Математическое моделирование

Определив коэффициенты регрессии решением системы уравнений , получим

уравнение множественной линейной регрессии , из которого могут быть

получены уравнения частной взаимосвязи функции с каждым аргументом:

у = a' i + b i х i ,

(27)

где a' i—свободный член частного уравнения регрессии;

i - порядковый номер анализируемого аргумента.

Так же как и в случае трехмерной задачи, угловой коэффициент регрессии

b i сохраняет то же численное значение, что и в уравнении множественной

линейной регрессии . Свободный член частного уравнения регрессии

рассчитывается по формуле

n

a' i = а + ( b i X i ( b e X e

( 28 )

i = 1

где а — свободный член множественного линейного уравнения регрессии;

n — количество -аргументов;

X i—средние значения аргументов;

X e —среднее значение одного из -аргументов.

Оценкой тесноты связи при множественной линейной регрессии служит

коэффициент множественной корреляции R, определяемый по формуле:

R = { b 1 [ ( x1 / ( y ] r yx1 + ... + b n [ ( x n / ( y ] r yx n }

1/2 ( 29 )

Величина коэффициента множественной корреляции всегда положительна и

может меняться от 0 (при отсутствии связи) до 1 (при функциональной связи).

С помощью коэффициента множественной корреляции оценивают совместное

влияние на зависимую переменную всех включенных в расчет аргументов.

Квадрат величины коэффициента множественной корреляции показывает долю

изменчивости зависимой переменной, обусловленную изменением всех

рассматриваемых аргументов, и называется коэффициентом множественной

детерминации.

Для оценки тесноты частной взаимосвязи функции и каждого аргумента

служит коэффициент частной корреляции. Этот статистический показатель

учитывает тесноту взаимосвязи функции и одного из показателей-аргументов

при условии, что остальные аргументы закреплены на уровне своих средних

значений и не влияют на функцию. Коэффициент частной корреляции

обозначается индексом r yx i, где i—порядковый номер оцениваемого

аргумента) и рассчитывается по формуле

{ 1 ( R 2 n } } 1/2

r yx i = { 1 - ----------------}

( 30 )

{ 1 ( R 2 n - 1 }

где R 2 n — квадрат коэффициента множественной корреляции для п аргументов;

R 2 n - 1 —-квадрат коэффициента множественной корреляции для n—1

аргументов без i-того^. Как видно из формулы ( 30 ), коэффициент частной

корреляции позволяет выделить уменьшение изменчивости фактических значений

функции вокруг расчетных, связанное с введением в расчет уравнения

множественной регрессии i -того аргумента. Коэффициент r yx i принимает

значения от 0 ( при отсутствии связи) до 1 (при наличии функциональной

связи). Из формулы (30 ) невозможно определить знак коэффициента частной

корреляции, поэтому его определяют по знаку углового коэффициента регрессии

b i для данного аргумента. Значение коэффициента частной корреляции может

отличаться от коэффициента парной корреляции не только по величине, но и по

знаку для одной и той же задачи. При этом нужно помнить, что коэффициент

частной корреляции является более объективной оценкой действительной

взаимосвязи.

Оценка тесноты индивидуальной связи функции и аргумента при

множественной регрессии с помощью коэффициента частной корреляции является

более достоверной. Это соображение подтверждается уменьшением рассеяния

точек относительно линии частной регрессии по сравнению с линией парной

регрессии. Следовательно, даже при уменьшении коэффициента частной

корреляции по сравнению с парным при частной регрессии наблюдается более

тесная связь между функцией и аргументом.

Для расчета по формуле (30) необходимо рассчитать коэффициенты

регрессии с помощью систем уравнений отдельно для п и п—1 аргументов.

При этом значения коэффициентов будут различными.

Итак, в результате решения уравнения множественной регрессии , можно

найти численные значения коэффициентов а, b 1, b 2, b 3, ..., b п. ,

определить показатели тесноты связи, а именно коэффициент множественной

корреляции R, коэффициент детерминации , коэффициенты частной корреляции

r' ух i.

Несмотря на то что уравнения частной линейной регрессии характеризуют

реальную взаимосвязь функции и i-того аргумента с большей достоверностью,

чем уравнения парной регрессии, они во многих случаях не удовлетворяют

исследователей. Недостаток уравнений частной линейной регрессии заключается

в том, что анализируемая зависимость представляется в виде прямой. В

действительности, большинство взаимосвязей параметров металлургических

процессов имеет криволинейный характер. Любое техническое мероприятие тем

эффективней, чем хуже абсолютные исходные показатели.

Для повышения достоверности взаимосвязей параметров технологического

процесса необходимо определить уравнения частной криволинейной регрессии.

Рассмотрим несколько способов такого определения.

ЧАСТНАЯ КРИВОЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ НА ОСНОВЕ МНОЖЕСТВЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ

РЕГРЕССИИ

Для упрощения рассмотрим задачу, в которой фигурируют два аргумента

( x 1 и x 2) и функция у. Рассчитаем уравнение множественной линейной

регрессии, т. е. определим численные значения коэффициентов а, b 1 и b 2

Найдем уравнения частной криволинейной регрессии. Например, чтобы

получить уравнение частной регрессии у по x 2, нужно исключить влияние на у

аргумента x 1. Для этого можно использовать следующий прием: каждое

значение функции у в таблице исходной информации нужно скорректировать на

величину отклонения первого аргумента от своего среднего, пользуясь для

этого найденным угловым коэффициентом регрессии bi. Тогда каждое

скорректированное значение функции у' будет равно:

y' j = y j ( (x 1j ( X j ) b 1 ,

( 31 )

где y j —значение функции в таблице исходной информации

x 1j —значение первого аргумента в таблице исходной информации;

X j - среднее значение первого аргумента

Таким образом, скорректированное значение функции представляет

собой фактическое значение функции скорректированное на влияние первого

аргумента. В результате получаем ряд скорректированных значений функции,

который не имеет регрессионной связи с рядом значений первого аргумента

(коэффициент корреляции между скорректированной функцией и первым

аргументом равен нулю).

Если в задаче имеется, например, п аргументов, то корректировка

исходных значений функции должна быть выполнена по всем аргументам, кроме

одного, частную связь которого с функцией предполагается определить. Для

этого скорректированные значения функции у по всем аргументам, кроме

второго, можно рассчитать по уравнению:

y' j = y j ( (x 1 j ( X 1j ) b 1( (x 3 j ( X j ) b 3( (x n j ( X n )

b n ( 32 )

гловой коэффициент регрессии из Таким:

^ == 523,0— 0,00493 Шл + 0,0001155 Шл".

. Расчет парной криволинейной связи между у' j и х 2j может быть

выполнен по методике, рассмотренной выше с использованием метода

наименьших квадратов. Например, если для аппроксимации связи выбрана

парабола второго порядка, то уравнение частной криволинейной регрессии

следующее

у** j = а** + b**2 x2 + c**2 x22

( 33) .

а разность между точкой, лежащей на кривой, и данной точкой корреляционного

поля

(yj = y'j ( у** j = y'j ( (а** + b**2 x2 + c**2 x22)

(34 )

При этом сумма квадратов расстояний от каждой точки корреляционного

поля до новой линии регрессии в случае параболы второго порядка будет иметь

вид:

S 2 = ( (yj 2 = ([ y'j ( (а** + b**2 x2 + c**2 x22)] 2

( 35 )

Исходя из условия минимума этой суммы, частные производные S 2 по

а**, b** 2 и с** 2 приравниваются к нулю. Выполнив необходимые

преобразования, получим систему трех уравнений с тремя неизвестными для

определения a**, b** и с**.

, ( y' = m a** + b**2 ( x 2 + c**2 ( x2 2

( y'x 2 = a** ( x2 + b**2 ( x2 2+ c** 2 ( x2 3

( y'x22 = a** ( x 22 + b**2 ( x2 3 + c**2 ( x2 4.

( 36 )

Решая систему уравнений (36) относительно a **, b**2 и с**2, находим

численные значения коэффициентов регрессии

Определяется парное корреляционное отношение для связи между

скорректированными значениями функции у' и соответствующим аргументом x i.

Парное корреляционное отношение является частным корреляционным отношением

для связи между фактическими исходными значениями функции у и

соответствующим аргументом к. В отличие от парного частное корреляционное

отношение будем обозначать индексом (** уx i , где i— -порядковый номер

аргумента, теснота связи с которым оценивается данным корреляционным

отношением. Значение частного корреляционного отношения то же, что и

коэффициента частной корреляции в случае множественной линейной корреляции.

Частное корреляционное отношение (** уx i :, определяется аналогично

парному корреляционному отношению.

(** уx i ={ ( (y** j ( Y)2 / ( (y' j ( Y)2 } 1/2

( 37 )

Аналогичным путем рассчитываются частные взаимосвязи функции со

всеми остальными аргументами.

Рассмотрим еще одну методику определения частной криволинейной

регрессии, которая лишена этого недостатка.

ЧАСТНАЯ КРИВОЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ НА ОСНОВЕ МНОЖЕСТВЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ

РЕГРЕССИИ

Для определения уравнения множественной криволинейной регрессии также

используется метод наименьших квадратов.

Рассмотрим случай, когда функция зависит от двух аргументов ( x 1

и x 2) аналогично примеру, рассмотренному при oписании множественной

линейной корреляции. В системе координат у— X 1— Х2 располагается некое

корреляционное пространство, образованное множеством точек , каждая из

которых соответствует результатам измерения параметров процесса. Задача

состоит в том, чтобы вписать в данное корреляционное пространство некую

поверхность, которая удовлетворяла бы условию наименьших квадратов

отклонений. Условию наименьших квадратов удовлетворяет поверхность для

которой сумма квадратов расстояний до точек корреляционного поля

минимальна:

Уравнение такой поверхности наилучшим образом

опишет взаимосвязь у, X 1 и Х2.

y = a + b1 x1 + c1 x12 + b 2 x 2 + c 2 x22 .

( 38 ) ,

Для определения коэффициентов такого уравнения используем систему

пяти уравнений с пятью неизвестными.

( y = m a + b1 (x1 + с1 (x12 + b2 (x2 + с2 (x22

( yx1 = a (x1 + b1 (x12 + с1 (x13 + b2 (x1 x2 + с2 (x22 x1

( yx1 2 = a (x12 + b1 (x13 + с1 (x14 + b2 (x2. x12 +с2 (x 22 x12

( yx2 = a (x2 + b1 (x1 x2+ с1 (x12 x 2 + b2 (x22 + с2 (x23

( yx22 = a (x22 + b1 (x1 x22 + с1 (x12 x22+ b2 (x23. + с2 (x24 (39)

Если все точки корреляционного пространства находятся на расчетной

поверхности, то множественное корреляционное отношение будет равно

единице. При этом связь между функцией у и аргументами x 1 и x2 будет

функциональной. По мере удаления точек от расчетной поверхности этот

показатель будет уменьшаться, приближаясь к нулю.

При переходе к анализу криволинейных связей возникает проблема выбора

типа кривой, с помощью которой выполняется аппроксимация каждой пары

рассматриваемых переменных. Для монотонно меняющегося процесса в

сравнительно небольших интервалах изменения параметров, каким является

металлургический процесс, можно без значительной ошибки аппроксимировать

все существующие связи Xi—Хе и у—Xi с помощью полиномов второй степени.

Такое допущение намного упрощает методику расчета, , но в то же время

сохраняет рассмотренные выше преимущества, присущие криволинейной

аппроксимации. На основе сделанного допущения можно рассчитать уравнение

множественной криволинейной регрессии вида:

y = a + ( b i x i + ( c i xi 2

( 40 )

где b и c— коэффициенты регрессии при i-том аргументе (1 =1,

2,...,п);

n—число аргументов в регрессионной модели;

а—свободный член уравнения регрессии.

Коэффициенты а, b и c, так же как и прежде, находятся методом

наименьших квадратов из системы уравнений, которая в данном случае будет

большей по сравнению с системой для определения коэффициентов множественной

линейной регрессии. Количество неизвестных (а, b и c), равное числу

уравнений в случае множественной криволинейной регрессии, составит z = 2 n

+ 1, где п—число аргументов в корреляционной модели. Таким образом, если

для определения уравнения множественной линейной корреляции с десятью

аргументами необходимо решить систему из 11 уравнений с 11 неизвестными {а

и 10 x), то для нахождения уравнения с десятью аргументами необходимо

решить систему из 21 уравнения с 21 неизвестным .

Частное уравнение регрессии в этом случае имеет вид

уx i = а' + b i x i + c i xi2,

(41) .

причем свободный член этого уравнения а ' для каждой связи у— x i имеет

свое численное значение, отличное от свободного члена а в уравнении

множественной регрессии ( ), ( ), а значения коэффициенты регрессии b i и

c i те же. Свободный член частного уравнения регрессии в данном случае

рассчитывается по формуле

a 'i = a + ( b 1- (n - i ) X 1- (n - i ) + (c 1- (n - i )

X 21- (n - i ) ( 42 )

где a — свободный член уравнения множественной регрессии.

Второй член правой части уравнения представляет собой сумму произведений

средних значений каждого аргумента, кроме 1-того, на его коэффициент

регрессии b i, а третий член правой части уравнения представляет собой

сумму произведений квадратов средних значений каждого аргумента, кроме t-

того, на его коэффициент регрессии c i. Коэффициенты регрессии b и c

взяты из уравнения множественной регрессии . Таким образом, из уравнения

множественной регрессии может быть получен ряд уравнений частной регрессии

(по числу аргументов п в корреляционной модели), с помощью которых

определяются характер индивидуальных взаимосвязей функции и каждого

аргумента.

Оценкой тесноты частной корреляционной связи в данном случае служит

частное корреляционное отношение. Этот показатель рассчитывается аналогично

парному корреляционному отношению .

ЗАДАНИЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ КУРСОВОЙ

РАБОТЫ

Задание на выполнение курсовой работы состоит из краткого текста,

поясняющего существо приводимых в задании групп исходных данных и самих

групп исходных данных. Среди этих данных имеется несколько аргументов и

одна функция. В задача курсовой работы входит проверка гипотез возможных

связей между аргументами и функцией. Критерием правильности одной из

гипотез является показатель тесноты связи. Это либо коэффициент парной или

частной корреляции, либо парное или частное корреляционное отношение.

После статистической обработки исходных данных проводится сравнение

полученных показателей и делаются выводы о правомерности одного из

предположений о характере связей.

СОСТАВ, ОБЪЕМ И СОДЕРЖАНИЕ КУРСОВОЙ

РАБОТЫ

Курсовая работа включает теоретическую часть, в которой приводится

описание методов регрессионного анализа, применяемых в данной работе.

Следующий раздел предусматривает предварительную статистическую

обработку данных для их последующего рационального использования. Автор

работы указывает на необходимость вычисления средних значений аргументов,

средних квадратов аргументов, средних значений третьей и четвертой степени

и т.д., после чего составляется таблица обработки исходных данных. Вид

таблицы приведен ниже.

NN x1 x1 2 x13 x14 x2 x22 x23 x24 y yx1

yx2 yx12 yx22

--------------------------------------------------------------------------

------------

...... ..... .... ..... ..... ......

..... ..... ..... ..... ...... ...... ......

--------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------

Средние

значения X1 X1 2 X13 X14 X2 X22 X23 X24 Y YX1 YX2 YX12

YX22

Правильно составленная таблица позволяет легче справляться с вычмслением

различнхы ситуаций в процессе решения разделов регрессионного анализа.

ОФОРМЛЕНИЕ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

Курсовая работа офрмляется следующим образом.

- Титульный лист с указанием фамилии , имени, отчества студента и

фамилии преподавателя

- Оригинал задания на выполнение курсовой работы

- Аннотация курсовой работы

- Оглавление работы

Теоретическая часть

Практическая часть работы

Выводы

Список использованной литературы

Приложения

ЗАШИТА КУРСОВОЙ РАБОТЫ

Защита курсовой работы происходит перед комиссией, составленной

из преподавателей кафедры. Студент в течение 5-8 минут докладывает основное

содержание работы, ее резулььаты и выводы, отвечает на вопросы членов

комиссии. Оценка курсовой работы производится членами комиссии по

пятибалльной системе с учетом содержания работы и ответа на вопросы.

Страницы: 1, 2