Математическая статистика

1-я контрольная работа

Задача № 1.33

Вычислить центральный момент третьего порядка ((3) по данным таблицы:

|Производительно|80.5 – |81.5 – |82.5 – |83.5 – |84.5 – |

|сть труда, |81.5 |82.5 |83.5 |84.5 |85.5 |

|Число рабочих |7 |13 |15 |11 |4 |

| | |mi | | | |

|80.5 – 81.5 |81 |7 |567 |-6,2295 |-43,6065 |

|81.5 – 82.5 |82 |13 |1066 |-0,5927 |-7,70515 |

|82.5 – 83.5 |83 |15 |1245 |0,004096 |0,06144 |

|83.5 – 84.5 |84 |11 |924 |1,560896 |17,16986 |

|84.5 – 85.5 |85 |4 |340 |10,0777 |40,31078 |

|Итого: | |50 |4142 | |6,2304 |

Ответ: (3=0,1246

Задача № 2.45

Во время контрольного взвешивания пачек чая установлено, средний вес

у n=200 пачек чая равен [pic]=26 гр. А S=1гр. В предложение о нормальном

распределение определить у какого количества пачек чая ве будет находится в

пределах от ([pic] до [pic].

Р(25(2табл

Ответ: Выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения

отвергается с вероятностью ошибки альфа.

2-я контрольная работа

Задача 4.29

По результатам n =4 измерений в печи найдено [pic][pic]= 254( C.

Предполагается, что ошибка измерения есть нормальная случайная величина с (

= 6( C. На уровне значимости ( = 0.05 проверить гипотезу H0: ( = 250( C

против гипотезы H1: ( = 260( C. В ответе записать разность между

абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной

характеристики.

(1 > (0 ( выберем правостороннюю критическую область.

[pic]

Ответ: Т.к. используем правостороннюю критическую область, и

tкр > tнабл, то на данном уровне значимости нулевая гипотеза не отвергается

(|tкр| - |tнабл |=0,98).

Задача 4.55

На основание n=5 измерений найдено, что средняя высота сальниковой

камеры равна [pic] мм, а S=1,2 мм. В предположение о нормальном

распределение вычислить на уровне значимости (=0,01 мощность критерия при

гипотезе H0 :[pic]50 и H1 : [pic]53

[pic]

Ответ: 23

Задача 4.70

На основании n = 15 измерений найдено, что средняя высота сальниковой

камеры равна [pic]= 70 мм и S = 3. Допустив, что ошибка изготовления есть

нормальная случайная величина на уровне значимости ( = 0.1 проверить

гипотезу H0: [pic] мм2 при конкурирующей гипотезе [pic]. В ответе записать

разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений

выборочной характеристики.

[pic]построим левостороннюю критическую область.

[pic]

Вывод: [pic]на данном уровне значимости нулевая гипотеза не отвергается

([pic]).

Задача 4.84

По результатам n = 16 независимых измерений диаметра поршня одним

прибором получено [pic]= 82.48 мм и S = 0.08 мм. Предположив, что ошибки

измерения имеют нормальное распределение, на уровне значимости ( = 0.1

вычислить мощность критерия гипотезы H0: [pic] при конкурирующей гипотезе

H1: [pic].

[pic]построим левостороннюю критическую область.

[pic]

Ответ: 23;

Задача 4.87

Из продукции двух автоматических линий взяты соответственно выборки

n1 = 16 и n2 = 12 деталей. По результатам выборочных наблюдений найдены

[pic] = 180 мм и [pic] = 186 мм. Предварительным анализом установлено, что

погрешности изготовления есть нормальные случайные величины с дисперсиями

[pic] мм2 и [pic] мм2. На уровне значимости ( = 0.025 проверить гипотезу

H0: (1 = (2 против H1: (1 < (2.

Т.к. H1: (1 < (2, будем использовать левостороннюю критическую область.

[pic]

Вывод: [pic]гипотеза отвергается при данном уровне значимости.

Задача 4.96

Из двух партий деталей взяты выборки объемом n1 = 16 и n2 = 18 деталей.

По результатам выборочных наблюдений найдены [pic] = 260 мм, S1 = 6 мм,

[pic] = 266 мм и S2 =7 мм. Предполагая, что погрешности изготовления есть

нормальные случайные величины и [pic], на уровне значимости ( = 0.01

проверить гипотезу H0: (1 = (2 против H1: (1 ( (2.

[pic]

Вывод: [pic] при данном уровне значимости гипотеза не отвергается.

Задача 4.118

Из n1 = 200 задач первого типа, предложенных для решения, студенты

решили m1 = 152, а из n2 = 250 задач второго типа студенты решили m2 = 170

задач. Проверить на уровне значимости ( = 0.05 гипотезу о том, что

вероятность решения задачи не зависит от того, к какому типу она относится,

т.е. H0: P1 = P2. В ответе записать разность между абсолютными величинами

табличного и фактического значений выборочной характеристики.

[pic]

Вывод:[pic]нулевая гипотеза при данном уровне значимости принимается

([pic]).

Задача 1.39:

Вычислить центральный момент третьего порядка ((3*) по данным таблицы:

|Урожайность|34,5-35,5|34,5-36,5|36,5-37,5|37,5-38,5|38,5-39,5|

|Число |4 |11 |20 |11 |4 |

|mi | | | | | |

Решение:

| |mi | | | | |

|34,5-35,5 |4 |35 |140 |-8 |-32 |

|34,5-36,5 |11 |36 |396 |-1 |-11 |

|36,5-37,5 |20 |37 |740 |0 |0 |

|37,5-38,5 |11 |38 |418 |1 |11 |

|38,5-39,5 |4 |39 |156 |8 |32 |

|Итого: |50 |- |1850 |- |0 |

Ответ: (3*=0

Задача 2.34:

В результате анализа технологического процесса получен вариационный

ряд:

|Число |0 |1 |2 |3 |4 |

|Число |79 |55 |22 |11 |3 |

Предполагая, что число дефектных изделий в партии распределено по

закону Пуассона, определить вероятность появления 3 дефектных изделий.

Решение:

|m |0 |1 |2 |3 |4 |

|p |0.4647 |0.3235 |0.1294 |0.0647 |0.0176 |

Ответ: P=7.79*10-7

Зпадача 3.28:

В предложении о нормальной генеральной совокупности с (=5 сек.,

определить минимальный объем испытаний, которые нужно провести, чтобы с

надежностью (=0.96 точность оценки генеральной средней ( времени обработки

зубчатого колеса будет равна (=2 сек.

Решение:

n=(5.1375)3=26.39(27

Ответ: n=27

Задача 3.48:

На основании измерения n=7 деталей вычислена выборочная средняя и S=8

мк. В предположении, что ошибка изготовления распределена нормально,

определить с надежностью (=0.98 точность оценки генеральной средней.

Решение:

St(t,(=n-1)=(=St(t,6)=0.98

Ответ: (=0.4278

Задача 3.82:

На основании n=4 измерений температуры одним прибором определена S=9

(С. Предположив, что погрешность измерения есть нормальная случайная

величина определить с надежностью (=0.9 нижнюю границу доверительного

интервала для дисперсии.

Решение:

Ответ: 41.4587

Задача 3.103:

Из 400 клубней картофеля, поступившего на контроль вес 100 клубней

превысили 50 г. Определить с надежностью (=0.98 верхнюю границу

доверительного интервала для вероятности того, что вес клубня превысит 50

г.

Решение:

t=2.33

Ответ: 0.3

Задача 3.142:

По результатам 100 опытов установлено, что в среднем для сборки вентиля

требуется Xср=30 сек., а S=7 сек. В предположении о нормальном

распределении определить с надежностью (=0.98 верхнюю границу для оценки (

генеральной совокупности.

Решение:

t=2.33

Ответ: 8.457

Задача 4.18:

Гипотезу о нормальном законе распределения проверить с помощью критерия

Пирсона на уровне значимости (=0.05 по следующим данным:

|mi |6 |13 |22 |28 |15 |3 |

|miT |8 |17 |29 |20 |10 |3 |

Решение:

|mi |miT |(mi-miT)2 |(mi-miT)2/ |

| | | |miT |

|6 |8 |4 |0.5 |

|13 |17 |16 |0.941 |

|22 |29 |49 |1.6897 |

|28 |20 |64 |3.2 |

|15 |10 |25 |1.9231 |

|3 |3 | | |

|Итого: |- |- |8.2537 |

Ответ: -2.2627

1.36.

Вычислить дисперсию.

|Производител|Число |Средняя |

|ьность труда|рабочих |производител|

| | |ьность труда|

|81,5-82,5 |9 |82 |

|82,5-83,5 |15 |83 |

|83,5-84,5 |16 |84 |

|84,5-85,5 |11 |85 |

|85,5-86,5 |4 |86 |

|Итого |55 | |

2.19.

Используя результаты анализа и предполагая, что число дефектных изделий в

партии распределено по закону Пуассона, определить теоретическое число

партий с тремя дефектными изделиями.

|m |0 |1 |2 |3 |4 |5 |Итого|

|fi |164 |76 |40 |27 |10 |3 |320 |

|Pm | |0,34 |0,116|0,026|0,004|0,001| |

|Pm*fi|288,75|25,84|4,64 |0,702|0,04 |0,003|320 |

|fi |288 |26 |5 |1 |0 |0 |320 |

m – число дефектных изделий в партии,

fi – число партий,

fi теор. = теоретическое число партий

Теоретическое значение числа партий получается округлением Pm*fi.

Соответственно, теоретическое количество партий с тремя дефектными

изделиями равно 1.

3.20.

По выборке объемом 25 вычислена выборочная средняя диаметров поршневых

колец. В предложении о нормальном распределении найти с надежностью ?=0,975

точность ?, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание,

зная, что среднее квадратическое отклонение поршневых колец равно 4 мм..

3.40.

По результатам семи измерений средняя высота сальниковой камеры равна 40

мм., а S=1,8 мм.. В предположении о нормальном распределении определить

вероятность того, что генеральная средняя будет внутри интервала

(0,98х;1,02х).

3.74.

По данным контрольных 8 испытаний определены х=1600 ч. и S=17ч..Считая,

что срок службы ламп распределен нормально, определить вероятность того,

что абсолютная величина ошибки определения среднего квадратического

отклонения меньше 10% от S.

3.123.

По результатам 70 измерений диаметра валиков было получено х=150 мм., S=6,1

мм.. Найти вероятность того, что генеральная средняя будет находиться

внутри интервала (149;151).

3.126

По результатам 50 опытов установлено, что в среднем для сборки

трансформатора требуется х=100 сек., S=12 сек.. В предположении о

нормальном распределении определить с надежностью 0,85 верхнюю границу для

оценки неизвестного среднего квадратического отклонения.

4.10

С помощью критерия Пирсона на уровне значимости ?=0,02 проверить гипотезу

о законе распределения Пуассона (в ответе записать разность между

табличными и фактическими значениями ?2).

|mi |miT |(mi-miT)2 |(mi-miT)2/mi|

| | | |T |

|80 |100 |400 |4 |

|125 |52 |5329 |102,5 |

|39 |38 |1 |0,03 |

|12 |100 |4 |0,4 |

|S=256 |200 |5734 |122,63 |

Гипотеза противоречит закону распределения Пуассона.

-----------------------

[pic]

МЕНЮ

Математическая статистика

Математическая статистика

ИНТЕРЕСНОЕ