Основы теории систем и системный анализ

наступления нескольких событий или, короче, — совмещения событий.

Рассмотрим простейший пример двух событий X и Y, вероятности которых

составляют P(X) и P(Y). Здесь важен лишь один вопрос — это события

независимые или, наоборот взаимозависимые и тогда какова мера связи между

ними? Попробуем разобраться в этом вопросе на основании здравого смысла.

Оценим вначале вероятность одновременного наступления двух независимых

событий. Элементарные рассуждения приведут нас к выводу: если события

независимы, то при 80%-й вероятности X и 20%-й вероятности Y одновременное

их наступление имеет вероятность всего лишь 0.8 ( 0.2 = 0.16 или 16%

.

Итак — вероятность наступления двух независимых событий определяется

произведением их вероятностей:

P(XY) = P(X) [pic]P(Y).

{2 - 7}

Перейдем теперь к событиям зависимым. Будем называть вероятность

события X при условии, что событие Y уже произошло условной вероятностью

P(X/Y), считая при этом P(X) безусловной или полной вероятностью. Столь же

простые рассуждения приводят к так называемой формуле Байеса

P(X/Y)[pic]P(Y) = P(Y/X)[pic]P(X)

{2 - 8}

где слева и справа записано одно и то же — вероятности одновременного

наступления двух "зависимых" или коррелированных событий.

Дополним эту формулу общим выражением безусловной вероятности события

X:

P(X) = P(X/Y)[pic]P(Y) + P(X/Y)[pic]P(Y),

{2 - 9}

означающей, что данное событие X может произойти либо после того как

событие Y произошло, либо после того, как оно не произошло (Y) — третьего

не дано!

Формулы Байеса или т. н. байесовский подход к оценке вероятностных

связей для простых событий и дискретно распределенных СВ играют решающую

роль в теории принятия решений в условиях неопределенности последствий этих

решений или в условиях противо-действия со стороны природы, или других

больших систем (конкуренции). В этих условиях ключевой является стратегия

управления, основанная на прогнозе т. н. апостериорной (послеопытной)

вероятности события

P(X/Y) [pic][pic].

{2 - 10}

Прежде всего, еще раз отметим взаимную связь событий X и Y — если

одно не зависит от другого, то данная формула обращается в тривиальное

тождество. Кстати, это обстоятельство используется при решении задач

оценки тесноты связей — корреляционном анализе. Если же взаимосвязь

событий имеет место, то формула Байеса позволяет вести управление путем

оценки вероятности достижения некоторой цели на основе наблюдений над

процессом функционирования системы — путем перерасчета вариантов

стратегий с учетом изменившихся представлений, т. е. новых значений

вероятностей.

Дело в том, что любая стратегия управления будет строиться на базе

определенных представлений о вероятности событий в системе — и на первых

шагах эти вероятности будут взяты "из головы" или в лучшем случае из опыта

управления другими системами. Но по мере "жизни" системы нельзя упускать

из виду возможность "коррекции" управления - использования всего

накапливаемого опыта.

3 Схемы случайных событий и законы распределений случайных величин

Большую роль в теории и практике системного анализа играют некоторые

стандартные распределения непрерывных и дискретных СВ.

Эти распределения иногда называют "теоретическими", поскольку для них

разработаны методы расчета всех показателей распределения, зафиксированы

связи между ними, построены алгоритмы расчета и т. п.

Таких, классических законов распределений достаточно много, хотя

"штат" их за последние 30..50 лет практически не пополнился. Необходимость

знакомства с этими распределениями для специалистов вашего профиля

объясняется тем, что все они соответствуют некоторым "теоретическим"

схемам случайных (большей частью — элементарных) событий.

Как уже отмечалось, наличие больших массивов взаимосвязанных событий и

обилие случайных величин в системах экономики приводит к трудностям

априорной оценки законов распределений этих событий или величин. Пусть,

к примеру, мы каким-то образом установили математическое ожидание

спроса некоторого товара. Но этого мало - надо хотя бы оценить степень

колебания этого спроса, ответить на вопрос — а какова вероятность того,

что он будет лежать в таких-то пределах? Вот если бы установить факт

принадлежности данной случайной величины к такому классическому

распределению как т. н. нормальное, то тогда задача оценки диапазона,

доверия к нему (доверительных интервалов) была бы решена безо всяких

проблем.

Доказано, например, что с вероятностью более 95% случайная величина

X с нормальным законом распределения лежит в диапазоне — математическое

ожидание Mx плюс/минус три среднеквадратичных отклонения SX.

Так вот — все дело в том к какой из схем случайных событий

классического образца ближе всего схема функционирования элементов

вашей большой системы. Простой пример - надо оценить показатели оплаты за

услуги предоставления времени на междугородние переговоры - например, найти

вероятность того, что за 1 минуту осуществляется ровно N переговоров,

если заранее известно среднее число поступающих в минуту заказов.

Оказывается, что схема таких случайных событий прекрасно укладывается в т.

н. распределение Пуассона для дискретных случайных величин. Этому

распределению подчинены почти все дискретные величины, связанные с так

называемыми "редкими" событиями.

Далеко не всегда математическая оболочка классического закона

распределения достаточно проста. Напротив — чаще всего это сложный

математический аппарат со своими, специфическими приемами. Но дело не в

этом, тем более при "повальной" компьютеризации всех областей деятельности

человека. Разумеется, нет необходимости знать в деталях свойства всех

или хоть какой-то части классических распределений - достаточно иметь в

виду саму возможность воспользоваться ими.

Из личного опыта - очень давно, в до_компьютерную эру автору этих строк

удалось предложить метод оценки степени надежности энергоснабжения, найти

по сути дела игровой метод принятия решения о необходимости затрат на

резервирование линий электропередач в условиях неопределенности — игры с

природой.

Таким образом, при системном подходе к решению той или иной задачи

управления (в том числе и экономического) надо очень взвешено отнестись

к выбору элементов системы или отдельных системных операций. Не всегда

"укрупнение показателей" обеспечит логическую стройность структуры системы

— надо понимать, что заметить близость схемы событий в данной системе к

схеме классической чаще всего удается на самом "элементарном" уровне

системного анализа.

Завершая вопрос о распределении случайных величин обратим внимание на

еще одно важное обстоятельство: даже если нам достаточно одного

единственного показателя — математического ожидания данной случайной

величины, то и в этом случае возникает вопрос о надежности данных об этом

показателя.

В самом деле, пусть нам дано т. н. выборочное распределение случайной

величины X (например — ежедневной выручки в $) в виде 100 наблюдений за

этой величиной. Пусть мы рассчитали среднее Mx и оно составило $125 при

колебаниях от $50 до $200. Попутно мы нашли SX, равное $5. Теперь уместен

вопрос: а насколько правдоподобным будет утверждение о том, что в

последующие дни выручка составит точно $125? Или будет лежать в

интервале $120..$130? Или окажется более некоторой суммы — например,

$90?

Вопросы такого типа чрезвычайно остры - если это всего лишь элемент

некоторой экономической системы (один из многих), то выводы на финише

системного анализа, их достоверность, конечно же, зависят от ответов на

такие вопросы.

Что же говорит теория, отвечая на эти вопросы? С одной стороны очень

много, но в некоторых случаях — почти ничего. Так, если у вас есть

уверенность в том, что "теоретическое" распределение данной случайной

величины относится к некоторому классическому (т. е. полностью описанному

в теории) типу, то можно получить достаточно много полезного.

( С помощью теории можно найти доверительные интервалы для данной

случайной величины. Если, например, уже доказано (точнее — принята

гипотеза) о нормальном распределении, то зная среднеквадратичное

отклонение можно с уверенностью в 5% считать, что окажется вне

диапазона (Mx - 3[pic]Sx)......(Mx [pic] 3[pic]Sx) или в нашем примере

выручка с вероятностью 0.05 будет $140. Надо смириться со

своеобразностью теоретического вывода — утверждается не тот факт, что

выручка составит от 90 до 140 (с вероятностью 95%), а только то, что

сказано выше.

( Если у нас нет теоретических оснований принять какое либо

классическое распределение в качестве подходящего для нашей СВ, то и здесь

теория окажет нам услугу — позволит проверить гипотезу о таком

распределении на основании имеющихся у нас данных. Правда -

исчерпывающего ответа "Да" или "Нет" ждать нечего. Можно лишь получить

вероятность ошибиться, отбросив верную гипотезу (ошибка 1 рода) или

вероятность ошибиться приняв ложную (ошибка 2 рода).

( Даже такие "обтекаемые" теоретические выводы в сильной степени

зависят от объема выборки (количества наблюдений), а также от "чистоты

эксперимента" — условий его проведения.

4 Методы непараметрической статистики

Использование классических распределений случайных величин обычно

называют "параметрической статистикой" - мы делаем предположение о том,

что интересующая нас СВ (дискретная или непрерывная) имеет вероятности,

вычисляемые по некоторым формулам или алгоритмам. Однако не всегда у нас

имеются основания для этого. Причин тому чаще всего две:

( некоторые случайные величины просто не имеют количественного

описания, обоснованных единиц измерения (уровень знаний, качество

продукции и т. п.);

( наблюдения над величинами возможны, но их количество слишком мало

для проверки предположения (гипотезы) о типе распределения.

В настоящее время в прикладной статистике все большей популярностью

пользуются методы т. н. непараметрической статистики — когда вопрос о

принадлежности распределения вероятностей данной величины к тому или

иному классу вообще не подымается, но конечно же — задача оценки самой

СВ, получения информации о ней, остается.

Одним из основных понятий непараметрической статистики является понятие

ШКАЛЫ или процедуры шкалирования значений СВ. По своему смыслу процедура

шкалирования суть решение вопроса о "единицах измерения" СВ. Принято

использовать четыре вида шкал.

Nom. Первой из них рассмотрим НОМИНАЛЬНУЮ шкалу — применяемую к тем

величинам, которые не имеют природной единицы измерения. Если некоторая

величина может принимать на своей номинальной шкале значения X, Y или Z, то

справедливыми считаются только выражения типа: (X#Y), (X#Z), (X=Z), а

выражения типа (X>Y), (X или | | | | | | |Сумма |

|Эксперты |1 |2 |3 |4 |5 |6 | |

| A | | | | | | | 21 |

| |5 |4 |1 |6 |3 |2 | |

| B | | | | | | |21 |

| |2 |3 |1 |5 |6 |4 | |

| C | | | | | | | 21 |

| |4 |1 |6 |3 |2 |5 | |

| D | | | | | | |21 |

| |4 |3 |2 |3 |2 |5 | |

| Сумма рангов| | 11| 10 |19 |12 | 17 |84 |

| |15 | |1 |6 |3 |5 | |

|Сум. ранг |4 |2 | | | | | |

| Отклонение | | | | | |+3 | 0 |

|суммы |+1 |-3 |-4 |+5 |-2 |9 |64 |

|от среднего |1 |9 |16 |25 |4 | | |

Заметим, что полная сумма рангов составляет 84, что дает в среднем по

14 на фактор.

Для общего случая n факторов и m экспертов среднее значение суммы

рангов для любого фактора определится выражением

( [pic] [pic]

{3 - 10}

Теперь можно оценить степень согласованности мнений экспертов по

отношению к шести факторам. Для каждого из факторов наблюдается отклонение

суммы рангов, указанных экспертами, от среднего значения такой суммы.

Поскольку сумма этих отклонений всегда равна нулю, для их усреднения

разумно использовать квадраты значений.

В нашем случае сумма таких квадратов составит S= 64, а в общем случае

эта сумма будет наибольшей только при полном совпадении мнений всех

экспертов по отношению ко всем факторам:

Smax[pic] [pic]

{3 - 11}

М. Кэндэллом предложен показатель согласованности или коэффициент

конкордации, определяемый как

[pic] [pic] [pic]

{3 - 12}

В нашем примере значение коэффициента конкордации составляет около

0.229, что при четырех экспертах и шести факторах достаточно, чтобы с

вероятностью не более 0.05 считать мнения экспертов несогласованными. Дело

в том, что как раз случайность ранжировок, их некоррелированность

просчитывается достаточно просто. Так для нашего примера указанная

вероятность соответствует сумме квадратов отклонений S= 143.3 , что намного

больше 64.

В заключение вопроса об особенностях метода экспертных оценок в

системном анализе отметим еще два обстоятельства.

[pic]В первом примере мы получили результирующие ранги 10 целей

функционирования некоторой системы. Как воспользоваться этой результируюзей

ранжировкой? Как перейти от ранговой (Ord) шкалы целей к шкале весовых

коэффициентов — в диапазоне от 0 до 1?

Здесь обычно используются элементарные приемы нормирования. Если цель 3

имеет ранг 1, цель 8 имеет ранг 2 и т. д., а сумма рангов составляет 55,

то весовой коэффициент для цели 3 будет наибольшим и сумма весов всех 10

целей составит 1.

Вес цели придется определять как

(11-1) / 55 для 3 цели;

(11-2) / 55 для 8 цели и т. д.

[pic]При использовании групповой экспертной оценки можно не только

выяснять мнение экспертов о показателях, необходимых для системного

анализа. Очень часто в подобных ситуациях используют так называемый метод

Дельфы (от легенды о дельфийском оракуле).

Опрос экспертов проводят в несколько этапов, как правило — анонимно.

После очередного этапа от эксперта требуется не просто ранжировка, но и ее

обоснование. Эти обоснования сообщаются всем экспертам перед очередным

этапом без указания авторов обоснований.

Имеющийся опыт свидетельствует о возможностях существенно повысить

представительность, обоснованность и, главное, достоверность суждений

экспертов. В качестве “побочного эффекта” можно составить мнение о

профессиональности каждого эксперта.

7 Моделирование системы в условиях неопределенности

Как уже отмечалось в первой части нашего курса, в большинстве реальных

больших систем не обойтись без учета “состояний природы” — воздействий

стохастического типа, случайных величин или случайных событий. Это могут

быть не только внешние воздействия на систему в целом или на отдельные ее

элементы. Очень часто и внутренние системные связи имеют такую же,

“случайную” природу.

Важно понять, что стохастичность связей между элементами системы и уж

тем более внутри самого элемента (связь “вход-выход”) является основной

причиной риска выполнить вместо системного анализа совершенно бессмысленную

работу, получить в качестве рекомендаций по управлению системой заведомо

непригодные решения.

Выше уже оговаривалось, что в таких случаях вместо самой случайной

величины X приходится использовать ее математическое ожи-дание Mx. Все

вроде бы просто — не знаем, так ожидаем. Но насколько оправданы наши

ожидания? Какова уверенность или какова вероятность ошибиться?

Такие вопросы решаются, ответы на них получить можно — но для этого

надо иметь информацию о законе распределения СВ. Вот и приходится на данном

этапе системного анализа (этапе моделирования) заниматься статистического

исследованиями, пытаться получить ответы на вопросы:

( А не является ли данный элемент системы и производимые им операции

“классическими”?

( Нет ли оснований использовать теорию для определения типа

распределения СВ (продукции, денег или информационных сообщений)? Если

это так — можно надеяться на оценки ошибок при принятии решений, если же

это не так, то приходится ставить вопрос иначе.

( А нельзя ли получить искомое распределение интересующей нас СВ из

данных эксперимента? Если этот эксперимент обойдется дорого или физически

невозможен, или недопустим по моральным причинам, то может быть “для рагу

из зайца использовать хотя бы кошку” — воспользоваться апостериорными

данными, опытом прошлого или предсказаниями на будущее, экспертными

оценками?

Если и здесь нет оснований принимать положительное решение, то можно

надеяться еще на один выход из положения.

Не всегда, но все же возможно использовать текущее состояние уже

действующей большой системы, ее реальную “жизнь” для получения глобальных

показателей функционирования системы.

Этой цели служат методы планирования эксперимента, теоретической и

методологической основой которых является особая область системного анализа

— т. н. факторный анализ, сущность которого будет освещена несколько позже.

8 Моделирование систем массового обслуживания

Достаточно часто при анализе экономических систем приходится решать т.

н. задачи массового обслуживания, возникающие в следующей ситуации. Пусть

анализируется система технического обслужи-вания автомобилей, состоящая из

некоторого количества станций различной мощности. На каждой из станций

(элементе системы) могут возникать, по крайней мере, две типичных ситуации:

( число заявок слишком велико для данной мощности станции, возникают

очереди и за задержки в обслуживании приходится платить;

( на станцию поступает слишком мало заявок и теперь уже приходится

учитывать потери, вызванные простоем станции.

Ясно, что цель системного анализа в данном случае заключается в

определении некоторого соотношения между потерями доходов по причине

очередей и потерями по причине простоя станций. Такого соотношения, при

котором математическое ожидание суммарных потерь окажется минимальным.

Так вот, специальный раздел теории систем — теория массового

обслуживания, позволяет

( использовать методику определения средней длины очереди и среднего

времени ожидания заказа в тех случаях, когда скорость поступления заказов и

время их выполнения заданы;

( найти оптимальное соотношение между издержками по причине ожидания в

очереди и издержками простоя станций обслуживания;

( установить оптимальные стратегии обслуживания.

Обратим внимание на главную особенность такого подхода к задаче

системного анализа — явную зависимость результатов анализа и получаемых

рекомендаций от двух внешних факторов: частоты поступления и сложности

заказов (а значит — времени их исполнения).

Но это уже связи нашей системы с внешним миром и без учета этого факта

нам не обойтись. Потребуется провести исследования потоков заявок по их

численности и сложности, найти статистические показатели этих величин,

выдвинуть и оценить достоверность гипотез о законах их распределения. Лишь

после этого можно пытаться анализировать — а как будет вести себя система

при таких внешних воздействиях, как будут меняться ее показатели (значение

суммарных издержек) при разных управляющих воздействиях или стратегиях

управления.

Очень редко при этом используется сама система, производится

натуральный эксперимент над ней. Чаще всего такой эксперимент связан с

риском потерь заказчиков или неоправданными затратами на создание

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6