Прикладная математика

[pic]=1 .

Решение (оптимальное) этой задачи обозначим *. Если x*i >0 , то это

означает рекомендацию вложить долю x*i наличного капитала в ценные бумаги

i-го вида. Если же x*i 7 .

Можно доказать, что риск оптимального портфеля в зависимости от его

доходности при наличии безрисковых бумаг равен [pic], где [pic]

Постановку задачи формирования оптимального портфеля (1) можно словами

сформулировать так:

Сформировать портфель минимального риска из всех имеющих эффективность

не менее заданной.

Но столь же естественна и задача формирования портфеля максимальной

эффективности из всех имеющих риск не более заданного, т.е. найти [pic],

максимизирующие ожидаемую эффективность портфеля

[pic]

при условии, что обеспечивается значение риска портфеля не более заданного,

т.е.

[pic]

поскольку [pic] – доли, то в сумме они должны составлять единицу: [pic]

Если на рынке есть безрисковые бумаги, то в такой постановке задача

формирования такого оптимального портфеля имеет решение, очень похожее на

(2): Оптимальное значение долей [pic] рисковых бумаг есть

[pic] (3)

Можно доказать, что эффективность портфеля максимальной эффективности

в зависимости от заданного его риска [pic] равна [pic].

§14. Принятие решений в условиях неопределенности

Предположим, что ЛПР (Лицо, Принимающее Решения) рассматривает несколько

возможных решений [pic]. Ситуация неопределенна, понятно лишь, что

наличествует какой-то из вариантов [pic]. Если будет принято [pic]-e

решение, а ситуация есть [pic]-я , то фирма, возглавляемая ЛПР, получит

доход [pic]. Матрица [pic] называется матрицей последствий (возможных

решений). Какое же решение нужно принять ЛПР? В этой ситуации полной

неопределенности могут быть высказаны лишь некоторые рекомендации

предварительного характера. Они не обязательно будут приняты ЛПР. Многое

будет зависеть, например, от его склонности к риску. Но как оценить риск в

данной схеме?

Допустим, мы хотим оценить риск, который несет [pic]-e решение. Нам

неизвестна реальная ситуация. Но если бы ее знали, то выбрали бы наилучшее

решение, т.е. приносящее наибольший доход. Т.е. если ситуация есть [pic]-я

, то было бы принято решение, дающее доход [pic].

Значит, принимая [pic]-e решение мы рискуем получить не [pic], а только

[pic], значит принятие [pic]-го решения несет риск недобрать [pic]. Матрица

[pic] называется матрицей рисков.

Пример 1. Пусть матрица последствий есть [pic]

Составим матрицу рисков. Имеем [pic] Следовательно, матрица рисков есть

[pic]

А. Принятие решений в условиях полной неопределенности.

Не все случайное можно "измерить" вероятностью. Неопределенность – более

широкое понятие. Неопределенность того, какой цифрой вверх ляжет игральный

кубик отличается от неопределенности того, каково будет состояние

российской экономики через 15 лет. Кратко говоря, уникальные единичные

случайные явления связаны с неопределенностью, массовые случайные явления

обязательно допускают некоторые закономерности вероятностного характера.

Ситуация полной неопределенности характеризуется отсутствием какой бы то

ни было дополнительной информации. Какие же существуют правила-рекомендации

по принятию решений в этой ситуации?

Правило Вальда (правило крайнего пессимизма). Рассматривая [pic]-e

решение будем полагать, что на самом деле ситуация складывается самая

плохая, т.е. приносящая самый малый доход [pic].

Но теперь уж выберем решение [pic] с наибольшим [pic]. Итак, правило

Вальда рекомендует принять решение [pic], такое что

[pic]

Так, в вышеуказанном примере, имеем [pic]Теперь из чисел 2,2,3,1

находим максимальное. Это – 3 . Значит, правило Вальда рекомендует принять

3-е решение.

Правило Сэвиджа (правило минимального риска). При применении этого

правила анализируется матрица рисков [pic]. Рассматривая [pic]-e решение

будем полагать, что на самом деле складывается ситуация максимального риска

[pic]

Но теперь уж выберем решение [pic] с наименьшим [pic]. Итак, правило

Сэвиджа рекомендует принять решение [pic], такое что

[pic]

Так, в вышеуказанном примере, имеем [pic] Теперь из чисел 8,6,5,7

находим минимальное. Это – 5. Значит правило Сэвиджа рекомендует принять 3-

е решение.

Правило Гурвица (взвешивающее пессимистический и оптимистический подходы

к ситуации). Принимается решение [pic], на котором достигается максимум

[pic]

где [pic]. Значение [pic] выбирается из субъективных соображений. Если

[pic] приближается к 1, то правило Гурвица приближается к правилу Вальда,

при приближении [pic] к 0, правило Гурвица приближается к правилу "розового

оптимизма" (догадайтесь сами, что это значит). В вышеуказанном примере при

[pic] правило Гурвица рекомендует 2-е решение.

В. Принятие решений в условиях частичной неопределенности.

Предположим, что в рассматриваемой схеме известны вероятности [pic]

того, что реальная ситуация развивается по варианту [pic]. Именно такое

положение называется частичной неопределенностью. Как здесь принимать

решение? Можно выбрать одно из следующих правил.

Правило максимизации среднего ожидаемого дохода. Доход, получаемый

фирмой при реализации [pic]-го решения, является случайной величиной [pic]

с рядом распределения

|[pi| |… | |[pi|

|c] | | | |c] |

|[pi| |… | |[pi|

|c] | | | |c] |

Математическое ожидание [pic] и есть средний ожидаемый доход,

обозначаемый также [pic]. Итак, правило рекомендует принять решение,

приносящее максимальный средний ожидаемый доход.

Предположим, что в схеме из предыдущего п. вероятности есть (1/2, 1/6,

1/6, 1/6). Тогда [pic]

Максимальный средний ожидаемый доход равен 7, соответствует 3-у решению.

Правило минимизации среднего ожидаемого риска. Риск фирмы при реализации

[pic]-го решения, является случайной величиной [pic] с рядом распределения

|[pi| |… | |[pi|

|c] | | | |c] |

|[pi| |… | |[pi|

|c] | | | |c] |

Математическое ожидание [pic] и есть средний ожидаемый риск,

обозначаемый также [pic]. Правило рекомендует принять решение, влекущее

минимальный средний ожидаемый риск.

Вычислим средние ожидаемые риски при указанных выше вероятностях.

Получаем [pic] Минимальный средний ожидаемый риск равен 7/6, соответствует

3-у решению.

Нанесем средние ожидаемые доходы [pic]и средние ожидаемые риски [pic] на

плоскость – доход откладываем по вертикали, а риски по горизонтали

(см.рис.):

Получили 4 точки. Чем выше точка [pic]

[pic], тем более доходная операция, .Q3

чем точка правее – тем более она

рисковая. Значит, нужно выбирать

точку выше и левее. Точка [pic] .Q1

доминирует точку [pic], если [pic]

.Q2

и [pic] и хотя бы одно из этих

.Q4

неравенств строгое. В нашем случае

3-я операция доминирует все остальные.

[pic]

Точка, не доминируемая никакой другой называется оптимальной по Парето,

а множество всех таких точек называется множеством оптимальности по Парето.

Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбрать лучшую, то ее

обязательно надо выбрать из операций, оптимальных по Парето. В нашем

случае, множество Парето, т.е. оптимальных по Парето операций, состоит

только из одной 3-й операции.

Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую

формулу, которая для пар [pic] дает одно число, по которому и определяют

лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула есть [pic]. Тогда

получаем: [pic]

[pic]. Видно, что 3-я операция – лучшая, а 4-я – худшая.

С. Правило Лапласа.

Иногда в условиях полной неопределенности применяют правило Лапласа

равновозможности, когда все вероятности [pic] считают равными. После этого

можно выбрать какое-нибудь из двух приведенных выше правил-рекомендаций

принятия решений.

§15. Математико-статистический анализ данных

о деятельности производственного экономического объекта

Цель математико-статистического анализа данных, характеризующих поведение

исследуемого экономического объекта, состоит в том, чтобы выявить тенденции

изменения выпуска продукции и используемых ресурсов, установить зависимость

между выпуском и затратами ресурсов и по этим тенденциям и зависимостям

найти прогнозы выпуска на ближайшую перспективу.

Выявление тенденций и установление зависимостей между выпуском и

ресурсами осуществляется с помощью методов экстраполяции временных рядов и

регрессионного анализа, изучаемых в курсе "Теория вероятностей и

математическая статистика" [ ].

Расчеты по регрессионным моделям целесообразно выполнять на персональных

ЭВМ с помощью пакетов прикладных программ, имеющих в своем составе

программы множественной линейной регрессии (например, Statistica for

Windows, Statgraf, SAS), однако возможно их выполнение на научном

калькуляторе по формулам регрессионного анализа, приведенным в [ ].

Технику проведения расчетов и получения прогнозов покажем на примере

исследования экономики США. Исходные данные для расчетов, взятые из

следующих источников: Economic Report of the President, 1995,Wash,1995;

Statistical Abstract of the USA, 1995, Wash, 1995, приведены в следующей

таблице.

Валовой внутренний продукт, (в ценах 1987 г.), основные производственные

фонды (в ценах 1987 г.) и число занятых в США в 1960-1995 г.г.

|№ |Год |ВВП |ОПФ |Число |

| | |Xt |Kt | |

| | | | |Lt |

|1 |1960 |1986,9 |5596,9 |65,8 |

|2 |1961 |2035,7 |5685,6 |65,7 |

|3 |1962 |2140,5 |5849,8 |66,7 |

|4 |1963 |2234,2 |6098,9 |67,8 |

|5 |1964 |2357,4 |6336,1 |69,3 |

|6 |1965 |2493,3 |6621,5 |71,1 |

|7 |1966 |2635,7 |6921,8 |72,9 |

|8 |1967 |2705,6 |7237,0 |74,4 |

|9 |1968 |2816,0 |7434,0 |75,9 |

|10 |1969 |2891,0 |8062,0 |77,9 |

|11 |1970 |2889,5 |8416,8 |78,7 |

|12 |1971 |2978,2 |8596,7 |79,4 |

|13 |1972 |3133,2 |9533,6 |82,2 |

|14 |1973 |3298,5 |9718,1 |85,1 |

|15 |1974 |3283,5 |9455,7 |86,8 |

|16 |1975 |3250,2 |9493,2 |85,8 |

|17 |1976 |3414,0 |9620,9 |88,8 |

|18 |1977 |3568,2 |9755,9 |92,0 |

|19 |1978 |3738,8 |11217,1 |96,0 |

|20 |1979 |3848,6 |12117,0 |98,8 |

|21 |1980 |3824,4 |11691,4 |99,3 |

|22 |1981 |3883,1 |11987,8 |100,4 |

|23 |1982 |3794,5 |10717,1 |99,5 |

|24 |1983 |3938,5 |10849,2 |100,8 |

|25 |1984 |4177,5 |11989,2 |105,0 |

|28 |1987 |4544,5 |13063,7 |112,4 |

|29 |1988 |4724,0 |13382,5 |115,0 |

|30 |1989 |4854,2 |13838,9 |117,3 |

|31 |1990 |5002,5 |15411,8 |117,9 |

|32 |1991 |4881,6 |14295,5 |116,9 |

|33 |1992 |4984,1 |14252,1 |117,6 |

|34 |1993 |5139,9 |14412,5 |119,3 |

|35 |1994 |5372,0 |15319,8 |123,1 |

|36 |1995 |5604,1 |15939,2 |126,7 |

а) Анализ тенденций изменения и прогнозирование ВВП, ОПФ и числа занятых.

Анализ тенденции изменения и прогнозирование покажем на примере ВВП. Если

имеет место линейный тренд, то модель изменения ВВП принимает вид

[pic],

где

[pic] - линейный (относительно времени) тренд,

[pic] - среднее значение ВВП (значение тренда) при t=0 ([pic] ( x1 -

[pic]),

[pic] - среднегодовой прирост ВВП,

(t – отклонение фактического значения ВВП от тренда.

Оценки коэффициентов тренда приведены в [ ] и имеют вид

[pic]

Выполнив расчеты на ЭВМ с помощью указанных ППП, либо непосредственно

подставив значения временного ряда ВВП (взятые из таблицы) в последние две

формулы, получаем оценки коэффициентов тренда

[pic] = 1854,1 – оценка среднего значения ВВП в 1959 г. (млрд. долл.)

[pic] = 96,66 – оценка среднегодового прироста ВВП (млрд. долл.), тем

самым и оценки тренда

Хt = 1854,1 + 96,66(t.

Прогноз осуществляем по следующей формуле (подставляем будущие значения

времени в уравнение тренда)

[pic]

в частности,

(1996)[pic] = 1854,1 + 96,66(37 = 5430,6;

(1997) [pic]= 5527,3;

(1998) [pic] = 5623,9.

Точно так же находим оценки трендов и прогнозируемые значения ОПФ и числа

занятых

[pic] = 5071,7 + 290,05t;

[pic]

(1996) [pic] = 5071,7 + 290,05(37 = 15803,6;

(1997) [pic] = 16093,6;

(1998) [pic] = 16383,7;

[pic] = 60,36 + 1,796t;

[pic]

(1996) [pic] = 60,36 + 1,796(37 = 126,8;

(1997) [pic] = 128,6;

(1998) [pic] = 130,4.

Замечание. Полученные прогнозы основаны на данных 1960 – 1995 г.г. К

настоящему времени уже известны фактические данные за 1996 – 1998 г.г.,

поэтому есть возможность сравнить прогнозируемые значения с фактическими.

На приводимых ниже рисунках показаны фактические, расчетные (по линейному

тренду) и прогнозируемые значения.

Прогноз ОПФ на 1996 – 1998 г.г.

(млрд. долл.)

[pic]

Прогноз числа занятых на 1996-1998 г.г.

(млн. чел.)

[pic]

б) Установление зависимости ВВП от ресурсов (ОПФ и числа занятых) и

прогнозирование ВВП с помощью найденной зависимости.

Зависимость ВВП от ОПФ и числа занятых постулируем в форме

мультипликативной функции

[pic],

где

А – коэффициент нейтрального технического прогресса,

(K, (L – коэффициенты эластичности по фондам и по труду.

При наложении этой гипотетической зависимости на реальные данные приходим

к следующей модели

[pic]

[pic] - корректировочный коэффициент, который приводит расчетные (по

модели) данные к фактическим.

В логарифмах эта модель приобретает вид уравнения регрессии с двумя

независимыми переменными

[pic].

Вводя в программу линейной множественной регрессии в качестве значений

зависимой переменной логарифмы ВВП (ln Xt, t = 1,…,T), а в качестве

значений двух переменных логарифмы ОПФ (ln Kt, t = 1,…,T) и числа занятых

(ln Lt, t = 1,…,T), получаем в результате работы программы оценки

параметров регрессии

[pic].

Так расчеты на ЭВМ с помощью ППП " Statistica for Windows" по логарифмам

походных данных дали следующие результаты

[pic],

поэтому ([pic]= 2,248)

[pic].

Используя прогнозируемые значения ресурсов, получаем прогноз ВВП с

помощью найденной зависимости от ресурсов

(1996) [pic]

(1997) [pic] = 5576,7;

(1998) [pic] = 5680,1.

На приводимом ниже рисунке показаны фактические, расчетные (по линейному

тренду и по мультипликативной функции) значения ВВП.

Прогноз ВВП на 1996-1998 г.г.

(млрд. долл.)

[pic]

в) Выводы из результатов расчетов.

Как видно из таблицы исходных данных экономика США в 1960-1995 г.г.

находилась в состоянии экономического роста, прерываемого в 1960-1961 г.г.,

1969-1970 г.г., 1974-1975 г.г., 1980-1982 г.г., 1990-1992 г.г. кризисами и

спадами производства.

Этот экономический рост характеризуется среднегодовыми приростами: ВВП –

на 96,7 млрд. долл., ОПФ – на 290,1 млрд. долл., числа занятых – на 1,8

млн. чел. Увеличение ОПФ на 1% приводит к увеличению ВВП на 0,404%, а

увеличение числа занятых на 1% - на 0,803%, т.е. экономический рост являлся

фондосберегающим.

Если бы тенденции сохранились, то к концу 1998 г. ОПФ составили бы

16383,7 млрд. долл. (рост по сравнению с 1995 г. на 2,8%), ВВП достиг бы в

1998 г. значений: при прогнозе по линейному тренду – 5623,9 млрд. долл.

(рост на 0,35%), при прогнозе на мультипликативной зависимости – 5680,1

(рост на 1,4%).

-----------------------

[pic]

(2)

181

208

III

181

М(

)

;60

[pic]

(6)

(5)

(30)

(29)

(28)

(27)

K=2

K=3

Рис. 2

1/5

Рис. 3

[pic]

2/5

[pic]

Таблица 2

[pic]

Рис. 1

[pic]

Таблица 4

[pic]

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5

МЕНЮ

Прикладная математика

ИНТЕРЕСНОЕ