Преобразования плоскости, движение

Преобразования плоскости, движение

Преобразования плоскости

Отображение плоскости на себя

Отображенем плосости на себя называется такое преоброзование, что каждой

точке исходной плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости,

причем любая любая точка плоскости оказывается сопоставленой другой точке.

Если при отображении плоскости на себя фигура F преобразовывается в фигуру

F', то говорят, что фигура F' - образ фигуры F, а фигура F - прообраз

фигуры F'. Если одним отображением фигура F переводится в фигуру F', а

затем фигура F' переводится в фигуру F'', то отображение, переводящее F в

F'' называется композицией двух отображений. Неподвижной точкой отображения

называется такая точка A которая этим отображением переводится сама в себя.

Отображение, все точки которого неподвижные называется тождественным

отображением. Если при данном отображении разным точкам фигуры

соответствуют разные образы, то такое отображение называется взаимно

однозначным. Пусть фигура F' получена из фигуры F взаимно однозначным

отображением f, то можно задать отображение обратное отображению f, которое

определяется так: композиция отображения f и отображения, обратного f

является тождественным отображением. Существует множество видов отображения

плоскости на себя, рассмотрим некоторые из них:

Движения

. Параллельный перенос

. Осевая симметрия

. Поворот вокруг точки

. Центральная симметрия

Подобие

. Гомотетия

Движение

Движением называется отображение плоскости на себя при которром

сохранаяются все расстояния между точками. Движение имеет ряд важных

свойств:

Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки,

лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, переходят

в три точки, не лежащие на одной прямой.

Докозательство: пусть движение переводит точки A, B, C в точки A', B',

C'. Тогда выполняются равенства

A'B'=AB , A'C'=AC , B'C'=BC (1)

Если точки A, B, C лежат на одной прямой, то одна из них, например точка

B лежит между двумя другими. В этом случае AB+BC=AC, и из равенств (1)

следует, что A'C'+B'C'=A'C'. А из этого следует, что точка B' лежит между

точками A' и C'. Первое утверждение доказано. Второе утверждение докажем

методом от противного: Предположим, что точки A', B', C' лежат на одной

прямой даже в том случае, если точки A, B, C не лежат на одной прямой, то

есть являются вершинами треугольника. Тогда должны выполнятся неравенства

треугольника:

AB0 называется отображение плоскости, при

котором любым двумя точкам X и Y соответсвуют такие точки X' и Y', что

X'Y'=kXY.

Отметим, что при k=1 подобие является движением, то есть движение есть

частный случай подобия.

Фигура F называется подобной фигуре F' с коэффициентом k, если существует

подобие с коэффициентом k, переводящее F в F'.

Простейшим, но важным примером подобия является гомотетия

Гомотетия

Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k называется такое

отображение плоскости, при котором каждой точке X сопоставляется такая

точка X', что OX' = kOX, причем не ислючается и возможность k<0.

При k =(1 получается центральная симметрия с центром в точке O, при k =1

получается тождественное преобразование.

Основное свойство гомотетии

При гомотетии с коэфффициентом k каждый вектор умножается на (.

Подробнее: если точки ( и ( при гомотетии с коэффффициентом ( перешли в

точки (' и (', то

('(' = (((

Доказательство.

Пусть точка ( ( центр гомотетии. Тогда ((' = (((, ((' = (((. Поэтому ('('

= ((' ( ((' = ((( ( ((( = (((( ( (() = (((.

Из равнетсва ('(' = ((( следует, что A'B' = |k|AB, то есть гомотетия с

коэффициентом k является подобием с коэфффициентом |k|.

Отметим, что любое подобие с коэффициентом ( можно представить в виде

композиции гомотетии с коэффициентом ( и движения.

Некоторые свойства гомотетии

Гомотетия отрезок переводит в отрезок.

Гомотетия сохраняет величину углов.

.

Композиция двух гомотетий с общим центром и коэффициентами k1 и k2 ,будет

гомотетией с тем же центром и коэффициентом Преобразование, обратное

гомотетии с коэффициентом ( будет гомотетией с тем же центром и

коэффициентом 1/k.

Свойства подобия.

Подобие отрезок переводит в отрезок.

Подобие сохраняет величину углов.

Подобие треугольник переводит в треугольник. Соответсвенные стороны этих

треугольников пропорциональны, а соответсвенные углы равны

В результате подобия с коэффициентом ( площади фигур умножаются на (2.

Композиция подобий с коэффициентами k1 и k2 есть подобие с коэффициентом

k1k2.

Подобие обратимо. Отображение, обратное подобию с коэффициентом ( есть

подобие с коэффициентом 1/(.