Билеты по аналитической геометрии

Билеты по аналитической геометрии

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.

Пусть задана система векторов а1, а2, а3,…,ал (1) одной размерности.

Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если

равенство (1а1+(2а2+…+(лал=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все

числа (1, (2,…, (л=0 и (R

Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если

равенство (2) выполнимо хотя бы при одном (i(0 (i=1,…,k)

Свойства

1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима

2. Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то

она будет линейно-зависимой.

3. Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет

линейно независимой.

4. Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной

комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно

зависимой.

Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на

параллельных прямых.

Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в

параллельных плоскостях.

Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а(0 и эти векторы

коллинеарны, то найдется такое действительное число (, что b=(a.

Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и

достаточно, что бы они были коллениарны.

Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=(a. Будем

считать, что а,b(0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству).

1b-(a=0. Т.к. коэфф. При b(0, то система линейно зависима по определению.

Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. (а+(b=0, ((0. а= -b/(*b. а и b

коллинеарны по определению умножения вектора на число.

Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и

достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.

Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны.

Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то (а+(b+(c=0, ((0. с= -

(/(*а - (/(*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной

плоскости.

БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой

системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.

В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.

В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную

пару.

В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех

некомпланарных векторов.

2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется

заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой

масштабной ед. на осях.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется

заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и

одинаковой масштабной ед. на осях.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение

длин двух векторов на косинус угла между ними.

(а,b)=|a| |b| cos u, u90, пр-е отриц.

Свойства:

1. (а,b)= (b,а)

2. ((а,b)= ( (а,b)

3. (а+b,с)= (а,с)+ (b,с)

4. (а,а)=|a|2 – скал.квадрат.

Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е

равно 0.

Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.

Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если

все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.

Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе,

то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих

координат.

Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения.

cos u=a,b/|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2/sqrt(x12+y12+z12)*sqrt(x22+y22+z22)

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b]

называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u.

2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.

Свойства:

1. [a,b]= - [b,a]

2. [(а,b]= ( [а,b]

3. [a+b,c]=[a,c]+[b,c]

4. [a,a]=0

Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади

параллелограмма построенного на этих векторах.

Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования

определения векторного произведения.

Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном

базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в

первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты

первого вектора, в третьей – координаты второго.

Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий

одинаковое направление с вектором а. ea=a/|a|

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.

1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е

пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой.

Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол

между пр.

1. Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.

Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).

Доказательство: подставим коорд. т.М0 в ур-е (1) и получим Ах0+By0+C=0

(1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х0)+B(y-y0)=0, n(A,B), М0М(х-х0, y-y0).

Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно

равно 0, значит n и M0M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор

n(A,B) называется нормальным вектором прямой.

Замечание: пусть ур-я А1х+B1y+C1=0 и А2х+B2y+C2=0 определяют одну и ту же

прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А1=t*А2 и т.д.

Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е

называется неполным.

1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)

2. С=0, А=0, By=0, значит у=0

3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0

4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ

5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY

2. x/a+y/b=1.

Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b

3. x-x1/e=y-y1/m

Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл.пр.). Возьмем

на прямой произв. точки. q и M1М(х-х1; y-y1)

4. x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1

Пусть на прямой даны две точки М1(x1;y1) и М2(x2;y2). Т.к. на прямой заданы

две точки, то задан направляющий вектор q(x2-x1; y2-y1)

5. y=kb+b.

u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом

прямой k=tg u

Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой

tg u = m/e. Тогда видим x-x1/e/e=y-y1/m/e. y-y1=k(x-x1) при y1-kx1=b,

y=kx+b

6. xcos(+ysin(-P=0

( - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и (

Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos(, sin().

Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем

двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2.

ОМ*n=cos(x+sin(y. Приравняем правые части.

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcos(+ysin(-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos2(=(A*t)2

Sin2(=(B*t)2

-p=C*t

cos2(+sin2(=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=(sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

7. Система: x=et+x1 и y=mt+y1

НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.

1. xcos(+ysin(-P=0

( - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и (

Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos(, sin().

Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем

двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2.

ОМ*n=cos(x+sin(y. Приравняем правые части.

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcos(+ysin(-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos2(=(A*t)2

Sin2(=(B*t)2

-p=C*t

cos2(+sin2(=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=(sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки

от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если

нач.коорд. и точка по одну сторону.

Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcos(+ysin(-P=0 и

М1(x1;y1), тогда отклонение точки М1 = x1cos(+y1sin(-P=0

Задача: найти расстояние от точки М0(x0;y0) до прямой Ах+By+C=0. Т.к.

d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x0cos(+y0sin(-P|.

d=|Ах0+By0+C|/sqrt(A2+B2)

ГИПЕРБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух

фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

Каноническое уравнение:

Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом

расстоянии от начала координат. |F1F2|=2c, М – произвольная точка

гиперболы. r1, r2 – расстояния от М до фокусов;

|r2-r1|=2a; ac)

е гиперболы >1 (т.к. с>a)

Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.

Выразим эксцентриситеты через а и b:

[pic]

[pic]

е эллипса является мерой его «вытянутости»

е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами

2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется

прямая расположенная в полуплоскости ( перпендикулярно большой оси эллипса

и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е0

r1=xe+a

d1 – расстояние от М(x,y) до прямой D1

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

бм=-x-a/e

d1=-бм (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)

[pic]

Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к

расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и

представляет собой эллипс, если 1, параболу, если =1.

ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.

Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус

кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится

фокус.

r= (

d=p+(cos(

e=(/p+(cos(

[pic] - полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к

нему, проходящей через М0(x0;y0) – точка касания, она принадлежит эллипсу

значит справедливо:

[pic]

у-у0=y’(x0)(x-x0)

[pic]

Рассмотрим касательную к кривой [pic] следовательно [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

ya2y0-a2y02+b2x0x-b2x02=0

[pic]

[pic]

[pic] - уравнение касательной к эллипсу.

[pic] - уравнение касательной к гиперболе.

[pic] - уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного

переноса и поворота.

Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим

все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:

(е1;е1’)=cos u

(е1;е2’)=cos (90+u)= -sin u

(е2;е1’)=cos (90-u)=sin u

(е2;е2’)=cos u

Базис рассматривается ортонормированный:

(е1;е1’)=(е1, (11е1+(12е2)= (11

(е1;е2’)= (е1, (21е1+(22е2)= (21

(е2;е1’)= (12

(е2;е2’)= (22

Приравниваем:

(11=cos u

(21= - sin u

(12=sin u

(22=cos u

Получаем:

x=a+x’cos u – y’sin u

y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.

------------

x=a+x’

y=b+y’ - формулы параллельного переноса

ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно

преобразования системы координат, называется функция зависящая от

коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании

системы координат.

Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно

преобразования системы координат являются следующие величины: I1; I2; I3

Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются

неизменными, поэтому они характеризуют линию.

Определение:

I2>0 – элиптический тип

I20 и пусть I1>0

следовательно уравнение (1) определяет: 1. I30 – ур-е (1) не определяет. Если I3=0 говорят, что эллипс вырождается

в точку. Если I3>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и

поворота ур-е (1) принимает вид (*).

Доказательство:

1. пусть I2>0, I1>0, I3 0

I1= a11’’+a22’’ > 0

a11’’ > 0; a22’’ > 0

[pic]

Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение

эллипса.

2. I3>0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно

уравнение не определяет действительного геометрического образа.

3. I3=0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т.е.

I20; a22’’0

[pic]

В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ.

Пусть I30 следовательно таких у него

нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).

Найдем асимптотические направления у гиперболы:

[pic]

((, ()1=(a,b)

((, ()2=(-a,b)

Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для

асимптот.

Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются

асимптотами гиперболы.

Найдем асимптотические направления у параболы:

y2=2px

y2-2px=0

u(x,y)= y2+0, y=0

((, ()=(0,0)

Итак: вектор асимптотического направления параболы лежит на оси симметрии

параболы, т.е. прямая асимптотического направления пересекает параболу в

одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет одно

асимптотическое направление, но асимптот не имеет.

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.

Пусть задано трехмерное пространство.

Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается уравнением первой

степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C(0 одновреенно.

Справедлива и обратная теорема.

Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим

уравнением.

Вектор n – нормальный вектор плоскости.

2. Уравнение плоскости в отрезках: [pic]

3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.

Пусть n(A,B,C) и М(x0;y0;z0). Запишем ур-е пл-ти:

Ax+By+Cz+D=0

Ax0+By0+Cz0=-D

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

5. Уравнение плоскости ч/з 3 точки.

Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.

М1(x1;y1;z1); М2(x2;y2;z2); М3(x3;y3;z3)

Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной

плоскости то векторы компланарны.

М1М x-x1 y-y1 z-z1

М1М2 x2-x1 y2-y1 z2-z1 =0

М1М3 x3-x1 y3-y1 z3-z1

6. Параметрическое ур-е плоскости.

Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов.

V(V1;V2;V3); U(U1;U2;U3); M0(x0;y0;z0), тогда плостость имеет вид: система:

x=x0+V1t+U1s и y=y0+V2t+U2s и z=z0+V3t+U3s

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.

Ax+By+Cz+D=0; M0(x0;y0;z0)

[pic]

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости: A1x+B1y+C1z+D1=0;

A2x+B2y+C2z+D2=0, поэтому n1(A1;B1;C1); n2(A2;B2;C2). Отыскание угла между

плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторами.

[pic]