф(t,t0) есть

линейное преобразование, которое отображает состояние x0 в момент времени

t0 в состояние x(t) в момент t.

СПОСОБЫ ВЫЧЕСЛЕНИЯ МАТРИЧНОЙ ЭКСПОНЕНТЫ.

t

1. Если всех t ? A(?)d? и A(t) коммутативны, то

t0

t

Ф(t,t0)= exp ? A(?) d?

t0

Пусть Ф(t,t0) переходная матрица для (11),определяемой выражением (14),

тогда:

t

(17) det Ф(t,t0)= exp ? a(?) d? , где

t0

n

a(?) ? S ai?(?) ? trA(?).

i=1

2. Законченное решение позволяет получить формула интерполяции

Лагранжа-Сильвестра. Она применима к матричным функциям, которые могут быть

представлены в виде (сходящихся) степенных рядов.

?

f(A)= S CiAi ,где

0

матрица А с n отличающимися друг от друга собственными значениями

соответствующих формуле интерполяции Лагранжа для аппроксимации функций с

помощью многочленов. Матрица перехода Ф=exp{At} представляет такой

степенной ряд

n

(18) Ф(t)= eAt= S e?itFi , где

i=1

n

F=П (A-?iI)/(?i-?j)

j=1

j?i

3. Применение преобразования Лапласа к однородному дифференциальному

уравнению вида q=Aq, позволяет получить формулу, похожую на формулу

Сильвестра, которую можно использовать не только для случая с простыми

корнями.

?

(19) Ф(t)= eAt? S Aiti/i!= I+At+A2t2/2!+...

i=1

Эта формула особенно пригодна для аналитических исследований.

4. С помощью преобразования подобия матрица с n совершенно различными

корнями ?i может быть приведена к диагональной матрице Л.

Решение относительно А дает.

(20) A= KЛK-1 ,где

К - матрица собственных векторов, K?[K1,K2,...,Kn], согласно выводу из

теории матриц имеет:

для двух подобных матриц А и, Л соответствующих уравнению (20),

справедливо

f(A)=Kf(Л)K-1

(21) Ф(t)=KeЛtK-1

причем, если известны корни ?i, сразу можно записать матрицу exp{Лt}

e?1t......0

eЛt=

0......e?nt

Рассмотренные способы дают решение в аналитическом виде и требуют больших

затрат времени на определение собственных значений матрицы А, т.е. корней

характеристического уравнения. В приведенных ниже способах оба этих момента

отсутствуют.

5 При расчете матрицы перехода с помощью формулы Тейлора из (19)

p-1

(22) Ф(t)= S Ai ti/t!+Rp

i=0

в системах с сосредоточенными параметрами для отдельных элементов матриц

получим полиномы в функции t, которые могут быть записаны в виде сумм

показательных функций e.

6. Путем программирование на аналоговой вычислительной машине элементы

матрицы перехода могут быть получены в виде кривых, численно оценены или

аналитически аппроксимированы.

Модуль вход-выход непрерывного объекта управления в форме векторно-

матричного дифференциального уравнения

вектор входа U=[U1, U2,...,Um]T

вектор выхода x=[x1,x2,...,xm]T

вектор состояния q=[q1,q2,...,qm]T

Уравнение состояния (векторное дифференциальное уравнение)

(23) q(t)= Aq(t)+Bu(t)

Уравнение входа

(24) x(t)= Cq(t)+Du(t)

Для одномерной системы n-го порядка эти уравнения упрощаются:

(25) q(t)=Aq(t)+bu(t)

(26) x(t)=CTq(t)+du(t)

(27) q1 = a11 a12 q1 + b1 U; при n=2

q2 a21 a22 q2 b2

(28) x=|C1 С2| q1 + dU

q2

Таким образом, векторное дифференциальное уравнение (25) служит компактной

формой записи для системы из n скалярных дифференциальных уравнений первого

порядка

(29) q = a11q1+a12q2+b1U;

q = a21q1+a22q2+b2U.

Уравнение входа для одномерной системы представляет собой скалярное

алгебраическое уравнение

(30) x= c1q1+c2q2+dU

ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ.

Прежде всего нужно определить выходной сигнал xv(t), соответствующий

входному сигналу Uv(t)

(31) Uv(t)=U(V)dV ?(t-V)

U(V)dV - площадь импульса

?(t-V)- единичный импульс при t=V

Соответствующий этому выходной сигнал представляет реакцию на импульсное

воздействие, или соответственно весовую функцию g(t-V), характеризуемую

импульсами площадью U(V)d .

Если уравнения системы представлены в стандартной форме записи (23),

(24), то можно использовать общую форму решения уравнения переходного

процесса:

t

(32) q(t)= Ф(t)q(0)= ? Ф(t-?) BU(?)d?= qсв(t)+qпрн(t)

0

В рассматриваемом здесь случае переходного процесса при

возмущающем воздействии и нулевых начальных условиях для

выраженного в относительных единицах входного сигнала U?

U?(t)=?(t)

получим характеристику состояния в относительных

t

(33) q?(t)= ? Ф(t-?) b?(?) d?

0

Для импульса ?(?), возникающего в момент времени ?=0, интервал

интегрирования должен быть принят от -0

Ф(t)b , при t?0

(34) q?(t)=

0, при t?

Будем полагать, что каждая рассматриваемая функция имеет конечный

радиус сходимости.

Если U является входом импульсного модулятора, то его выход равен

?

U= S U(kT)?(t-kT)

k=0

Такая последовательность импульсов имеет преобразование Лапласа

?

U(S)= S U(kT)e-srT

k=0

Сравнивая (18) с данным соотношением, замечаем, что

U(z)|z=esT =U(S)

Th. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 3. Пусть H(z) будет Z-

преобразованием импульсной реакции h. Пусть у будет реакцией при нулевом

состоянии на входе U, прикладываемый в момент t=0.

Тогда получим:

(19) Y(Z)=H(Z)U(Z) ,для |Z|>max(Ru,Rk)

Выражение (19) аналогично выражению Y(S)=H(S)V(S), которое

устанавливает зависимость реакции при нулевом состоянии, импульсной

реакции U входа непрерывной системы. По этой причине будем называть H(Z)

дискретной передаточной функцией или передаточной функцией, Z-функцией.

?

(20) H(Z)U(Z)= S ylz-e=Y(Z), |Z|>max(Rh, Ru)

l=0

Формула для нахождения последовательности {y(kT)}, т.е. дискретного

выхода.

Свойства Z-преобразования.

1. Теорема линейности.

Z(?f)=?Z(f ) ? комплексных чисел ?, ?|Z|>Rf

Z(f+g)=Z(f)+Z(g) ?|Z|>max (Rf,Rg)

2. Теорема обращения

f(nT)=1/2?j ?Г F(Z)Z-1 dZ, n=0,1,...,

где Г - любая замкнутая спрямляемая кривая, охватывающая начало координат

и лежащая вне окружности |Z|=R>Rf.

3. Теорема о начальном значении.

f(0+)= lim F(Z)

Z>?

4. Теорема сдвига.

Если F(Z) есть Z- преобразование последовательности {f0,f1,f2,...}, то Z-

1F(Z) есть Z-преобразование последовательности {0,f0,f1,f2,...}.

1.6. СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ.

Введение: Реакция любой линейной системы содержит две составляющие:

реакцию при нулевом входе и реакцию при нулевом состоянии, причем последняя

характеризуется передаточной функцией.

Рассмотрим линейную стационарную систему У с несколькими входами и

выходами описываемую уравнениями:

(1) x=Ax+Bu

(2) y=Cx+Du

где A,B,C,D- (n*n), (n*r), (p*n) и (p*r)- постоянные матрицы;

x- n-мерный вектор, характеризующий состояние данной системы;

u- входной r-мерный вектор, у- входной p-мерный вектор.

Будем говорить, что система У управляема, если при известных

матрицах A и B и состоянии x0 системы при t0 можно найти некоторый вход

u[t0,t0+T], который будет переводить систему из состояния x0 в нулевое

состояние 0 в момент t0+T.

Опр. Система Ф, определенная уравнением (1) называется управляемой в

том и только том случае, если для всех х0??N при начальном состоянии x0

системы в момент t=0 и некотором конечном T(T>0) найдется вход U[0,T]

такой, что:

(3) x(T;x0;0;U[0;T])=0

Опр. Состояние х1 системы У, описываемой уравнением (1), будем

называть управляемым в том и лишь в том случае, если для некоторого

конечного Т существует управление U[0,T] такое, что:

x(T;x1;0;U[0;T])=0

НАБЛЮДАЕМОСТЬ.

Понятие наблюдаемости тесно связано с понятием управляемости.

Управляемость означает, что, зная начальное состояние и матрицы,

характеризующие рассматриваемую систему, можно найти вход, который

переводит это состояние в нулевое конечное время. Наблюдаемость означает,

что знания матриц характеризующих систему, и реакции при нулевом входе

Y[0,t] на конечном интервале достаточно для однозначного определения

начального состояния данной системы.

Определение: система, описываемая (1) и (2) называется наблюдаемой в

том случае, когда, для некоторого Т>0 и всех возможных начальных состояний

х(0), значения матриц А и С и реакции при нулевом входе Y[0,t]

достаточно, чтобы определить начальное состояние x(0).

Тh: Система, Y описываемая (1), (2) наблюдаема в том и лишь в том,

Страницы: 1, 2, 3, 4


ИНТЕРЕСНОЕ



© 2009 Все права защищены.