| |||||
МЕНЮ
| Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических гипотезОпределение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических гипотезСамарский государственный аэрокосмический университет им. академика С.П. Королева Кафедра прикладной математики Расчетно-графическая работ по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» Тема работы: «Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических гипотез» Вариант № 15 Выполнил студент группы № 625 Евгений В. Репекто Самара - 2002 Задание на расчетно-графическую работу Дан протокол содержащий 120 пронумерованных значений: |№ | |№ | |№ | |№ | | |1 |4 |31 |10 |61 |20 |91 |44 | |2 |19 |32 |25 |62 |16 |92 |12 | |3 |25 |33 |38 |63 |15 |93 |16 | |4 |-4 |34 |1 |64 |32 |94 |9 | |5 |58 |35 |19 |65 |52 |95 |12 | |6 |34 |36 |55 |66 |-5 |96 |40 | |7 |32 |37 |9 |67 |21 |97 |17 | |8 |36 |38 |11 |68 |30 |98 |10 | |9 |37 |39 |6 |69 |27 |99 |31 | |10 |4 |40 |31 |70 |12 |100 |49 | |11 |24 |41 |17 |71 |19 |101 |25 | |12 |3 |42 |-6 |72 |1 |102 |33 | |13 |48 |43 |14 |73 |23 |103 |26 | |14 |36 |44 |9 |74 |7 |104 |19 | |15 |27 |45 |13 |75 |4 |105 |25 | |16 |20 |46 |25 |76 |16 |106 |34 | |17 |1 |47 |11 |77 |38 |107 |10 | |18 |39 |48 |18 |78 |40 |108 |24 | |19 |11 |49 |2 |79 |30 |109 |2 | |20 |16 |50 |29 |80 |14 |110 |38 | |21 |49 |51 |20 |81 |51 |111 |30 | |22 |25 |52 |48 |82 |17 |112 |10 | |23 |26 |53 |16 |83 |25 |113 |39 | |24 |30 |54 |29 |84 |34 |114 |1 | |25 |19 |55 |12 |85 |23 |115 |40 | |26 |32 |56 |-3 |86 |20 |116 |7 | |27 |3 |57 |16 |87 |9 |117 |26 | |28 |40 |58 |41 |88 |29 |118 |36 | |29 |45 |59 |19 |89 |18 |119 |22 | |30 |35 |60 |0 |90 |46 |120 |28 | Все эти протокольные значения считаются значениями выборки [pic] некоторой случайной величины [pic], а 60 из них, имеющие нечетные номера – значениями выборки [pic] другой случайной величины [pic] Требуется: 1. Построить вариационные ряды для случайных величин [pic] и [pic]. 2. Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных величин [pic] и [pic]. Образец заполнения таблицы для статистического ряда. |№ |Границы |Середина |Количество |Частота для | |пр-ка|промежутка |промежутка |элементов выборки|промежутка | | |[pic] |[pic] |в промежутке |[pic] | | | | |[pic] | | |1 |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |2 | | | | | |… |… |… |… |… | |[pic]|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | 3. Построить гистограммы распределения случайных величин [pic] и [pic]. 4. Найти выборочное среднее [pic], [pic] и исправленные выборочные дисперсии: [pic], [pic] случайных величин [pic] и [pic]. 5. Проверить, используя метод [pic] гипотезу о нормальном распределении, каждой из случайных величин [pic] и [pic] при уровне значимости [pic]. 6. Построить график функции плотности распределения [pic] случайной величины [pic] в одной системе координат с гистограммой.([pic] взяв в качестве математического ожидания их статистические оценки [pic] и [pic]) и вычислив значение функции [pic] в точках: [pic], [pic], а также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки. 7. Выполнить задание 6 для случайной величины [pic]. 8. Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий случайных величин [pic] и [pic], соответствующие доверительной вероятности [pic]. 9. Проверить статистическую гипотезу [pic] при альтернативной гипотезе [pic] на уровне значимости [pic]. 10. Проверить статистическую гипотезу [pic] при альтернативной гипотезе [pic] на уровне значимости [pic]. Решение 1. Построить вариационные ряды для случайных величин [pic] и [pic]. Вариационный ряд величины [pic] |-6 |12 |22 |33 | |-5 |12 |23 |34 | |-4 |12 |23 |34 | |-3 |12 |24 |34 | |0 |13 |24 |35 | |1 |14 |25 |36 | |1 |14 |25 |36 | |1 |15 |25 |36 | |1 |16 |25 |37 | |2 |16 |25 |38 | |2 |16 |25 |38 | |3 |16 |25 |38 | |3 |16 |26 |39 | |4 |16 |26 |39 | |4 |17 |26 |40 | |4 |17 |27 |40 | |6 |17 |27 |40 | |7 |18 |28 |40 | |7 |18 |29 |41 | |9 |19 |29 |44 | |9 |19 |29 |45 | |9 |19 |30 |46 | |9 |19 |30 |48 | |10 |19 |30 |48 | |10 |19 |30 |49 | |10 |20 |31 |49 | |10 |20 |31 |51 | |11 |20 |32 |52 | |11 |20 |32 |55 | |11 |21 |32 |58 | Вариационный ряд величины [pic] |1 |21 | |2 |22 | |2 |23 | |3 |23 | |4 |24 | |4 |25 | |6 |25 | |9 |25 | |9 |25 | |10 |26 | |10 |26 | |11 |26 | |11 |27 | |12 |27 | |12 |30 | |13 |30 | |14 |31 | |15 |32 | |16 |37 | |16 |38 | |16 |38 | |17 |39 | |17 |40 | |18 |44 | |19 |45 | |19 |48 | |19 |49 | |19 |51 | |20 |52 | |20 |58 | 2. Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных величин [pic] и [pic]. Найдем количество элементов выборок после группировки элементов Величина [pic]: [pic] Величина [pic]: [pic] Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной величины [pic] |№ |Границы |Середина |Количество |Частота для | |пр-ка|промежутка |промежутка |элементов выборки|промежутка | | |[pic] |[pic] |в промежутке |[pic] | | | | |[pic] | | |1 |-8 ; 0 |-4 |4 |0.0333 | |2 |-0 ; 8 |4 |15 |0.1250 | |3 |8 ; 16 |12 |19 |0.1583 | |4 |16 ; 24 |20 |25 |0.2083 | |5 |24 ; 32 |28 |24 |0.2000 | |6 |32 ; 40 |36 |17 |0.1417 | |7 |40 ; 48 |44 |8 |0.0667 | |8 |48 ; 56 |52 |8 |0.0667 | Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной величины [pic] |№ |Границы |Середина |Количество |Частота для | |пр-ка|промежутка |промежутка |элементов выборки|промежутка | | |[pic] |[pic] |в промежутке |[pic] | | | | |[pic] | | |1 |0; 9 |4,5 |7 |0.1167 | |2 |9 ; 18 |13,5 |16 |0.2667 | |3 |18 ; 27 |22,5 |19 |0.3167 | |4 |27 ; 36 |31,5 |6 |0.1000 | |5 |36 ; 45 |40,5 |6 |0.1000 | |6 |45 ; 54 |49,5 |5 |0.0833 | |7 |54 ; 63 |58,5 |1 |0.0167 | 3. Построить гистограммы распределения случайных величин [pic] и [pic]. Гистограммы распределения приведены на графиках с теоретическими функциями распределения. 4. Найти выборочное среднее [pic], [pic] и исправленные выборочные среднеквадратические отклонения: [pic], [pic] случайных величин [pic] и [pic]. Выборочное среднее [pic] случайной величины [pic] равно [pic] Выборочное среднее[pic] случайно величины [pic] равно [pic] Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение [pic] случайной величины [pic]: [pic]=14.3632 Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение [pic] случайной величины [pic]: [pic]=13.5727 5. Проверить, используя метод [pic] гипотезу о нормальном распределении, каждой из случайных величин [pic] и [pic] при уровне значимости [pic]. Проверим гипотезу о нормальном распределении случайной величины [pic]. Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические частоты по формуле [pic], где [pic] - объем выборки, [pic] - шаг (разность между двумя соседними вариантами, [pic], [pic] Построим вспомогательную таблицу: |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |1 |4 |-1.9169 | 4.2461 |0.0606 |0.014 | |2 |15 |-1.3600 |10.5760 |19.572 |1.850 | |3 |19 |-0.8030 |19.3161 |0.0999 |0.005 | |4 |25 |-0.2460 |25.8695 |0.7561 |0.0292 | |5 |24 |0.3110 |25.4056 |1.9757 |0.0778 | |6 |17 |0.8680 |18.2954 |1.6780 |0.0917 | |7 |8 |1.4249 |9.6610 |2.7590 |0.2856 | |8 |8 |1.9819 |3.7409 |18.139 |4.8491 | В итоге получим [pic]= 7,2035 По таблице критических точек распределения [pic] ([1], стр. 465), по уровню значимости [pic]=0,05 и числу степеней свободы 8-3=5 находим [pic] Т.к. [pic], экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины [pic]. Для случайной величины [pic]: Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические частоты по формуле [pic], где [pic] - объем выборки, [pic] - шаг (разность между двумя соседними вариантами, [pic], [pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |1 |7 |-1.4036 |5.9274 |1.1504 |0.1941 | |2 |16 |-0.7405 |12.0665 |15.4725 |1.2823 | |3 |19 |-0.0774 |15.8248 |10.0820 |0.6371 | |4 |6 |0.5857 |13.3702 |54.3197 |4.0627 | |5 |6 |1.2488 |7.2775 |1.6319 |0.2242 | |6 |5 |1.9119 |2.5519 |5.9932 |2.3485 | |7 |1 |2.5750 |0.5765 |0.1794 |0.3111 | В итоге получим [pic]= 8.1783 По таблице критических точек распределения [pic] ([1], стр. 465), по уровню значимости [pic]=0,05 и числу степеней свободы 7 - 3=4 находим [pic] Т.к. [pic], экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины [pic]. 6. Построить график функции плотности распределения [pic] случайной величины [pic] в одной системе координат с гистограммой.([pic] взяв в качестве математического ожидания и дисперсии их статистические оценки [pic] и [pic]) и вычислив значение функции [pic] в точках: [pic], [pic], а также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки. 7. Выполнить задание 6 для случайной величины [pic]. 8. Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий случайных величин [pic] и [pic], соответствующие доверительной вероятности [pic]. Найдем доверительный интервал для математического ожидания [pic]: Рассмотрим статистику [pic], имеющую распределение Стъюдента с [pic] степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится неравенством [pic]. И доверительный интервал для [pic] выглядит следующим образом: [pic] Найдем [pic]по таблицам ([2], стр. 391). По [pic]=0,95 и [pic]=120 находим: [pic]=1,980. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид: [pic] То есть: (20,93721;26,12946). Найдем доверительный интервал для математического ожидания [pic]: Рассмотрим статистику [pic], имеющую распределение Стъюдента с [pic] степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится неравенством [pic]. И доверительный интервал для [pic] выглядит следующим образом: [pic] Найдем [pic]по таблицам ([2], стр. 391). По [pic]=0,95 и [pic]=60 находим: [pic]=2,001. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид: [pic] То есть: (20,043;27,056). Известно, что если математическое ожидание неизвестно, то доверительный интервал для дисперсии при доверительной вероятности [pic] имеет вид [pic] Для случайной величины [pic] найдем: [pic]. [pic] [pic] Таким образом, имеем доверительный интервал: [pic] (162,8696; 273,8515). Для случайной величины [pic] найдем [pic] [pic] [pic] Таким образом, имеем доверительный интервал: [pic](134,82; 277,8554). (Квантили распределения [pic] найдены по таблице [3], стр. 413). 9. Проверить статистическую гипотезу [pic] при альтернативной гипотезе [pic] на уровне значимости [pic]. Рассмотрим статистику [pic], где [pic], которая имеет распределение Стъюдента [pic], Тогда область принятия гипотезы [pic].[pic] Найдем s: [pic] Найдем значение статистики [pic]: [pic] По таблице квантилей распределения Стъюдента ([2], стр. 391) [pic] Т. к. [pic], то гипотеза [pic] принимается. Предположение о равенстве математических ожиданий [pic] не противоречит результатам наблюдений. 10. Проверить статистическую гипотезу [pic] при альтернативной гипотезе [pic] на уровне значимости[pic]. Рассмотрим статистику [pic], где [pic], [pic]т.к. [pic]. Эта статистика имеет распределение Фишера [pic]. Область принятия гипотезы [pic] [pic] Найдем значение статистики [pic]: [pic] По таблицам найдем [pic]. Т.к. [pic], то гипотеза [pic] принимается. Предположение [pic] не противоречит результатам наблюдений. Библиографический список 1. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для втузов / Под. ред. А.В. Ефимова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. , 1990. – 428 с. 2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 4- е, стер. М.: Высш. Шк., 1997. – 400 с.: ил. 3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е, перераб. и доп. М., «Высш. школа», 1977. 4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: 1969, 576 с. ----------------------- 5. [pic] [pic] |
ИНТЕРЕСНОЕ | |||
|