Методы обучения математике в 10 -11 класах

раз більше).

Доцільно після цього дати учням побудувати графік деякої функції за

точками., а коли вони його побудують, то показати простіший спосіб побудови

графіка, за допомогою зміщення деякого відомого графіку по осям координат

та стиснення його в [pic] разів.

Так само і для тригонометричних функцій. Тригонометричні функції

викликають в учнів більший інтерес при побудові, особливо при розгляданні

додавання та множення графіків.

§7. АБСТРАКТНО-ДЕДУКТИВНИЙ І КОНКРЕТНО-ІНДУКТИВНИЙ МЕТОДИ

Конкретно-індуктивний метод є природним розширенням і удосконаленням

методу доцільних задач. За словами К.Ф.Лебединцева, цей метод краще

підходить для застосування в шкільному навчанні. Метод чимось нагадує

проблемний виклад - вчитель пропонуючи розв’язати певний приклад, ставить

перед класом невелику проблемну ситуацію, а розв’язуючи цей приклад робить

висновок чи дає означення.

При використанні абстрактно-дедуктивного методу, вчитель повідомляє

тему уроку, дає означення, формулює теореми, а вже після викладу теорії

переходить до практичних завдань. Учні починають розв’язувати приклади,

доводити твердження на основі вивчених означень чи властивостей певних

об’єктів, тим самим засвоюючи новий матеріал.

Розглянемо застосування абстрактно-дедуктивного методу на прикладі

вивчення теми: “Застосування похідної до дослідження функцій”.

Вивчення починається з пригадування геометричного змісту похідної,

лише потім можна перейти до вивчення нової теми.

Геометричний зміст: Похідна функції f(x) в точці х0 дорівнює тангенсу

кута нахилу дотичної до кривої з додатним напрямом осі ОХ у точці з

абсцисою х0.

Тангенс кута нахилу дотичної називають кутовим коефіцієнтом [pic]

Функція може зростати чи спадати на деякому проміжку (можна намалювати

малюнок).

Означення. Функція f(x) – називається зростаючою на проміжку ([pic](,

якщо для довільного x((а; b) , що x1( x2 виконується нерівність

f (x1) ( f (x2).

Означення. Функція f(x) – називається спадною на проміжку ([pic](,

якщо для довільного x((а; b) , що x1( x2 виконується нерівність

f (x1) ( f (x2).

Далі в звичайних класах формулюються ознаки зростання та спадання

функції. При доведенні ознак використовується формула Лагранжа, тому в

класах з поглибленим вивченням математики можна спочатку довести теорему

Лагранжа.

Теорема Лагранжа. Якщо функція f(x) неперервна і диференційовна на (а;

b(, та існує точка с((а, b), то f(а)-f(b)=f /(с)(b-а).

Доведення

Розглянемо функцію f(x) що визначена на проміжку (а, b( та візьмемо (

точку с, що с((а, b).

Дотична до графіка функції f (x) утворює кут ( з додатнім напрямком

осі ОХ.

Кут ( - подібний куту (ВАD.

?ВАD – прямокутний, тому [pic]=tg(()=f /(x).

Так як ВD=f(b)-f(а), а АD=b-а, тому

f /(c)=[pic] - формула Лагранжа.

Далі розглядаються ознаки зростання та спадання функції.

Ознака зростання функції:

Якщо функція f(x) неперервна і диференційовна в кожній точці

інтервалу (x1; x2) і f /(x) ( 0 на цьому інтервалі, то функція зростає.

Ознака спадання функції:

Якщо функція f(x) неперервна і диференційовна в кожній точці

інтервалу (x1; x2) і f /(x) ( 0 на цьому інтервалі, то функція спадає.

Доведення цих ознак можна провести в класах з математичним нахилом.

При доведенні використовується теорема Лагранжа.

Розв’язується приклад.

Приклад.

Як веде себе функція f(x)=x2-8x+12 на проміжках (-(; 4)((4; +().

Дослідження. Знайдемо похідну, критичні точки та дослідимо функцію на

кожному з отриманих проміжків: f /(x)=2x-8; тобто x=4 і це є критична

точка. На проміжку (-(; 4) похідна має від’ємний знак, тому функція

спадає, а на проміжку (4; +() похідна має додатній знак, тому функція на

цьому проміжку зростає.

Ми отримали точку х=4, переходячи через яку похідна змінює знак ,

тобто в цій точці дотична паралельна осі ОХ, а це може бути лише в найвищій

або в найнижчій точці. Таку точку називають точкою екстремуму. Похідна

функції в цій точці дорівнює нулю, тобто кутовий коефіцієнт рівний нулю.

Точки максимумів та мінімумів функції називають – екстремальними

точками.

Означення. Внутрішні точки області визначення функції в яких похідна

рівна нулю або не існує – називаються критичними точками.

Формулюється Н еобхідна умова існування екстремуму функції в точці.

(Терема Ферма)

Якщо функція f(x) - неперервна і диференційовна на (а, b) і в точці

x0 має екстремум, то похідна функції в цій точці рівна нулю.

Переходимо до розв’язування прикладів.

Дослідити на екстремуми функцію:

1. f(x)=2х3-9х2+12х-8.

f /(x)=6х2-18х+12;

f /(x)=0;

6х2-18х+12=0;

х2-3х+12=0;

х1=1; х2=2.

Наносимо критичні точки на координатну вісь і перевіряємо знак на

кожному з отриманих проміжків.

f /(1)= -3; - максимум функції

f /(2)= -4. – мінімум функції.

§8. ПРОГРАМОВАНЕ НАВЧАННЯ

Програмоване навчання використовується дуже часто, особливо цей метод

використовують для написання самостійних робот, контрольних, під час

складання іспитів. Використовують для контролю знань і іноді для проведення

уроків, щоб підвищити увагу та зацікавленість учнів, коли вчитель

спеціально заготовлює програмовані завдання до тієї теми, яку важче

розуміють учні. Таким чином цей метод може покращувати рівень знань учнів.

Розглянемо деякі приклади завдань, що використовуються на вступних

іспитах, на шкільному випускному іспиті, та на контрольних роботах.

Визначити парність (непарність) функції:

1) [pic]

а) парна, б) непарна, в) інша відповідь.

(вірно – парна, бо [pic]- парна функція,[pic]- парна ).

2) [pic]

а) парна, б) непарна, в) інша відповідь.

(вірно – інша відповідь, бо синус непарна функція, а косинус - парна).

Знайти область визначення функції:

1) [pic];

а) [pic], б) [pic], в) інша відповідь.

Розв’язання. ОДЗ: [pic].

[pic],

[pic]. Розглянемо отримані проміжки, і виберемо з них ті, що задовольняють

ОДЗ. Тобто [pic].

(вірно - [pic]).

2) [pic];

а) [pic], б) [pic], в) інша відповідь.

Розв’язання. Підлогарифмічний вираз завжди додатній, а знаменник не

рівний нулю.

[pic] ,

[pic],

[pic]

Нанесемо значення [pic] на числову вісь, і відшукаємо проміжки, які

задовольняють нашим умовам. Нас задовольняють лише значення [pic].

(вірно - [pic]).

Який з даних графіків відповідає функції:

1) [pic] ?

Вірна відповідь б). В цьому прикладі використовується знання формул

зведення, тому учні повинні побачити, згадати і оцінити: чверть – перша,

знак – додатній, функція – змінює назву, тому графіком буде косинус.

2) [pic].

Вірна відповідь – а), бо за властивістю логарифма, підлогарифмічний вираз

не може бути від’ємний, а в б) – ця умова порушується, або видно з запису

функції, що графік повинен бути зсунутий на одиницю вправо по осі ОХ – це

перший графік.

Знайти найменше значення функції:

[pic];

а) 0; б) [pic]; в) інша відповідь.

Розв’язання. Оскільки функція [pic] приймає найменше значення [pic], то

загальне значення даної функції буде [pic], тобто варіант відповіді – інша

відповідь.

Знайти найбільше значення функції:

[pic];

а) –2; б) 2; в) інша відповідь.

Розв’язання. Найбільше значення самої функції [pic] це 1, а тому

враховуючи множник перед функцією, він від’ємний, виходить, що найбільше

значення буде при найменшому значенні [pic], тобто максимум дорівнює 2.

Знайти область значень функції:

[pic];

а) [pic]; б) [pic]; в) інша відповідь.

Розв’язання. Оскільки функція [pic] має значення, що містяться в проміжку

(-1;1( , то враховуючи множник [pic] це буде проміжок [pic], та ще всі

значення будуть збільшені на 1, тобто в кінцевому результаті отримаємо

проміжок [pic] - вірна відповідь а).

Висновки

В дипломній роботі було розглянуто методи навчання математики

викладені у підручнику Методика навчання математики З.І.Слєпкань. А саме:

пояснювально-ілюстративний, репродуктивний, проблемний виклад, частково-

пошуковий, дослідницький, метод доцільних задач, абстрактно-дедуктивний і

конкретно-індуктивний, програмоване навчання. Деякі з цих методів доцільно

було б використати в молодших класах, інші в старших, деякі краще

використовуються в дослідах чи експериментальних науках.

В першому розділі було розкрито зміст кожного з методів навчання

математики. Були розглянуті лише найпоширеніші методи навчання. Було

розглянуто програмоване навчання, що відноситься до самостійної роботи

учнів, але теж є методом закріплення математичних знань.

В другому розділі розглянуто та пояснено використання методів навчання

для пояснення та закріплення нового матеріалу в 10-11 класах при вивченні

тем змістових ліній курсу “Елементарні функції”, “Похідна та її

застосування”. Кожен з методів навчання ілюструється відповідним практичним

викладом частини уроку на конкретну тему.

Додаток

Розробка уроку на тему: “Застосування похідної до дослідження функцій”

Вивчення починається з пригадування геометричного змісту похідної,

лише потім можна перейти до вивчення нової теми.

Учень:

Геометричний зміст: Похідна функції f(x) в точці х0 дорівнює тангенсу

кута нахилу дотичної до кривої з додатним напрямом осі ОХ у точці з

абсцисою х0.

Тангенс кута нахилу дотичної називають кутовим коефіцієнтом [pic]

Функція може зростати або спадати на деякому проміжку (можна

намалювати малюнок).

Вчитель:

Означення. Функція f(x) – називається зростаючою на проміжку ([pic](,

якщо для довільного x((а; b) , що x1( x2 виконується нерівність

f (x1) ( f (x2).

Означення. Функція f(x) – називається спадною на проміжку ([pic](,

якщо для довільного x((а; b) , що x1( x2 виконується нерівність

f (x1) ( f (x2).

Далі в звичайних класах формулюються ознаки зростання та спадання

функції. При доведенні ознак використовується формула Лагранжа, тому в

класах з поглибленим вивченням математики можна спочатку довести теорему

Лагранжа.

Теорема Лагранжа. Якщо функція f(x) неперервна і диференційовна на (а;

b(, та існує точка с((а, b), то f(а)-f(b)=f /(с)(b-а).

Доведення

Розглянемо функцію f(x) що визначена на проміжку (а, b( та візьмемо (

точку с, що с((а, b).

Дотична до графіка функції f (x) утворює кут ( з додатнім напрямком

осі ОХ.

Кут ( - подібний куту (ВАD.

?ВАD – прямокутний, тому [pic]=tg(()=f /(x).

Так як ВD=f(b)-f(а), а АD=b-а, тому

f /(c)=[pic] - отримали формулу Лагранжа.

Вчитель: Яким же чином за заданою функцією ми можемо визначити зростає

вона чи спадає в даному інтервалі? Розглянемо ознаки зростання та спадання

функції.

Ознака зростання функції:

Якщо функція f(x) неперервна і диференційовна в кожній точці

інтервалу (x1; x2) і f /(x) ( 0 на цьому інтервалі, то функція зростає ні

цьому інтервалі.

Ознака спадання функції:

Якщо функція f(x) неперервна і диференційовна в кожній точці

інтервалу (x1; x2) і f /(x) ( 0 на цьому інтервалі, то функція спадає на

цьому інтервалі.

(Доведення цих ознак можна провести в класах з математичним нахилом.

При доведенні використовується теорема Лагранжа)

Вчитель: Для закріплення розв’яжемо приклад.

Приклад.

Як веде себе функція f(x)=x2-8x+12 на проміжках (-(; 4)((4; +().

Дослідження. Знайдемо похідну, критичні точки та дослідимо функцію на

кожному з отриманих проміжків: f /(x)=2x-8; тобто x=4 і це є критична

точка. На проміжку (-(; 4) похідна має від’ємний знак, тому функція

спадає, а на проміжку (4; +() похідна має додатній знак, тому функція на

цьому проміжку зростає.

Ми отримали точку х=4, переходячи через яку похідна змінює знак ,

тобто в цій точці дотична паралельна осі ОХ, а це може бути лише в найвищій

або в найнижчій точці. Таку точку називають точкою екстремуму. Похідна

функції в цій точці дорівнює нулю, тобто кутовий коефіцієнт рівний нулю.

Точки максимумів та мінімумів функції називають – екстремальними

точками.

Означення. Внутрішні точки області визначення функції в яких похідна

рівна нулю або не існує – називаються критичними точками.

Вчитель: Виникає питання, а що необхідно для того, щоб існував

екстремум функції в даній точці ?

Вчитель: Сформулюємо та доведемо Необхідну умову існування екстремуму

функції в точці. (Терема Ферма)

Якщо функція f(x) - неперервна і диференційовна на (а, b) і в точці

x0 ((а, b) має екстремум, то похідна функції в цій точці рівна нулю

f /(x)=0 .

Доведення

Так як функція диференційовна в кожній точці (а, b), то на цьому

інтервалі існує похідна. Якщо на (а, х0) похідна f /(x)( 0 – функція

зростає, а на (х0, b) похідна f /(x)( 0 – функція спадає (або на (а, х0) –

функція f(x) спадає, а на (х0, b) – функція f(x) зростає), значить в точці

х0 – функція має конкретне значення максимуму або мінімуму, тому похідна

рівна нулю f /(x) = 0.

Вчитель: Переходимо до розв’язування прикладів.

Дослідити на екстремуми функцію:

f(x)=2х3-9х2+12х-8.

Знайдемо похідну функції:

f /(x)=6х2-18х+12;

f /(x)=0;

Відшукаємо критичні точки:

6х2-18х+12=0;

х2-3х+12=0;

Критичні точки:

х1=1; х2=2.

Наносимо критичні точки на координатну вісь і перевіряємо знак на

кожному з отриманих проміжків.

f /(1)= -3; - максимум функції

f /(2)= -4. – мінімум функції.

Тепер викликаю учня до дошки.

Дослідити на екстремуми функцію: f(x)=х2+2х-2.

Учень:

Знайдемо похідну функції: [pic].

Прирівняємо до нуля і відшукаємо критичні точки:

[pic];

[pic] - критична точка.

Нанесемо точку на координатну вісь і перевіримо знаки на отриманих

інтервалах [pic] та [pic]. На інтервалі[pic] похідна приймає від’ємні

значення, а на інтервалі [pic] - додатні, тобто точка [pic] - є точкою

мінімуму. І значення функції в ній дорівнює [pic].

Даємо домашнє завдання.

Знайти проміжки зростання і спадання наступних функцій

1. f (х) = 2х3-9х2+12х-15,

2. [pic],

3. [pic],

4. [pic],

5. [pic].

При поясненні даної теми на уроці використовувався цілий ряд методів

навчання: основними методами пояснення нового матеріалу на уроці були

пояснювально-ілюстративний (коли необхідно було графічно пояснювати процеси

спадання і зростання функцій) і абстрактно-дедуктивний метод (доведення

ознак і теорем). Також використовувався репродуктивний метод (учням

пропонують доводити певні ознаки або теореми самостійно). Для кращого та

дохідливого пояснення нового матеріалу на уроках краще використовувати

декілька методів, це сприяє не просто розумінню матеріала, а і кращому

запам’ятовуванню за рахунок активізації декількох аналізаторів: слуху, зору

та підтримання постійного контакту з учнями під час уроку.

ЛІТЕРАТУРА

1. Махмутов М. Й. Проблемноє обучение. -М.: Педагогика, 1975. – 240 с.

2. Методи обучения математике / Под ред. А. А. Столяра. –Минск.: Висш.

шк.,1981. – 398 с.

3. Г.П.Бевз. Методика викладання математики. 3-видання. -К.: Вища школа,

1989. – 352 с.

4. Н.В.Богомолов. Практические занятия по математике. – 3- е издание. -М.:

Высшая школа , 1990. –495 с.

5. Методика викладання математики в середній школі: (Навч. посібник для

пед. інститутів за спец. 2104 “Математика” і 2105 “Фізика”: Пер. з рос.

/О.Я.Блох, Є.С.Канін, Н.Г.Килина та ін.(; Упоряд. Р.С.Черкасов,

А.А.Столяр. – Х.: Видавництво “Основа”. 1992. – 304 с.

6. Г.М.Литвиненко, Л.Я.Федченко, В.О.Швець. Збірник задач для екзамену з

математики на атестат про середню освіту: Частина І. –Львів.: ВНТЛ, 1997.-

93 с.

7. З.І.Слєпкань. Методика навчання математики: Підруч. для студ. мат.

Спеціальностей пед. навч. Закладів.-Київ.: Зодіак-ЕКО, 2000.-512 с.

8. Л.О.Соколенко. Прикладна спрямованість шкільного курсу алгебри і

початків аналізу: Навчальний посібник. -Чернігів: Сіверянська думка,

2002.- 128 с.

9. М.И.Каченовский. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа:

Учебник. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.– 464 с.

10. М.І.Шкіль, З.І.Слепкань, О.С.Дубинчук. Алгебра і початки аналізу

10-11 кл. – Київ.: Зодіак-ЕКО, 1998. – 608 с.

11. Колягин Ю.М. и др.. Методика преподавания математики в средней школе:

Общая методика / Колягин Ю.М., Оганесян В.А.,

Саннинский В.Я., Луканкин Г.Л. М.: Просвещение, 1975. – 320 с.

12. Репьев В.В. Общая методика преподавания математики. М.: УПГ, 1958. –

306 с.

13. Лоповок Л.М. Збірник задач для 9-10 класів.: Дидактичні матеріали для

вчителів. – К.: Рад. шк., 1984. – 120 с.

14. Дубинчук О.С., Слепкань З.И. Преподавание математики в средних ПТУ (1-й

год обучения). – К.: Вища школа. Голов. изд-во, 1985.

– 112с.

15. Алгебра і початки аналізу. Підручник для 10-11 класів серед. шк./

А.М.Колмогоров, О.М.Абрамов, Ю.П.Дудніцин та ін.; за ред.

А.М.Колмогорова. – К.: Освіта, 1992. – 350 с.

16. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк.

– 2-е изд. – М.: Просвещение, 1992. – 350 с.

17. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн.

для учителя. – М.: Просвещение, 1990. – 228 с.

-----------------------

Мал. 10

О а [pic]b

[pic]

y=x3

y=x4

[pic]

y =f(x)

О а [pic]b

[pic]

y =f(x)

[pic]

Мал. 7

y=x3

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

[pic]=[pic]

[pic]

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

[pic]

Мал. 11

[pic]

Мал. 13

[pic]

Мал. 12

(

S(t)

-1

[pic]

Мал. 15

[pic]

[pic], [pic], [pic].

Мал. 19

Мал. 20

[pic]

0 х1 х2 Х

F(x1)

F(x2)

F(x1)

0 х1 х2 Х

а b

0 а с b Х

- +

4 х

+ – +

1 2 х

max min

+ – +

1 2 х

max min

- +

4 х

(

Мал. 2

(

У С

0 а с b Х

а b

F(x2)

F(x1)

0 х1 х2 Х

F(x1)

F(x2)

0 х1 х2 Х

Мал. 1

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

??????????

Страницы: 1, 2

МЕНЮ

Методы обучения математике в 10 -11 класах

ИНТЕРЕСНОЕ