Методика изучения числовых систем

Изучение деления дроби на целое число начинается с рассмотрения примера

умножения дроби на целое число, для которого составляется обратная задача.

Например:

[pic]

обратная задача:

[pic]

требуется найти такую дробь, которая, будучи умножена на 4, даст в

произведении [pic]. Такая дробь будет [pic], запишем:

[pic]

В результате рассмотрения ряда подобных примеров учащиеся приходят к

выводу, что при делении дроби на целое число достаточно числитель разделить

на целое число, оставив прежний знаменатель. После этого ставится вопрос,

как поступать в том случае, когда числитель данной дроби не делится на

целое число. Рассматривается второй прием умножения: [pic], отсюда [pic].

Получается второй способ деления. Применив этот способ к предыдущему

примеру, убеждаются, что второй способ ( общий, годится для любых случаев

деления дроби на целое число (не равное 0). Действительно,

[pic]

Правило формулируется так: чтобы разделить дробь на целое число,

достаточно знаменатель дроби умножить на это число, оставив числитель

прежним.

При делении дроби на целое учащиеся встречаются с новым случаем

сокращения дробей, поэтому предварительно рассматривается сокращение дроби

вида: [pic].

В связи с изучением деления дроби на целое, ряд авторов учебников

предлагает рассмотреть деление дробей с одинаковыми знаменателями. К этому

случаю деления можно прийти из рассмотрения следующего примера на

умножение:

[pic]

Чтобы найти множитель, достаточно, [pic]. Получается деление по

содержанию; 4 показывает, что [pic], содержатся в [pic] четыре раза.

Приходим к выводу, что при делении дробей с одинаковыми знаменателями

достаточно числитель первой дроби разделить на числитель второй.

При изучении деления смешанного числа на целое тоже следует разобрать с

учащимися два способа выполнения действия, при первом способе смешанное

число обращается в неправильную дробь и производится деление дроби на целое

число, при втором ( применяется распределительный закон деления

относительно суммы и делится отдельно целая и дробная часть смешанного

числа (предварительна устанавливается справедливость применяемого закона

деления). Например.

[pic]

в дальнейшем промежуточные записи пропускаются).

[pic]

В результате рассмотрения примеров учащиеся отмечают те случаи, в

которых рациональнее применять второй способ деления. Подчеркивается

удобство 2-го способа при устных вычислениях.

На этом кончается первая часть изучения действий над дробями, которая

тесно примыкает к теме о целых числах, так как определения действий,

рассмотренных в этой части, мало отличаются от определений соответствующих

действий над целыми числами.

Умножение на дробь

Вторая часть начинается с изучения действия умножения на дробь и

представляет новый этап в изучении действий над дробями. Смысл действия

умножения на дробь резко отличается от умножения на целое число. Учащиеся

привыкли до сих пор понимать под умножением сложение равных слагаемых,

произведение считать больше множимого (смысл умножения на единицу им

кажется мало отличающимся от обычного понимания умножения). Для умножения

на дробь все эти представления не подходят. Поэтому определение умножения

на дробь нелегко воспринимается учащимися. Необходимо показать учащимся

целесообразность введения нового определения для умножения на дробь и

конкретный смысл этого определения. В связи с этим методическая и учебная

литература предлагает различные подходы к введению определения умножения на

дробь или к выводу правила умножения на дробь, которое в большинстве

случаев заменяет определение.

В учебной и методической литературе XVIII века и первой половины XIX

века существовал следующий подход к выводу правила умножения на дробь.

Рассуждения велись так: чтобы умножить 5 на [pic], умножим 5 сначала на

3, получим произведение 15, которое больше истинного, так как множитель

увеличен в 4 раза; чтобы получить истинное произведение, надо полученное

произведение 15 уменьшить в 4 раза, будем иметь

[pic]

Такой подход неправилен с точки зрения логического построения

математики, так как свойства произведения целых чисел распространялись на

произведение в случае дробного множителя, хотя еще не установлено, что

значит „умножить число на дробь" и можно ли распространить эти свойства на

новое произведение. Кроме того, этот подход страдает формализмом' из этих

рассуждений не следует, к каким задачам возможно применение действия

умножения на дробь.

Существует еще и такой подход:

(по переместительному закону умножения) =

[pic]

Отсюда выводится правило. Ошибка этого рассуждения в том, что

распространяется переместительный закон на действие, которое еще не

определено и не доказано, что оно обладает переместительным законом.

Рассуждение было бы правильно, если бы оно построено было так: произведение

целого числа на дробь должно быть составлено так, чтобы порядок

сомножителей не имел значения, т. е. для действия умножения на дробь

оставался бы справедливым переместительный закон. Была попытка дать общее

определение действия умножения, пригодное и для целого и для дробного

множителя. Это определение было дано в следующей формулировке:

умножить одно число на другое ( значит из множимого составить новое

число так, как множитель составлен из единицы. Смысл рассуждений при этом

был следующий.

При умножении на целое число имеем:

[pic]

При умножении 5 на [pic], так как множитель

т. е. единица разделена на 4 и полученное частное взято слагаемым 3

раза, должны получить:

[pic]

Это определение было в ходу в ряде учебников дореволюционной школы.

Основной недостаток этого определения ( формальный характер его

образования. Из определения неясно, к каким конкретным задачам можно

применить умножение на дробь. Нельзя подвести учащихся к составлению этого

определения из рассмотрения конкретных задач. Вторым недостатком является

математическая неточность. Из определения неясен способ составления

множителя из единицы; число может быть составлено из единицы различными

способами, как целое, так и дробное. Число [pic] может быть составлено так:

[pic]

Если при умножении 5 на [pic] произведение из множимого составить так

же, как [pic] составлено из единицы, то получим

[pic]

т.е. совсем другой ответ, чем раньше. Кроме того, общее определение

умножения затушевывает необходимость нового определения при умножении на

дробь.

Перед введением определения действия умножения на дробь рассматривается

решение задачи на нахождение части числа. В программе и в стабильном

учебнике эта задача носит название: „нахождения дроби числа". Замена слова

„части” словом „дроби" вызвана, очевидно, расширением рассматриваемой

задачи; в стабильном учебнике рассматриваются и такие задачи, например:

„найти [pic] числа [pic]”, (т.е. требуется найти число долей от числа

большее, чем во всем числе). Система упражнений должна быть составлена так,

чтобы первые задачи и примеры помогли учащимся повторить сведения,

полученные из начальной школы, т. е. числа должны быть подобраны так, чтобы

само число и искомая доля числа были целым числом.

Первая группа упражнений.

Пример. Найти [pic] от 60.

Решение. [pic] от 60 составляет 60 : 5 = 12.

[pic]от 60 составляют 12 · 4 = 48.

Вторая группа упражнений: нахождение части от целого числа,

когда искомая доля ( дробь.

Пример. Найти [pic] от 11.

Решение.

[pic]

В дальнейшем записи следует сокращать.

Пример. Найти [pic] от 10.

[pic]

Третья группа упражнений: нахождение части от дроби.

Пример. Найти [pic] от [pic].

Решение. [pic].

или

[pic]

Следует подчеркнуть на соответствующих конкретных задачах, что найти

часть от дроби ( значит определить, какую часть от целого составляет часть

от части этого целого.

Пример. [pic] всей земли, принадлежащей колхозу, отведено под хлебные

культуры; [pic] земли, занятой хлебными культурами, засеяно рожью. Какая

часть земли, принадлежащей колхозу, засеяна рожью?

[pic]

Рожью засеяно [pic] всей земли.

Рассмотрим рисунок 10, где заштрихован участок земли, отведенный под

хлебные культуры. Из участка, отведенного под хлебные культуры, выделена

часть под рожь (рис.11).

[pic]

Рис.10 Рис.11

Формулировку задачи „найти дробь числа” следует вводить не cразу,

сначала пользоваться старой формулировкой „найти часть числа”, конкретный

смысл которой учащимся вполне ясен. К новой формулировке можно приучить

постепенно, напоминая, что дробью называется одна или несколько равных

частей единицы. Введение термина „дробь числа” облегчит формулировку задач,

например, „найти [pic] от [pic]“, а также определение умножения на

неправильную дробь.

Проработке задачи нахождения дроби числа следует посвятить достаточное

количество времени; это создаст прочную базу для изучения умножения на

дробь. Часть трудных вопросов этой темы будет, таким образом выделена и

подготовлена. А именно: что значит найти дробь числа? Как найти? Какие

могут быть случаи? Как записать формулу решения в виде дроби? При этом

можно рассмотреть и сокращение дроби, когда числитель и знаменатель

представляют произведение.

Перейдем теперь к изложению той методики преподавания умножения на

дробь, которая получила в настоящее время признание в педагогической

практике и в учебно-методической литературе. Можно подвести учащихся к

новому определению умножения путем решения геометрической задачи на

вычисление площади прямоугольника.

Предварительно рассматривается вычисление площади прямоугольника, у

которого длины сторон ( дробные числа, путем подсчета долей квадратной

единицы, из которых может быть составлен прямоугольник, без знания

умножения дробей.

Далее предлагаются задачи примерно такого содержания:

Вычислить площадь прямоугольника, у которого

1) основание 10 см, высота 6 см,

2) основание 7[pic] см, высота 4 см.

Площадь первого прямоугольника учащиеся находят, пользуясь правилом для

вычисления площади прямоугольника. Для второго прямоугольника преподаватель

предлагает проверить справедливость правила. Учащиеся ив чертежа находят,

что в одном ряду укладывается 7[pic] кв. ед. и таких рядов получается 4.

Следовательно, для вычисления площади, достаточно 7[pic] умножить на 4.

Затем предлагается нарисовать прямоугольник, основание которого 4 см, а

высота 1 см; затушевать на этом чертеже прямоугольник, у которого основание

4 см, а высота [pic] см, и вычислить его площадь. Учащиеся находят площадь

затушеванного прямоугольника путем подсчета долей квадратной единицы. После

этого преподаватель указывает, что для того чтобы площадь прямоугольника

вычислялась по одному правилу, условились и в этом случае решение

записывать при помощи умножения длины основания на длину высоты, т.е.

[pic].

Чтобы выяснить смысл умножения 4 на [pic], предлагается с помощью

чертежа ответить на вопросы: какая площадь всего прямоугольника? какая

часть прямоугольника затушевана? какая площадь затушеванной части? Учащиеся

устанавливают, что искомая площадь составляет [pic] всей площади

прямоугольника, т. е. [pic] от 4 кв.см и равна 4 : 4 = 1 (кв. см).

Следовательно, 4·[pic] ( значит найти [pic] от 4.

После этого записывают 4·[pic] = 4 : 4 = 1 (кв. см).

Затем предлагается построить второй прямоугольник, основание которого 4,

а высота 1 см, затушевать на этом чертеже прямоугольник с основанием 4 см и

высотой [pic] см. Применить правило для вычисления площади этого

прямоугольника.

Рис.12 Рис.13

Учащиеся получают 4·[pic] . Чтобы выяснить, что это значит,

устанавливают по чертежу, что искомая площадь составляет [pic] от площади

всего прямоугольника и равна (4 : 4) · 3 = 3 (кв. см). Следовательно,

4·[pic] ( значит найти [pic] от 4.

[pic]

Следует повторить эти рассуждения с прямоугольником, основание которого

2 дм и высота 1 дм, и установить, что значит 2·[pic]; 2·[pic].

Вообще условились считать, что умножить число на дробь ( значит найти

эту дробь множимого. Умножить число на правильную дробь ( значит найти

часть числа, которая выражена этой дробью.

Можно показать целесообразность определения умножения на дробь на

решении следующих арифметических задач.

Автомобиль едет со скоростью 45 км в час. 1) Какое расстояние он пройдет

в 3 часа? в 7 часов? в [pic] часа? в [pic] часа?.

Записывается решение задач.

[pic]

Ведутся такие рассуждения.

Условие всех задач одинаково. Дана скорость автомобиля в час и требуется

узнать, какое расстояние автомобиль пройдет за некоторое число часов. Для

нахождения расстояния в 1-й и 2-й задаче скорость умножали на время. Чтобы

одинаковые по смыслу задачи решались одинаковыми действиями, условились и в

3-й и в 4-й задаче называть нахождение [pic] от 45 и [pic] от 45 умножением

45 на [pic] и 45 на [pic], тогда решение 3-й задачи запишется:

[pic]

Решение 4-й задачи:

[pic]

Умножить 45 на [pic] ( значит найти [pic] от 45, умножить 45 на [pic],

значит найти [pic] от 45. После этого устанавливается то же определение

умножения на дробь. Правило умножения целого числа на дробь выводится после

Решения ряда примеров на основании определения. Для вывода правила следует

взять такие упражнения, в которых знаменатель дроби и целое не имеют общего

множителя. Например.

[pic]

При умножении целого числа на смешанное число следует рассмотреть два

способа умножения, первый — множитель обращается в неправильную дробь, и

умножение производится на основании установленного определения; второй —

применяется распределительный закон умножения Предварительно устанавливаем

справедливость распределительного закона и в том случае, когда одно из

слагаемых суммы во множителе — дробь. Следует обратить внимание учащихся на

то, что второй способ короче для тех случаев, когда ответ требуется

получить в виде смешанного числа Умножение дроби на дробь прорабатывается

на основании определения умножения на дробь

Пример. [pic].

Ведутся такие рассуждения. Умножить [pic] на дробь [pic] ( значит найти

[pic] от [pic]. Для этого сначала находим [pic] от [pic] и делим [pic] на

3, получим [pic]. Потом, чтобы найти [pic] от [pic], умножаем [pic] на 2.

Это записывается так:

[pic]

Короче можно написать:

[pic]

Числитель полученной дроби получился от перемножения числителей данных

дробей, а знаменатель — от перемножения их знаменателей После рассмотрения

ряда примеров выводится правило: чтобы умножить дробь на дробь, достаточно

числитель первой дроби умножить на числитель второй и знаменатель на

знаменатель и первое произведение сделать числителем, а второе знаменателем

произведения.

Необходимо показать учащимся на частных примерах справедливость основных

законов умножения для дробных чисел. Приведем несколько упражнений,

убеждающих в справедливости сочетательного закона для дробных чисел.

Вычислить устно:

[pic]

Разбираются два способа вычисления:

[pic]

Результат получился одинаковый, следовательно,

[pic]

[pic]

При рассмотрении умножения смешанных чисел обычный прием путем обращения

смешанных чисел в неправильные дроби не вызывает затруднения. Следует

обратить внимание на другой способ умножения смешанных чисел — умножение по

частям, отдельно на целое число и на дробь. Этот способ удобен в некоторых

случаях при устном счете.

Например, при умножении 6[pic]·2[pic] выгоднее считать так:

[pic]

Необходимо обратить на этот способ внимание еще и потому, что учащиеся

часто при устном счете неправильно им пользуются, умножая целое на целое

число и дробь на дробь, и сумму полученных произведений считая за искомое

произведение. Неправильность таких вычислений следует показать на решении

конкретной задачи, лучше всего с геометрическим содержанием. Рассмотреть

следующую задачу.

Построить прямоугольник, основание и высота которого 2[pic]ед. и

3[pic]ед., и найти его площадь двумя способами:

1) вычисляя сразу всю площадь, 2) вычисляя по частям.

[pic] Рис.14

Учащиеся получают наглядное представление о втором способе умножения.

Полезно показать, что при вычислении вторым способом применяется

распределительный закон умножения.

[pic]

Следует подчеркнуть учащимся, что совпадение произведений, полученных 1-

м и 2-м способами, показывает на справедливость распределительного закона и

в том случае, когда оба сомножителя — смешанные числа.

Изучая умножение дробей, следует обратить внимание учащихся еще на одну

особенность умножения на дробь, отличающую его от умножения на целое число.

При умножении на правильную дробь полученное произведение меньше

множимого (или от умножения на правильную дробь данное число уменьшается).

Следует требовать обоснование этого вывода рассуждением и иллюстрировать

примерами.

Рассмотрим систему примеров на умножение на неправильную дробь.

[pic]

Вывод. При умножении на неправильную дробь, не равную единице,

произведение получается больше множимого.

После этого следует предложить учащимся сделать общий вывод относительно

того, в каком случае произведение получается больше множимого, в каком

случае меньше множимого, в каком случае оно равно множимому. Следует

задавать учащимся следующие контрольные вопросы. Например: на какое число

нужно умножить число 5, чтобы произведение получилось больше 5? равно 5?

меньше 5? Приведите примеры.

Деление на дробь

Делению на дробь предпосылается и в программе и в стабильном учебнике

нахождение числа по данной величине его дроби. Рассуждения ведутся по такой

схеме.

Пример. Найти число [pic] которого равны 20.

Обозначим неизвестное число буквой х, тогда условие задачи запишется:

[pic] от х равны 20.

Так как часть числа находится умножением, то вместо [pic] от х можно

написать х·[pic] или, пользуясь переместительным законом, [pic]· х.

Следовательно, можно написать: [pic] от х равны 20, или х·[pic] = 20, или

[pic]·х = 20, так как в случае буквенного сомножителя принято знак

умножения пропускать. Решение. 1) [pic]= 20 : 5 = 4; 2) х = 4 · 6 = 24.

Как и при нахождении дроби числа, при нахождении числа по данной

величине его дроби необходимо рассмотреть различные случаи.

Определение деления числа на дробь остается то же, что и при делении

целых чисел. Эту мысль необходимо подчеркнуть учащимся. Для того чтобы

соблюдалась одна и та же система изучения обратных действий, следует начать

с повторения образования действия деления для целых чисел, затем перейти к

рассмотрению примера на умножение на дробь и образовать две обратные

задачи.

Например: 27 · [pic]= 12.

Составим обратную задачу, взяв за искомое число множитель. Эта задача

решается делением целого числа на целое, которое рассмотрено раньше.

Составим вторую обратную задачу, взяв за искомое множимое.

Запишем:

х·[pic]=12.

Эта задача и для дробных чисел решается действием деления 12 : [pic] =

х.

Так как х·[pic]= 12 или [pic]·х = 12, то, чтобы найти х, мы находим

число [pic] которого равны 12, отсюда х = (12 : 4) · 9 = 27.

При помощи такого рода рассуждений, основой которых служит определение,

учащиеся приходят к выводу, что при делении на дробь отыскивается число по

данной величине его дроби. Рассмотрев примеры на умножение целого числа на

дробь в случае дробного произведения и дроби на дробь и составив обратные

задачи, учащиеся получают все случаи деления дробей. Проделав несколько

упражнений, учащиеся выводят .правило деления целого на дробь, также дроби

на дробь.

Неправильно строить изучение деления на дробь, взяв за определение, что

разделить какое-нибудь число на дробь ( значит найти число по данной

величине его дроби. Это противоречит научному построению изучения действий

над числами, при котором вычитание я деление любых чисел определяются как

действия, обратные сложению и умножению.

Полезно напомнить учащимся, что так как умножение обладает

переместительным законом, то для отвлеченных чисел деление на дробь имеет

одинаковый смысл независимо от того, какой из двух Сомножителей ( множимое

или множитель ( является данным и какой искомым.

Но при решении конкретных задач деление на дробь в том случае, когда

искомым является множитель (деление по содержанию), имеет другой смысл по

сравнению с тем случаем, когда искомым является множимое. Например,

рассмотрим задачу.

Из 6м проволоки нужно сделать прутики для счетов, длиною каждый по

[pic]м. Сколько выйдет таких прутиков?

Для решения этой задачи 6м : [pic]м, в этом случае частное показывает,

сколько раз [pic]м содержится в 6 м. или во сколько раз 6м больше [pic]м.

Для отыскания частного можно провести следующие рассуждения: 6м =[pic]

м, [pic]м содержится в [pic]м 8 раз.

Но можно рассуждать и так: 6м: [pic]м = х; [pic]м · х = 6 м. Но, по

переместительному закону умножения, [pic]· х = х·[pic].

Следовательно, и в этом случае мы можем деление выполнять по тому же

правилу, что и при нахождении всего числа по данной его части.

Рассмотрим вторую задачу.

Площадь одного участка [pic]га, другого [pic]га. Какую часть площадь

второго участка составляет от площади первого?

В этой задаче требуется найти дробь, при умножении на которую [pic]га

получим [pic]га, для этого [pic]га : [pic]га. Обозначим частное через х,

получим [pic]га·х=[pic]га. Но, по переместительному закону умножения,

получаем: х·[pic]=[pic]. Следовательно, и в этом случае мы можем применить

выведенное правило деления на дробь.

Приходим к выводу: при делении на дробь решаются двоякого рода задачи:

1) когда по дроби какого-нибудь числа ищется это число и 2) когда узнаем,

сколько раз одно число содержится в другом или какую дробь одно число

составляет от другого. Выведенное правило деления на дробь годится и для

случая деления по содержанию. Следует таким же образом показать, что и при

делении на целое число по содержанию можно пользоваться ранее выведенным

правилом. Необходимо обратить внимание учащихся, что при делении на

правильную дробь в частном получается число, большее делимого. Так же как

при умножении, следует рассмотреть на частных примерах возможные случаи

соотношения между частным и делимым и установить, при каком делителе

частное больше делимого, при каком — частное равно делимому, при каком —

частное меньше делимого.

Не следует забывать важного значения упражнений в придумывании учащимися

различных простых задач, которые решались бы умножением на дробь, делением

на дробь. Это является критерием того, образовалось ли в сознании учащихся

новое понятие о действии.

После того как учащиеся основательно поняли и усвоили смысл деления на

дробь, можно дать понятие о числе, обратном данному, и познакомить учащихся

с общим правилом деления, пригодным для всех случаев. Это правило заменяет

деление на дробь умножением на число, обратное делителю, и дает возможность

распространять некоторые свойства произведения на частное; оно является

новым обобщением, полученным благодаря введению дробных чисел.

Необходимо обратить внимание учащихся на рациональные приемы вычислений

с дробями в тех случаях, когда приходится выполнять последовательно

несколько умножений и делений; следует прежде обозначить действия, затем

производить возможные сокращения и только после этого делать вычисление.

Например;

[pic]

Литература

1. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра в 6-8 классах М.:Просвещение/

1988.

2. Калягин Ю.М., Аганясян В.А., Саннинский В.Я., Луканкин Г.Л. Методика

преподавания математики в средней школе. Учебное пособие для студентов

физико ( математических факультетов педагогических институтов. ( М.:

Просвещение, 1975.

3. Ляпина С.Е. Методика преподавания математики в средней школе, 1975г.

4. Рогановский Н. М. Методика преподавания математики в средней школе. (

Мн.: Народная Асвета, 1990.

5. Черкасов Р.С., Столяр А.А. Методика преподавания математики в средней

школе / 1985.

Страницы: 1, 2