| |||||
МЕНЮ
| Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализуОсновные определения и теоремы к зачету по функциональному анализуОпределение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие, плотное в E. (( (x(E (u: |x-u|1-( Определение: Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться. Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве. Определение: Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением. Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства. Определение: L плотное в E, если (x(E (u(L: |x-u|0 (x(X |Ax|?m|x| Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:X(Y – линейный ограниченный функционал ( (! y(H (x(H f(x)=(x,y) Определение: M(X называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность. Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность. Теорема: Хаусдорфа. M(X компактно ( ((>0 ( конечная (-сеть Теорема: Арцела. M(C[a,b] компактно ( все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y. Определение: ((X,Y) – подпространство компактных операторов Теорема: Шаудера. A(((X,Y) ( A*(((X*,Y*) Линейные нормированные пространства Пространства векторов [pic] [pic] сферическая норма [pic] [pic] кубическая норма [pic] [pic] ромбическая норма [pic] [pic] p>1 Пространства последовательностей [pic] [pic] [pic] [pic] p>1 [pic] или [pic] пространство ограниченных последовательностей [pic] [pic] пространство последовательностей, сходящихся к нулю [pic] [pic] пространство сходящихся последовательностей [pic] Пространства функций [pic] пространство непрерывных на [pic] функций [pic] [pic] пространство k раз непрерывно дифференцируемых на [pic] функций [pic] Јp[a,b] пространство функций, интегрируемых в степени p (не Гильбертово) [pic] - пополнение Јp[a,b] (Гильбертово) [pic] [pic] Неравенство Гёльдера [pic][pic] p,q>0 Неравенство Минковского [pic] |
ИНТЕРЕСНОЕ | |||
|