Модернизация электронной подписи Эль-Гамаля

криптографическим средством обеспечения целостности информации.

Схема Эль Гамаля.

Пусть обоим участникам протокола известны некоторое простое число p,

некоторой порождающей g группы Z*p и некоторая хэш-функция h.

Подписывающий выбирает секретный ключ x (R Z*p-1 и вычисляет открытый ключ

y = g-x mod p. Пространством сообщений в данной схеме является Zp-1 .

Для генерации подписи нужно сначала выбрать u(R Zp-1. Если u(R Z*p-1

(что проверяется эффективно), то необходимо выбрать новое u. Если же u (R

Z*p-1 , то искомой подписью для сообщения m является пара (r,s), где r = gu

mod p и

s = u-1(h(m) +xr) mod (p-1). Параметр u должен быть секретным и может быть

уничтожен после генерации подписи.

Для проверки подписи (r,s) для сообщения m необходимо сначала проверить

условия r ( Z*p и s ( Zp-1 . Если хотя бы одно из них ложно, то подпись

отвергается. В противном случае подпись принимается и только тогда, когда

gh(m) ( yrrs(mod p ).

Вера в стойкость схемы Эль Гамаля основана на (гипотетической) сложности

задачи дискретного логарифмирования по основанию g.

Схема Фиата – Шамира.

Для ее обеспечения центр обеспечения безопасности должен выбрать

псевдослучайную функцию f, криптографическую хэш-функцию h, а также выбрать

различные большие простые числа p, q и вычислить n = pq. Число n и функции

f и h являются общедоступными и публикуются центром, а числа p и q должны

быть секретными. Кроме того, схема использует два натуральных параметра l и

t.

Для каждого пользователя центр обеспечения безопасности генерирует

идентификационную информацию I, содержащую, например, имя пользователя, его

адрес, идентификационный номер и т. п., и для каждого j = 1,…,l вычисляет

yi = f(I,j), отбирает среди них квадратичные вычеты по модулю n (изменив

обозначения, мы считаем, что yi для всех j = 1,…,l являются квадратичными

вычетами по млдулю n), и вычисляет xi – наименьший квадратичный корень по

модулю n из yi-1 mod n. Числа yi играют роль открытого ключа, а xi –

секретного. Так как эти ключи вычисляются с использованием I, схема Фивта –

Шамира относится к схемам, основанным на идентификационной информации

(identity based). В другом варианте схемы Фиата – Шамира сразу выбираются

(псевдослучайным образом) параметру yi. На практике идентификационная

информация I и/или открытый ключ (y1,…,yl) каждого пользователя помещаются

в некоторый справочник, доступный всем пользователям для чтения, но не

доступный для записи. Для обеспечения аутентичности, данные в этом

справочнике заверяются подписью центра обеспечения безопасности. Секретный

ключ (x1,…,xl) и идентификационная информация I могут быть помещены на

интеллектуальную карточку пользователя.

Для генерации подписи для обеспечения m подписывающий

1. выбирает ui(R (n (каждое ui – независимо друг от друга) и вычисляет

ri = ui2 mod n для i = 1,…,t;

2. вычисляет h(m,r1,…,rt) и полагает биты eij(i = 1,…,t, j = 1,…,t)

равными первым lt битам h(m,r1,…,rt);

3. вычисляет для i = 1,…,t.

Искомой подписью для сообщения m является набор (eij, vi | i = 1,…,t,

j = 1,…,l)

Для проверки подписи (eij, vi | i = 1,…,t, j = 1,…,l) для сообщения m

подписывающий

1. вычисляет vj = h(I,j) для j = 1,…,l или берет их из общедоступного

справочника и сравнивает их с имеющимися в подписи (если обнаружено

несовпадение – подпись отвергается);

2. вычисляет для i = 1,…,t.

Подпись принимается тогда и только тогда, когда первые lt битов

h(m,z1,…,zt) равны eij.

Несомненным достоинством схемы Фмата – Шамира является отсутствие

дискретного экспонентрирования, что делает схему весьма эффективной. Но с

другой стороны, в этой схеме длины ключей и подписи значительно больше, чем

в схемах типа Эль Гамаля.

Схема стандарта электронной подписи ANSI США (DSA)

Эта схема аналогична схеме Эль Гамаля, но несколько эффективнее, так как в

ней порядок g меньше, чем в схеме Эль Гамаля. Пусть в открытом доступе

имеются некоторые простые числа p,q такие, что q | p-1, а также элемент g

порядка q группы Z*q и хэш-функция h, действующая из пространства сообщений

в Z*q .Параметры p,q,g и хэш-функция h могут быть выбраны центром

обеспечения безопасности. Подписывающий выбирает секрктный ключ x (R Zq и

вычисляет открытый ключ y = gx mod p. Для генерации подписи для

сообщения m нужно выбрать u (R Z*q \{1} и вычислить r = gu mod p mod q и s

= u-1 (h(m) +xr) mod q. Параметр u должен быть секретным и может быть

уничтожен после вычисления r и s. Если r = 0 или s = 0, то выбираются новое

значение u и процесс генерации подписи повторяется. В противном случае

(r,s) – искомая подпись для сообщения m.

Для проверки подписи (r,s) для сообщения m необходимо сначала

проверить условие 0 < r < q и 0 < s

подпись отвергается. В противном случае подпись принимается тогда и только

тогда, когда

gvh(m)yvr mod p mod q = r, где v = s-1 mod q.

Схема стандарта электронной подписи ГОСТ.

Пусть p,q,g,h,x,y имеют тотже смысл, что и в схеме DSA. Для генерации

подписи для сообщения m нужно выбрать u (R Z*q \{1} и вычислить

r = gu mod p mod q и s = u-1 (h(m) +xr) mod q. Параметр u должен быть

секретным и может быть уничтожен после вычисления r и s. Если r = 0 или s =

0, то выбираются новое значение u и процесс генерации подписи повторяется.

В противном случае (r,s) – искомая подпись для сообщения m.

Для проверки подписи (r,s) для сообщения m необходимо сначала

проверить условие 0 < r < q и 0 < s

подпись отвергается. В противном случае подпись принимается тогда и только

тогда, когда

gwsy-wr mod p mod q = r, где w = h(m)-1 mod q.

Схема RSA .

В схеме RSA подписывающий выбирает два различных больших простых числа p и

q, которые играют роль секретного ключа, и публикует открытый ключ (n,e),

где

n = pq, а e – некоторое число, взаимно простое с ((n) = (p-1)(q-1) (( -

функция Эйлера). Подписью для сообщения m является s(m) = h(m)d mod n , где

d = e-1 mod ((n)(очевидно, что, зная p и q, можно эффективно вычислить d) и

h – хэш-функция. Проверка подписи s для сообщения m состоит в проверке

сравнения

se ( h(m) (mod n) .

Схема RSA достаточно эффективна и широко используется на практике.

Вера в стойкость схемы основана на (гипотетической) трудности задачи

факторизации целых чисел.

Глава 3. Хэш-функции.

Хэш-функции являются необходимым элементом ряда криптографических схем. Под

этим термином понимаются функции, отображающие сообщения произвольной

длинны (иногда длинна сообщения ограничена, но достаточно большим числом)

в значения фиксированной длинны. Последние часто называют хэш-кодами. Таким

образом, у всякой хэш-функции h имеется большое количество коллизий, т.е.

пар значений x ( y таких, что h(x) = h(y). Основное требование,

предъявляемое к хеш-функциям, состоит в отсутствии эффективных алгоритмов

поиска коллизий.

В ряде криптографических приложений, особенно в схемах электронной цифровой

подписи, необходимым элементом является криптографически стойкая

хэш-функция.

Практические методы построения хэш-функций можно условно разделить на

три группы: на основе какого-либо алгоритма шифрования, на основе какой-

либо известной вычислительно трудной математической задачи и методы

построения "с нуля".

Наиболее эффективной с точки зрения программной реализации, оказываются хэш-

функции построенные "с нуля".

В данной дипломной работе в качестве алгоритма построения хэш-функции

использовался алгоритм Ривеста MD5, который будет описан ниже.

Универсальные семейства хэш-функций.

Понятие универсального семейства хэш-функций было введено в 1979 г.

Картером и Вегманом [CW].

Определение 1. Пусть А и В - два конечных множества и H - семейство

функций из А в В. H называется универсальным семейством хэш-функций если

для любых х1 ( х2 ( А и y1,y2 ( В

Вероятность берется по случайному равновероятному выбору функции h из

семейства Н.

Обычно предполагается, что мощность образа (множества В) меньше, чем

мощность прообраза (А), и что хэш-функции "сжимают" входные слова. Как

правило, рассматриваются семейства хэш-функций, которые переводят множество

всех двоичных строк длины п в множество всех двоичных строк длины m, где m

< п. Говоря неформально, универсальное семейство хэш-функций — это метод

"перемешивания" с сокращением длины строк, при котором выходные значения

распределены равномерно.

Семейство хэш-функций из определения 1 принято назвать 2-универсалъным

семейством. Если в этом определении заменить пары значений x и y на наборы

из k значений, то получим определение k-универсального семейства хэш-

функций .

Лемма о композиции [DeSY]. Пусть H1 и Н2 - 2-универсальные семейства, хэш-

функций, действующих из C1 в C2 и из С2 в С3 соответственно.

Тогда

Н = h == h2 о h1 ,

где ( обозначает композицию, является 2-универсальным семейством хэш-

функции, действующих из C1 в C3.

Нас эти семейства интересуют в основном как инструмент для определения и

построения семейств односторонних хэш-функций.

С прикладной точки зрения универсальные семейства хэш-функций должны

удовлетворять некоторым дополнительным требованиям.

Во-первых, хэш-функции должны быть эффективно вычислимыми. Часто это

требование включают в определение универсального семейства и формализуют

следующим образом.

У каждой хэш-функции h ( H имеется достаточно короткое описание h и

существуют два эффективных алгоритма, первый из которых по запросу и выдает

случайное h ( H, а второй по h аргументу x вычисляет h{x).

Во-вторых, во многих случаях требуются семейства хэш-функций, которые

определяются не на строках только данной фиксированной длины, а на строках

всех длин (или бесконечной последовательности длин). В этом случае

множество Нп, которое действует согласно определению 1 на строках длины п,

называют коллекцией хэш-функций, а универсальным семейством называют {Нп}.

В-третьих, для криптографических приложений иногда требуется так называемое

свойство доступности коллизий (collision accessibility). Оно требует

существования эффективного алгоритма, который по данным х1 и х2 выбирает h

( H такую, что

h(х1) = h(х2), равновероятным образом среди всех функций из Н,

удовлетворяющих этому свойству.

1. Пусть F = GF(2k) и chop: {0,1}k ( {0,1}k-1 - функция, которая просто

отбрасывает последний бит. Тогда семейство хэш-функций {chop(ax+b)}

является 2-универсальным и удовлетворяет свойству доступности коллизий.

2. Пусть А = {0,1}n и В {0,1}m. Для х ( {0,1}n и у ( {0,1}n+m-1 определим

конволюцию у о х элементов у и х как вектор длины m, i-я координата

которого

определяется по формуле

Тогда семейство H = { (a о х) ( b | a ( {0,1}n+m-1 , b ( {0,1}m}

представляет собой универсальное семейство хэш-функций.

Семейства односторонних хэш-функций.

Пусть {n1i} и { n0i} - две возрастающие последовательности натуральных

чисел такие) что для всех i n1i ( n0i и существует такой полином q, что

q(n0i,) ( n1.

(такие последовательности полиномиально связаны).

Пусть Нk - коллекция функций такая, что для всех h ( Hk

и пусть .

Предположим, что А - вероятностный алгоритм, работающий за поли-номиальное

время, который на входе k выдает строку x ( {0,1}n1k, называемую исходным

значением, и затем для данной случайной h ( Hk пытается найти у ( {0,1}n1k

такое, что h{x) = h{y), но х ( у.

Определение 2. Семейство U называется универсальным семейством

односторонних хэш-функций, если для всех полиномов р, для всех

полиномиальных вероятностных алгоритмов А и всех достаточно больших k

выполняются следующие условия:

1. x ( {0,1}n1k - исходное значение для А, то

Рг[А(h,x) = у, h{x) - h(y), у ( х] < 1/p(n1k),

где вероятность берется по всем h из Hk и по всем случайным выборам

алгоритма А.

2. Для любой h ( Hk существует описание h. полиномиальной (от n1k) длины

такое, что по этому описанию и по х значение h(x) вычислимо за

полиномиальное время.

3. Коллекция Hk доступна, т. е. существует алгоритм G, который на входе k

равномерно по вероятности генерирует описание функции h ( Hk .

Заметим, что Hk рассматривается как набор описаний функций: два разных

описания могут соответствовать одной и той же функции.

В данном определении А - это машина Тьюринга (однородная модель).

Определение универсального семейства односторонних хэш-функций, а котором А

- полиномиальная схема (неоднородная модель) формулируется аналогично, но в

п. 1 вероятность берется только по выбору h из Hk.

Также заметим, что это семейство называется семейством хэш-функций с

трудно обнаружимыми коллизиями.

Алгоритмы построения хэш-функций.

N –хэш.

Алгоритм разработан Nippon Telephone & Telegraph. N- хэш использует блоки

длинной 128 бит, размешивающую функцию. На вход пошаговой хэш-функции в

качестве аргумента поступают очередной блок сообщения Mi длинной 128 бит и

хэш-код hi-1 предыдущего шага.

h0 = I, где I – синхропосылка.

hi = g(Mi,hi-1) ( Mi ( hi-1.

Хэш-кодом всего сообщения объявляется хэш-код, получаемый в результате

преобразования последнего блока текста.

Функция g вначале меняет местами старшие и младшие части (по 64 бита

каждая) хэш-кода предыдущего шага, покоординатно складывая полученное

значение с величиной 1010…..1010 и текущим блоком текста Mi. Полученная

величина поступает на вход каскада из N (n = 8) преобразующих функций.

Вторым аргументом каждой из преобразующих функций является хэш-код

предыдущего шага, сложенный покоординатно с одной из восьми констант.

На рисунке 1 использованы следующие условные обозначения:

EXG –старшая и младшая части входного блока меняются местами;

V =1010…1010 (128 бит) в двоичной записи.

Vj = (||Aj1||(||Aj2||(||Aj3||(||Aj4; здесь || обозначает конкатенацию

бинарных строк;

( = 00…00 в двоичной записи;

Ajk = 4 * (j-1) + k (k = 1,2,3,4: Ajk длинной 8 бит);

PS – преобразующая функция.

На рисунке 2 представлена схема преобразующей функции. Каждый из аргументов

при этом разбивается на 4 блока:X1||X2||X3||X4, P= P1||P2||P3||P4, схема

вычисления функции f представлена на рисунке 3.

S0(a,b) = (левый циклический сдвиг на 2 бита) ((a+b)mod256):

S1(a,b) = (левый циклический сдвиг на 2 бита) ((a+b+1)mod256):

Результат действия преобразующей функции PS предыдущего шага становится

входным аргументом очередной преобразующей функции PS.

Процесс, показанный на рис.1, завершается покоординатным суммированием

по модулю 2 результата действия последней преобразующей функции PS, хэш-

кода предыдущего шага и блока хэшируемого текста.

MD5.

В этом алгоритме размер хэш-кода равен 128 битам.

После ряда начальных действий MD5 разбивает текст на блоки длинной 512

битов, которые, в свою очередь делятся на 16 подблоков по 32 бита. Выходом

алгоритма являются 4 блока по 32 бита, конкатенация которых образует 128-

битовый хэш-код.

Сначала текст дополняется таким образом, чтобы длина получаемого

текста, выраженная в битах, стала на 64 меньше числа, кратного 512.

Дополнение осуществляется приписыванием к концу сообщения единицы и затем

необходимого числа нулей (в бинарном представлении). Затем к тексту

приписывается 64-битовое представление длины исходного сообщения. Таким

образом, получается текст, длина которого кратна 512 битам.

Инициализируются 4 переменных размером по 32 бита;

А = 01 23 45 67;

В = 89 AB CD EF;

С = FE DC BA 98;

D = 76 54 32 10.

Далее начинает работу основной цикл алгоритма. Основной цикл повторяется

столько раз, сколько блоков по 512 битов присутствует в хэшируемом

сообщении.

Создаются копии инициализированных переменных: АА для А, ВВ для В, СС для

С, DD для D.

Каждый основной цикл состоит из 4 раундов. В свою очередь, каждый раунд

состоит из 16 операторов. Все операторы однотипны и имеют вид:

u = v + ((F(v, w, z) + Mj + tj) << Sj).

Здесь: u, v, w и z суть А, В, С и. D в зависимости от номера раунда и

номера оператора в раунде.

Mj обозначает j-тый подблок обрабатываемого блока. В каждом раунде порядок

обработки очередным оператором подблоков определяется задаваемой в явном

виде подстановкой на множестве всех подблоков (их, также как и операторов,

16).

ti обозначают зафиксированные случайные константы, зависящие от номера

раунда и номера оператора в раунде.

<

сдвигов также зависят от номера раунда и номера оператора в раунде.

F(v,w,z) - некоторая функция (фиксированная для каждого раунда),

действующая покоординатно на биты своих трех аргументов..

В первом, раунде действует функция F{X,Y,Z) = XY \/ (not X)Z.

Во втором раунде действует функция G(X,Y,Z) = XZ \/ (not Z)Y.

В третьем раунде действует функция Н{Х,Y,Z)( = Х(Y (Z.

В четвертом раунде действует функция I(Х,Y,Z) = Y((X \/ (not Z)).

Функции подобраны таким образом, чтобы при равномерном и независимом

распределении битов аргументов выходные биты были бы также распределены

равномерно и независимо.

Основной цикл алгоритма завершается суммированием полученных А, В, С и D

и накапливаемых АА, ВВ, СС и DD, после чего алгоритм переходит к обработке

нового блока данных. Выходом алгоритма является конкатенация получаемых

после последнего цикла А, В, С и D.

Схемы хэширования, использующие алгоритмы блочного шифрования.

Идея использовать алгоритм блочного шифрования [Schnr], для построения

надежных схем хэширования выглядит естественной. Напрашивается мысль

использовать алгоритм блочного шифрования в режиме "с зацеплением" при

нулевой синхропосылке.

При этом считать хэш-кодом последний шифрблок. Очевидно, что на роль DES-

алгоритма здесь годится произвольный блочный шифр.

Однако при таком подходе возникают две проблемы. Во-первых, размер блока

большинства блочных шифров (для DESa — 64 бита) недостаточен для того,

чтобы хэш-функция была устойчива против метода на основе парадокса дня

рождения. Во-вторых, предлагаемый метод требует задания некоторого ключа,

на котором происходит шифрование. В дальнейшем этот ключ необходимо держать

в секрете, ибо злоумышленник, зная этот ключ и хэш-значение, может

выполнить процедуру в обратном направлении. Следующим шагом в развитии идеи

использовать блочный шифр для хэширования является подход, при котором

очередной блок текста подается в качестве ключа, а хэш-значение предыдущего

шага — в качестве входного блока. Выход алгоритма блочного шифрования

является текущим хэш-значением (схема Рабина). Существует масса модификаций

этого метода, в том числе хэш-функции, выход которых в два раза длиннее

блока.

В ряде модификаций промежуточное хэш-значение суммируется покоординатно по

модулю 2 с блоком текста. В этом случае подразумевается, что размер ключа и

блока у шифра совпадают. В литературе встречаются 12 различных схем

хэширования для случая, когда размер ключа и блока у шифра совпадают:

1) Hi = EMi(Hi-1) ( H i-1 (схема Дэвиса — Мейера);

2) Hi = Енi-1(Мi) ( H i-1 ( Mi (схема Миягучи);

3) Hi = Енi-1(Мi) (Мi, (схема Матиаса, Мейера, Осиаса);

4) Hi = Енi-1(H i-1 ( Mi) ( H i-1 ( Mi;

5) Hi = Енi-1(H i-1 ( Mi) ( Mi;

6) Hi = ЕMi(Mi ( H i-1) ( Mi( H i-1;

7) Hi = ЕMi (H i-1) ( Mi( H i-1;

8) Hi = ЕMi (Mi ( H i-1) ( H i-1;

9) Hi = Енi-1( Mi(Mi) ( Hi-1;

10) Hi = Енi-1( Mi(Hi-1) ( Hi-1;

11) Hi = Енi-1( Mi(Mi) ( Mi;

12) Hi = Енi-1( Mi(Hi-1) ( Mi;

где Ek(M) обозначает результат применения алгоритма блочного шифрования с

ключом k к блоку М.

Во всех подобных схемах полагают Н0 = Iн, где Iн — начальное значение.

Для алгоритмов блочного шифрования с размером ключа в два раза большим чем

размер шифруемого блока (например, IDEA) в 1992 году была предложена

модифицированная схема Дэвиса—Мейера:

Н0 = Iн, где Iн — начальное значение;

Нi = Енi-1,Mi(Hi-1).

Стойкость подобных схем зависит от криптографических и иных свойств

алгоритмов блочного шифрования, лежащих в их основе. В частности, даже если

алгоритм шифрования является стойким, некоторые из предложенных схем

обладают коллизиями [MOI]. К подобным эффектам могут приводить такие

свойства алгоритма шифрования как комплиментарность

(шифрование инвертированного открытого текста на инвертированном ключе

приводит к инвертированному шифртексту), наличие слабых и полуслабых ключей

и т. п.

Еще одной слабостью указанных выше схем хэширования является то, что

размер хэш-кода совпадает с размером блока алгоритма шифрования.

Чаще всего размер блока недостаточен для того, чтобы схема была стойкой

против атаки на базе "парадокса дня рождения". Поэтому были предприняты

попытки построения хэш-алгоритмов на базе блочного шифра с размером хэш-

кода в k раз (как правило, k = 2) большим, чем размер блока алгоритма

шифрования:

Схема Приниля — Босселэра — Гувертса — Вандервалле [PrBGV]

где Li, Ri, — левая и правая половины очередного блока хэшируемого текста.

Хэш-кодом является конкатенация последних значений Gi, Hi.

Глава 4. Модернизация электронной подписи Эль Гамаля. Задача

дискретного логарифмирования.

Модернизация электронной подписи Эль Гамаля.

Также, как и в обычной схеме, секретный ключ x (R Z*p-1 и открытый ключ

y = g-x mod p. Пространством сообщений в данной схеме является Zp-1 .

Подписывающие выбирают случайные u1,…un , так, чтобы они были взаимно

простые (т.е gcd (un,p-1) = 1).

Тогда

Подписью в этом случае является набор (r1,…,rn,s) .

Для проверки подписи (r1,…,rn,s) для сообщения m необходимо сначала

проверить условия r1,…,rn ( Z*p и s ( Zp-1 . Если хотя бы одно из них

ложно, то подпись отвергается. В противном случае подпись принимается и

только тогда, когда .

Идея метода состоит в том, что можно подписывать коллективом из n

человек, что значительно усложнит задачу раскрытия этой подписи т.к. нам

неизвестны все u1,…un .

Задача дискретного логарифмирования.

Задача дискретного логарифмирования – одно из наиболее популярных

задач, используемых в целях криптографии. Это объясняется высокой

сложностью ее решения в некоторых группах.

Постановка задачи.

Пусть G – некоторая мультипликативно записываемая группа, а a и b –

некоторые элементы этой группы, связанные равенством b = an при некотором

целом n. Любое целое x, удовлетворяющее уравнению b = ax, называется

дискретным логарифмом элемента b по основанию a. Задача дискретного

логарифмирования в группе G состоит в отыскании по данным a и b

вышеуказанного вида некоторого дискретного логарифма b по основанию a. Если

a имеет бесконечный порядок, то дискретный логарифм любого элемента по

основанию a определен однозначно. В противном случае все дискретные

логарифмы b по основаниям a можно получить из некоторого такого дискретного

логарифма x0 по формуле x = x0 + km, где km – порядок элемента a, а

параметр k пробегает Z.

Для криптографических приложений наиболее важна задача дискретного

логарифмирования в мультипликативных группах конечных полей GF(q) и колец

Zn Как известно, группа GF(q)* циклическая и имеет порядок q –1, поэтому

если в качестве a берется некоторый порождающий этой группы, то дискретный

логарифм любого элемента GF(q)* по основанию a существует и определен

однозначно. Если логарифмировать по фиксированному основанию, которое

является порождающим g группы GF(q)*, то можно находить дискретные

логарифмы по произвольному основанию. Действительно, чтобы найти дискретный

логарифм x элемента b по основанию a, достаточно вычислить дискретные

логарифмы y и z элементов a и b по основанию a и решить уравнение xy =

z(mod q – 1) относительно z. Для краткости обозначим дискретный логарифм y

произвольного элемента g(GF(q)* по основанию a, удовлетворяющий неравенству

0 < y < q – 2, через log. Очевидно, что log – взаимно однозначное

отображение GF(q)* на Zq-1, удовлетворяющее обычному свойству логарифма:

log gh = (log g + log h) mod (q-1) для произвольных g,h (GF(q)*.

Алгоритм Гельфонда.

В настоящее время не известно полиномиальных алгоритмов дискретного

логарифмирования в произвольной группе GF(q)*. Изложенный ниже алгоритм

применим к произвольной группе GF(q)* и имеет сложность O(q0,5+()

1. Положить

2. Вычислить c = aH .

3. Построить наборы (cu|u({0,1,…,H}) и (bav|u({0,1,…,H}) элементов GF(q)*.

4. Найти некоторый элемент, входящий в оба набора. Если cu = bav – такой

элемент, то это значит, что и log b = (Hu –v) mod (q – 1) – искомый

дискретный логарифм b по основанию a.

Отметим, что любой элемент x({0,1,…,q-2} представим в виде x = Hu-v при

некоторых u,v({0,1,…,H}.Поэтому элемент входящий в оба набора из этапа 3

алгоритма, существуют.

Заключение

Выбор для конкретных ИС должен быть основан на глубоком анализе

слабых

и сильных сторон тех или иных методов защиты. Обоснованный выбор той

или иной системы защиты, в общем-то, должен опираться на какие-то критерии

эффективности. К сожалению, до сих пор не разработаны подходящие методики

оценки эффективности криптографических систем.

Наиболее простой критерий такой эффективности - вероятность раскрытия

ключа или мощность множества ключей. По сути, это то же самое, что и

криптостойкость. Для ее численной оценки можно использовать также и

сложность раскрытия шифра путем перебора всех ключей.

Однако этот критерий не учитывает других важных требований к

криптосистемам:

невозможность раскрытия или осмысленной модификации информации на основе

анализа ее структуры,

совершенство используемых протоколов защиты,

минимальный объем используемой ключевой информации,

минимальная сложность реализации (в количестве машинных операций), ее

стоимость,

высокая оперативность.

Желательно конечно использование некоторых интегральных показателей,

учитывающих указанные факторы.

Часто более эффективным при выборе и оценке криптографической системы

является использование экспертных оценок и имитационное моделирование.

В любом случае выбранный комплекс криптографических методов должен

сочетать как удобство, гибкость и оперативность использования, так и

надежную защиту от злоумышленников циркулирующей в ИС информации.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Блинкову Юрию

Анатольевичу за неоценимую помощь в написании данной работы.

Литература:

1. Diffie W., Hellman M. E. New directions in cryptography. IEEE

transactions on Information Theory IT-22. 1976. 644-654 p.

2. Buchberger B. Groebner Bases: on Algorithmic Method in Polynomial Ideal

Theory. In: Recent Trends in Multidimensional System Theory, Bose, N.K.

(ed.), Reidel, Dordrecht. 1985. 184-232 p.

3. Rivest R. L., Shamir A., Adleman L., method for obtaining digital

signatures and public-key cryptosystems, Commun. ACM, v. 21, №2, 1978,

120-126

4. Rivest R. L., The MD5 messege digest algorythm, RFC 1321, April, 1992

5. Блинков Ю. А., Мыльцин В. Л. Использование базисов полиномиальных

идеалов при построении односторонних функций. В кн.: Современные проблемы

теории функций и их приложения.– Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997.

-----------------------

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Страницы: 1, 2