Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета

Определение. Линейной оболочкой системы векторов E = (e1, . . . , en)

называется множество всевозможных линейных комбинаций векторов данной

системы; обозначение L(E). Таким образом,

L(E) = [pic].

Заметим, что линейная оболочка системы векторов является линейным

подпространством.

Говорят, что вектор ( линейно выражается через систему E, если ( (

L(E).

Отметим простейшие свойства линейных оболочек:

(а) Если W - подпространство в V, E ( W, то L(E) ( W;

(б) Линейная оболочка L(E) совпадает с пересечением всех линейных

подпространств, содержащих систему E;

(в) L(E ( G) = L(E) + L(G), где сумма подпространств U и W определяется

равенством U + W := { u + w( u ( U, w ( W }.

20. Линейно независимые системы.

Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если все ее

коэффициенты равны 0. Значение тривиальной линейной комбинации равно 0.

Определение. Система векторов называется линейно независимой, если

всякая ее нетривиальная линейная комбинация отлична от нуля.

Заметим, что для доказательства линейной независимости системы

достаточно приравнять к нулю произвольную ее линейную комбинацию и вывести

из этого равенство нулю всех ее коэффициентов.

Кроме того, система векторов является линейно зависимой, если некоторая

ее нетривиальная линейная комбинация равна 0.

Нам потребуются в дальнейшем следующие две леммы, которые мы приведем

без доказательства.

Лемма 1. Если система E линейно независима, а система E(s (полученная

присоединением вектора s к системе E) линейно зависима, то s линейно

выражается через E.

Лемма 2 (основная лемма о линейной зависимости).

“Большая“ система линейно зависима, если она линейно выражается через

“маленькую“.

30. Базис линейного пространства.

Определение 1. Система E называется базисом линейного пространства V

(обозначение B(V)), если выполнены условия:

(а) E линейно независима;

(б) V = L(E), т.е. всякий вектор пространства V линейно выражается

через E.

Наряду с данным определением можно привести и другие эквивалентные

определения.

Определение 2. Максимальная линейно независимая система E называется

базисом линейного пространства V.

Определение 3. Система E называется базисом линейного пространства V,

если всякий вектор пространства V однозначно записывается в виде линейной

комбинации векторов системы E.

Заметим, что указанные определения равносильны.

40. Размерность линейного пространства.

Определение. Линейное пространство называется конечномерным, если оно

обладает конечным базисом.

Определение. Число элементов в каком-нибудь базисе линейного

пространства V называется его размерностью; обозначение dimV. Нулевое

пространство имеет по определению пустой базис и нулевую размерность.

Отметим прежде всего теорему о корректности определения размерности.

Теорема. Всякие два базиса одного конечномерного пространства содержат

одинаковое число векторов.

Доказательство. Пусть E и G - два базиса пространства V. Эти системы

векторов линейно эквивалентны, т.е. они линейно выражаются друг через

друга. Если бы одна система была “большой”, а другая “маленькой”, то

“большая” система оказалась бы линейно зависимой в силу основной леммы о

линейной зависимости, значит, обе они содержат одинаковое число векторов. (

Следствие.

(а) Размерность линейной оболочки L(E) равна рангу системы E (ранг

системы - максимальное число ее линейно независимых векторов): dim L(E) =

r(E).

(б) Всякая система векторов n-мерного линейного пространства,

содержащая более n элементов линейно зависима.

50. Примеры.

1. Координатное пространство kn имеет стандартный базис из единичных

векторов ei := (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ( единица находится на месте

с номером i), следовательно, dim kn = n. Можно доказать, что система из n

векторов-строк образует базис пространства kn ( определитель этой системы

отличен от нуля.

2. Базис пространства решений однородной системы линейных уравнений -

это фундаментальная система решений.

3. Пространство матриц [pic] имеет стандартный базис из матричных

единиц Eij (единица находится на месте с номером (i, j), следовательно,

dim [pic] = nm.

4. Пространства многочленов Qn[x] с рациональными коэффициентами

степени не превосходящей n имеет следующие базисы:

а) стандартный базис вида 1, x, x2, . . . , xn;

б) базис Тейлора “в точке c”:

1, (x - c), (x - c)2, . . . , (x - c)n , где c - некоторое число;

в) [базис Лагранжа “в точке (c1, . . . , cn+1)”:

gi(x) = {(x - c1) . . . (x - ci)^ . . . (x - cn+1)}/ {(ci - c1) . . . (ci -

ci)^ . . . (ci - cn+1)},

где c1, . . . , cn+1 - попарно различные скаляры, а знак ^ означает

отсутствие указанного множителя.]

Координаты многочлена f(x)

относительно стандартного базиса - это его коэффициенты;

относительно базиса Тейлора - это строка [pic];

[относительно базиса Лагранжа - это строка (f(c1), . . . , f(cn+1)).]

5. Вещественное линейное пространство C имеет стандартный базис (1, i).

7. Основные теоремы о системах линейных уравнений

10. Исследование системы линейных уравнений.

Пусть задана система линейных уравнений: Ax = b, где A- основная

матрица, x- столбец переменных, b - столбец свободных членов. С помощью

элементарных преобразований строк в основной матрице можно построить

максимальную систему единичных столбцов. Кроме того, удалим из расширенной

матрицы нулевые строки. Тогда можно считать, что расширенная матрица

системы уравнений имеет вид:

[pic],

где в последней строке ведущий элемент обозначен через (.

Для ненулевого числа ( возможны два случая:

(а) ( находится до черты, т.е. лежит в основной матрице.

Следовательно, в этом случае мы можем написать общее решение совместной

системы. Заметим, что все переменные будут связаны ( ранг основной матрицы

равен числу переменных системы.

(б) ( находится после черты; тогда система несовместна и ранг основной

матрицы меньше ранга расширенной матрицы на единицу.

Тем самым, мы доказали теорему.

Теорема. Пусть ( - ведущий элемент последней строки приведенной

ступенчатой матрицы. Тогда

(а) система совместна ( ( находится до черты;

(б) система несовместна ( ( находится после черты;

(в) система является определенной ( ( находится до черты и все

переменные связанные;

(г) система является неопределенной ( ( находится до черты и имеется

хотя бы одна свободная переменная.

20. Критерии совместности и определенности.

Из приведенной теоремы немедленно вытекают следующие два критерия.

Критерий совместности (теорема Кронеккера-Капелли). Система Ax = b

линейных уравнений является совместной ( ранг основной матрицы равен рангу

расширенной матрицы, т.е. r(A) = r(A(b).

Критерий определенности. Система Ax = b линейных уравнений от n

переменных является определенной ( ранг основной матрицы равен рангу

расширенной матрицы и равен числу переменных в системе, т.е. r(A) = r(A(b)

= n.

30. Связь между решениями совместной неоднородной и связанной с ней

однородной системами линейных уравнений.

Допустим, что дана совместная система линейных уравнений:

|Ax = b. |(1) |

Пусть (0, (1, (2 - частные решения системы (1), ( - ее общее решение.

Тогда справедливы равенства A(1t = b, A(2t = b. Вычитая почленно из первого

второе, на основании известных свойств, получаем: 0 = A(1t - A(2t = A((1t -

(2t) = A((1 - (2)t, т.е. разность между двумя частными решения системы (1)

является решением связанной с ней однородной системы

|Ax = 0. |(2) |

Если теперь ( - общее решение системы (2), то имеем A( t = 0,

следовательно,

b = b + 0 = A(0t + A( t = A((0t +( t) = A((0 +( )t,

т.е. сумма частного решения системы (1) и общего решения системы (2)

является решением системы (1).

Таким образом, справедлива

Теорема. Общее решение совместной неоднородной системы (1) является

суммой частного решения системы (1) и общего решения системы (2).

Поскольку общее решение однородной системы может быть записано в виде

линейной комбинации ФСР, то получаем, что общее решение системы (1) можно

записать в следующей параметрической форме:

( = (0 + (1(1 + (2(2 + . . . + (m(m,

где (0 - какое-нибудь частное решение системы (1); (1, (2, . . . , (m -

ФСР системы (2),

(1, (2, . . . , (m - действительные параметры; m = n - r(A).

8. Корни многочлена; схема Горнера; теорема Безу

10. Корни многочлена.

Определение. Число c называется корнем многочлена f, если f(c)=0.

Другими словами, число c является корнем многочлена f, если

a0cn + a1cn-1 + ... + an - 1c + an = 0.

Это равенство означает, что число c является корнем уравнения

a0 xn + a1xn-1 + ... + an - 1 x + an = 0,

при подстановке вместо x числа c получается верное равенство. Поэтому

корень многочлена f и корень соответствующего уравнения f(x) = 0 - это одно

и то же.

Схема Горнера позволяет проверять, является ли данное число c корнем

данного многочлена или нет: с ее помощью мы как раз и вычисляем значение

f(c).

Если требуется проверить несколько значений c, то для экономии

выкладок строят не три отдельные схемы, а одну - объединенную. Например,

для многочлена

f = 3x5 - 5x4 - 7x2 + 12

и чисел c = 1,-1,2 составляется таблица

| |3 |-5 |0 |-7 |0 |12 |

|1 |3 |-2 |-2 |-9 |-9 |3 |

|-1 |3 |-8 |8 |-15 |15 |-3 |

|2 |3 |1 |2 |-3 |-6 |0 |

Конечно, при заполнении третьей и четвертой строки таблицы работает"

только первая строка - строка коэффициентов многочлена f.

Мы видим, в частности, что из трех рассмотренных чисел только c = 2

является корнем данного многочлена.

20. Теорема Безу.

Теорема Безу. Пусть f - многочлен, c - некоторое число.

1. f делится на двучлен x - c тогда и только тогда, когда число c

является его корнем.

2. Остаток от деления f на x - c равен f(c).

Доказательство. Сначала мы докажем второе утверждение. Для этого

разделим f c остатком на x - c:

f = (x - c)q + r;

по определению остатка, многочлен r либо равен 0, либо имеет степень,

меньшую степени x - c, т.е. меньшую 1.

Но степень многочлена меньше 1 только в случае, когда она равна 0, и

поэтому в обоих случаях r на самом деле является числом - нулем или

отличным от нуля.

Подставив теперь в равенство f = (x - c)q + r значение x = c, мы

получим

f(с) = (с - c)q(с) + r = 0,

так что действительно r = f(c), и первое утверждение доказано.

Теперь первое утверждение почти очевидно. В самом деле, утверждение "f

делится на x - c" означает, что остаток от деления равен 0. Но остаток,

по доказанному, равен f(c), так что "f делится на x - c" означает то же

самое, что и f(c) = 0. (

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать

далее корни многочлена, степень которого на 1 меньше: если f(c) = 0, то

f = (x - c)q, и остается решить уравнение q(x) = 0. Иногда этим приемом

- он называется понижением степени - можно найти все корни многочлена. В

частности, подобрав один корень кубического уравнения, можно его

полностью решить - после понижения степени достаточно решить полученное

квадратное уравнение.

Решим в качестве примера уравнение

x4 - x3 - 6x2 - x + 3 = 0.

Целые корни многочлена f = x4 - x3 - 6x2 - x + 3 должны быть

делителями свободного члена, так что это могут быть только числа (1 и

(3. При этом 1 не является корнем многочлена f, поскольку сумма его

коэффициентов, очевидно, не равна 0.

При x = -1: имеем схему

| |1 |-1 |-6 |-1 | 3 |

|-1 |1 |-2 |-4 |3 |0 |

Мы видим, что -1 - корень f , и в частном получается многочлен

g = x3 - 2x2 - 4x +3.

Значение x = 1 второй раз проверять незачем: если бы число 1 было

корнем g, то оно было бы и корнем f, что неверно. А -1 проверить

обязательно - ничто не мешает ей быть также и корнем частного g:

| |1 |-2 |-4 |3 |

|-1 |1 |-3 |-1 |4 |

Следовательно, g(-1) ( 0.

Составим схему Горнера для x = 3:

| |1 |-2 |-4 |3 |

|3 |1 |1 |-1 |0 |

Следовательно, g(3) = 0, и при делении g на x - 3 получается многочлен

x2- x - 1, корни которого (1([pic])/2.

Таким образом, многочлен f, а значит, и исходное уравнение имеет 4

корня: -1, 3 и (1([pic])/2.

30. Следствия из теоремы Безу. Теорема Безу позволяет частично ответить

и на важный теоретический вопрос - Сколько корней может иметь многочлен?

Теорема. Многочлен степени n имеет в любом поле не более n корней.

Доказательство. Пусть многочлен f степени n имеет k корней, и c -один

из его корней. Предположим противное - пусть k>n.

По теореме Безу, f = (x - c)g, и частное g имеет степень n - 1. Всякий

корень f, отличный от c, является одновременно и корнем g: если f(a) = 0,

то (a - c)g(a) = 0, откуда g(a) = 0, так как a( c. Другими словами,

многочлен g имеет, по меньшей мере k - 1>n - 1 корень, т.е. число его

корней также больше его степени.

Но с многочленом g можно провести те же рассуждения, и на втором шагу

получить новый многочлен h, число корней которого также больше его

степени. Продолжая таким же образом, мы придем к многочлену степени 2,

имеющему больше 2 корней, чего не может быть.

Полученное противоречие показывает, что предположение k>n неверно, и

следовательно, k не больше n, что и требовалось доказать.

Из теоремы о числе корней вытекают два исключительно важных и для

теории, и для практики утверждения.

Следствие 1. Два многочлена степени, не большей n, принимают

одинаковые значения при n + 1 значении x тогда и только тогда, когда при

каждой степени x они имеют одинаковые коэффициенты.

Следствие 2. Два многочлена принимают одинаковые значения при всех

значениях x тогда и только тогда, когда при каждой степени x они имеют

одинаковые коэффициенты.

9. Разложение многочлена в произведение неприводимых

множителей и его единственность

10. Основная теорема арифметики кольца k[x]. Любой многочлен

положительной степени можно разложить в произведение неприводимых

сомножителей, и такое представление единственно с точностью до

ассоциированности и порядка сомножителей.

Доказательство. 1. Существование. Индукцией по n докажем, что каждый

многочлен f степени n ( 1 можно разложить в произведение неприводимых

сомножителей. Основанием индукции при n = 1 служит тривиальное разложение f

= f. Сделав индуктивное предположение, рассмотрим многочлен f степени n.

Если f - неприводим, то разложение имеет вид: f = f; если же f - приводим,

то его можно записать в виде f = gh, где степени g, h меньше степени f. По

предположению индукции многочлены g и h можно разложить на неприводимые

сомножители:

g = p1p2 . . . ps, h = q1q2 . . . qt,

поэтому

f = p1p2 . . . psq1q2 . . . qt.

2. Единственность. Предположим, что некоторый многочлен f имеет два

разложения на неприводимые сомножители:

f = p1p2 . . . ps , f = q1q2 . . . qt,

тогда

p1p2 . . . ps = q1q2 . . . qt.

Левая часть последнего равенства делится на p1, значит, правая часть также

делится на p1. По основному свойству неприводимого многочлена на p1 делится

либо q1, либо q2, . . . , либо qt. Изменяя, если надо нумерацию

сомножителей, можно считать, что p1 делит q1, и поскольку q1 неприводим, то

они ассоциированы, т.е. для некоторого числа c верно p1 = cq1. Значит,

сокращая на p1 обе части равенства

p1p2 . . . ps = p1q2 . . . qt,

получаем:

p2 . . . ps = (cq2 ) . . . qt.

Обозначим данное произведение через m, и заметим, что deg m < deg f. По

предположению индукции можно считать, что для m выполнено утверждение

теоремы, т.е. левая часть последнего равенства отличается от правой либо

перестановкой сомножителей, либо их ассоциированностью, значит, и в

исходном равенстве

p1p2 . . . ps = q1q2 . . . qt

s = t и одна часть отличается от другой только порядком сомножителей и их

ассоциированностью. (

Пример. Разложить x6 - 1 на неприводимые множители над Q.

Решение. x6 - 1 = (x3 - 1)(x3 + 1) = (x - 1)( x2 + x + 1)(x + 1)( x2 -

x + 1).

20. Каноническое разложение числа.

Обозначим через ((k) - множество неприводимых нормированных

многочленов над полем k.

Тогда произвольный многочлен f представим в виде произведения

c[pic], где ai ( 0, pi ( ((k), c(k.

Указанное разложение однозначно определяется многочленом f и называется

его каноническим разложением; число ai называется показателем pi в

каноническом разложении.

Канонические разложения удобны для доказательства различных свойств

делимости и вычисления НОД и НОК. Приведем важнейшие из них.

10. f := c[pic] делит g := d[pic] ( a1 ( b1, a2 ( b2, . . . , an ( bn.

Доказательство. Пусть g = fh, a1 > b1, h := e[pic]. Тогда b1 = a1 + c1

> b1, что невозможно. Обратное утверждение очевидно. (

20. Пусть имеются канонические разложения многочленов f и g:

f = c[pic], g = d[pic].

Тогда

НОД(f, g) = [pic], НОК(f, g) = [pic],

где ci = min (ai, bi), di = max (ai, bi).

Доказательство. Пусть ( = [pic] , где ci = min (ai, bi). Тогда по

свойству 10 многочлен ( является делителем многочленов f и g и всякий

общий делитель f и g делит многочлен (. Следовательно, ( = НОД(f, g).

Аналогично доказывается и второе утверждение. (

Из свойства 20 немедленно вытекает свойство

30. (Связь между НОД и НОК).

НОД(f, g) ( НОК(f, g) = f ( g.

10. Теорема о строении простого алгебраического расширения

10. Понятие минимального многочлена.

Пусть ( - алгебраическое число над полем k, т.е. корень ненулевого

многочлена с коэффициентами из поля k.

Определение. Нормированный многочлен (((, k, x) над полем k называется

минимальным многочленом числа (, если выполнены условия:

а) ((x) - неприводим над полем k, т.е. не разлагается в произведение

многочленов положительной степени с коэффициентами из k;

б) ((() = 0, т.е. ( - корень многочлена ((x).

Примеры.

|( |i |[pic] |[pic]- 1 |i + [pic] |

|(((, Q, x) |x2 + 1 |x2 - 5 |x2 + 2x - 1 |x4 - 4x2 + |

| | | | |16 |

20. Основные свойства минимальных многочленов.

1. Если f(x) ( k[x] и f(() = 0, то f(x) делится на минимальный

многочлен ((х) числа (.

Доказательство. В самом деле, предположив, что f не делится на (,

запишем

f = (g + r, deg r < deg (

на основании теоремы о делении с остатком. Откуда r(()=0. Поскольку

многочлены r и ( взаимно просты, то у них не может быть общих корней -

противоречие.

2. Допустим, что ( - алгебраическое число, а g(x) - нормированный

многочлен наименьшей положительной степени такой, что g(x) ( k[x] и g(() =

0. Тогда g(x) - минимальный многочлен числа (.

Доказательство немедленно вытекает из свойства 1.

3. Минимальный многочлен алгебраического числа ( над данным полем

определен однозначно.

Для доказательства достаточно применить свойство 2.

Определение. Степень минимального многочлена числа ( называется

степенью числа (; обозначение deg k (.

4. ( ( k ( deg k ( = 1.

Доказательство немедленно получается из определений.

5. Если ( - алгебраическое число степени n, то 1, (, (2, ..., (n-1

линейно независимы над полем k, т.е. ((c0, c1, ..., cn-1 (k) c0 + c1( + ...

+ cn-1(n-1 = 0 возможно только в случае c0 = c1 = . . . = cn-1 = 0.

Доказательство. Действительно, если указанные степени числа ( линейно

зависимы, то это число является корнем некоторого многочлена над k, степени

меньшей чем (.

6. Пусть ( - алгебраическое число, f(x) ( k[x] и f(() ( 0. Тогда дробь

[pic] представима в виде [pic]= g(() для некоторого g(x) ( k[x].

Доказательство. В самом деле, многочлены f и ( взаимно просты (иначе f

делился бы на (), значит, по теореме о линейном представлении НОД: для

некоторых многочленов g и h над k верно равнство

fg + (h = 1.

Откуда f(() g(() = 1, что и требовалось.

30. Строение простых алгебраических расширений.

Определение. Пусть k - подполе в L; ( ( L. Наименьшее подполе в L,

содержащее число ( и подполе k, обозначаемое k((), называется простым

расширением поля k (говорят также, что k(() получено присоединением к полю

k числа ().

Из приведенных свойств легко вывести теорему.

Теорема (о строении простого алгебраического расширения).

Для любого алгебраического числа ( над полем k линейное пространство

k(() обладает базисом из элементов вида

1, (, (2, . . . , (n-1, где n = degk (.

Доказательство. Легко понять, что k(() состоит из дробей f(()/g((), где

f(x), g(x) - многочлены над полем k и g(() ( 0. Обозначим через k[(] -

кольцо значений многочленов в точке (, т.е. k[(] = { f(()(f(x)( k[x]}.

Из свойства 6 вытекает равенство k(() = k[(]. Из теоремы о делении с

остатком следует, что значение произвольного многочлена над полем k в точке

( является линейной комбинацией над полем k указанных в теореме степеней

элемента (. Наконец, из свойства 5 следует линейная независимочть над полем

k этих степеней. (

40. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.

Разберем различные способы решения задачи об освобождении от

иррациональности в знаменателе дроби. Принципиальная возможность ее решения

вытекает из теоремы о строении простого алгебраического расширения.

Пример 1. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

[pic].

Решение. Обозначим через c число [pic], и воспользуемся известной

формулой суммы членов геометрической прогрессии:

1+ c + c2+ c3+ c4 = (c5 - 1)/(c - 1) = 1/(c - 1),

следовательно, [pic].

Пример 2. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

[pic].

Решение. Обозначим через c число [pic], и запишем сначала дробь

[pic]

в виде суммы простейших:

[pic].

Теперь, используя схему Горнера, каждую из указанных дробей можно заменить

на многочлен относительно c. Сначала разделим c5 - 2 на c + 1:

| |1 |0 |0 |0 |0 |-2 |

|-1 |1 |-1 |1 |-1 |1 |-3 |

следовательно,

[pic] = c4 - c3 + c2 - c + 1.

Теперь разделим c5 - 2 на c + 2:

| |1 |0 |0 |0 |0 |-2 |

|-2 |1 |-2 |4 |-8 |16 |-34 |

следовательно,

[pic]= c4 - 2c3 + 4c2 - 8c + 16.

Тогда получаем

[pic]= 34(c4 - c3 + c2 - c + 1) - 3(c4 - 2c3 + 4c2 - 8c + 16) =

= 31c4 - 40c3 + 22c2 - 10c - 14,

т.е. [pic] .

Пример 3. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

[pic].

Решение. Обозначим через c число [pic]. Найдем линейное представление

НОД многочленов f(x) = x3 - 2 и g(x) = 1 + 2x - x2:

f(x) = - g(x)((x + 2) + r(x), где r(x) = 5x

-5g(x) = r(x)((x - 2) - 5.

Из этих равенств, получаем линейное представление НОД f(x) и g(x):

f(x)((x - 2) + g(x)((x2 + 1) = 5.

Подставляя в последнее равенство вместо x число c, получим

[pic]= c2 + 1,

следовательно, [pic]=[pic].

Пример 4. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

[pic].

Решение. Обозначим через c число [pic]и применим метод неопределенных

коэффициентов. По теореме о строении простого алгебраического расширения

существуют рациональные числа x, y, z такие, что

[pic] = xc2 + yc + z или 89 = (c2 + 16c - 11)(xc2 + yc + z).

Раскрывая скобки и используя равенство c3 = 2, получаем:

89 = (32x + 2y - 11z) + (2x - 11y + 16z)c + (-11x + 16y + z)c2.

Так как числа 1, c, c2 линейно независимы над Q имеем

32x + 2y - 11z = 89, 2x - 11y + 16z = 0,

-11x + 16y + z = 0.

Решением последней системы является набор чисел (3, 2, 1). Значит, получаем

ответ: [pic].

Страницы: 1, 2