Приближенное вычисление определенных интегралов

Приближенное вычисление определенных интегралов

Государственный Комитет по рыболовству Российской Федерации

Дальневосточный Государственный Технический

Рыбохозяйственный Университет

Реферат на тему:

«Приближенное вычисление

определенных интегралов.»

Выполнил:

Проверил:

Владивосток

2000

При решении физических и технических задач приходится находить определенные

интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через

элементарные функции. Это привело к необходимости вывода приближенных

формул вычисления определенных интегралов. Познакомимся с двумя из них:

формулой трапеций и формулой парабол.

[pic]

1. Формула трапеций. Пусть требуется вычислить интеграл [pic], где

f(x) - непрерывная функция. Для простоты рассуждений ограничимся случаем,

когда f(x)(0. Разобьем отрезок [a, b] на n отрезков точками

a=x01000/144. Для того чтобы выполнялось это

неравенство, достаточно взять n=2, т.е. 2n=4.

Разобьем теперь отрезок [0, 1] на четыре равные части точками х0=0,

х1=1/4, х2=1/2, х3=3/4, х4=1 и вычислим приближенно значения функции

f(x)=[pic] в этих точках у0=1,0000, у1=0,9394, у2=0,7788, у3=0,5698,

у4=0,3679. Применяя формулу Симпсона, получаем

[pic]

Таким образом, [pic]с точностью до 0,001. Итак, разбив отрезок [0, 1]

всего на четыре равные части и заменив рассматриваемый интеграл суммой,

стоящей в правой части формулы Симпсона, мы вычислили данный интеграл с

необходимой точностью.

В заключении отметим, что каждый из изложенных методов приближенного

вычисления интегралов содержит четкий алгоритм их нахождения, что позволяет

широко применять эти методы для вычислений на ЭВМ. Таким образом, указанные

методы - эффективное средство вычисления интегралов. Для интегралов,

которые нельзя выразить через элементарные функции, с помощью ЭВМ и

простейших приближенных методов можно составить таблицы их значений.