Расширения полей

предположению. Следовательно, ((у) имеет только простые корни.

Разложим многочлен ((у) в некотором расширении основного поля на

линейные множители: m

((y) = ((y-(i).

1

Тогда

m

f(x) = (( xpe -(i)

1

Пусть (i— какой-нибудь корень многочлена xpe -(i. Тогда xipe = (i,

xpe -(i = xpe – (ipe = (x-(i) pe.

Следовательно, (i является ре-кратным корнем многочлена xpe -(i и

m

f(x) = (( x -(i) ре.

1

Все корни многочлена f(x) имеют, таким образом, одну и ту же кратность

ре.

Степень m многочлена ( называется редуцированной степенью многочлена

f(x) (или корня (i); число e называется показателем многочлена f (x) (или

корня (i) над полем (. Между степенью, редуцированной степенью и

показателем имеет место соотношение

n = m ре,

где m равно числу различных корней многочлена f(x).

Если ( — корень неразложимого в кольце ([x] многочлена, обладающего лишь

простыми корнями, то ( называется сепарабельным элементом над ( или

элементом первого рода над (1). При этом неразложимый многочлен, все корни

которого сепарабельны, называется сепарабельным. В противном случае

алгебраический элемент ( и неразложимый многочлен f(x) называются

несепарабельными или элементом (соответственно, многочленом) второго рода.

Наконец, алгебраическое расширение (, все элементы которого сепарабельны

над (, называется сепарабельным над (, а любое другое алгебраическое

расширение называется несепарабельным.

В случае характеристики нуль согласно сказанному выше каждый

неразложимый многочлен (а потому и каждое алгебраическое расширение)

является сепарабельным. Позднее мы увидим, что большинство наиболее важных

и интересных расширений полей сепарабельны и что существуют целые классы

полей, вообще не имеющих несепарабельных расширений (так называемые

«совершенные поля»). По этой причине в дальнейшем все связанное специально

с несепарабельными расширениями набрано мелким шрифтом.

Рассмотрим теперь алгебраическое расширение ( = ( ((). Когда степень n

уравнения f(x) = 0, определяющего это расширение, равна степени (( : (),

редуцированная степень m оказывается равной числу изоморфизмов поля ( в

следующем смысле: рассмотрим лишь такие изоморфизмы (((', при которых

элементы подполя ( остаются неподвижными и, следовательно, ( переводится в

эквивалентное поле (' (изоморфизмы поля ( над полем () и при которых поле-

образ (' лежит вместе с полем ( внутри некоторого общего для них поля (. В

этих условиях имеет место теорема:

При подходящем выборе поля ( расширение (=((() имеет ровно m

изоморфизмов над ( и при любом выборе поля ( поле ( не может иметь более m

таких изоморфизмов.

Доказательство. Каждый изоморфизм над ( должен переводить элемент ( в

сопряженный с ним элемент (' из (. Выберем ( так, чтобы f(x) разлагался над

( на линейные множители; тогда окажется, что элемент ( имеет ровно m

сопряженных элементов (,(', ... При этом, как бы ни выбиралось поле (,

элемент ( не будет иметь в нем более m сопряженных. Заметим теперь, что

каждый изоморфизм ((()((((') над ( полностью определяется заданием

соответствия ((('. Действительно, если ( переходит в (' и все элементы из (

остаются на месте, то элемент

(ak(k (ak(()

должен переходить в

(ak((k

а этим определяется изоморфизм.

В частности, если ( — сепарабельный элемент, то m = n и, следовательно,

число изоморфизмов над основным полем равно степени расширения.

Если имеется какое-то фиксированное поле, содержащее все рассматриваемые

поля, в котором содержатся все корни каждого уравнения f(x) = 0 (как,

например, в поле комплексных чисел), то в качестве ( можно раз и навсегда

взять это поле и поэтому отбросить добавление «внутри некоторого (» во всех

предложениях об изоморфизмах. Так всегда поступают в теории числовых полей.

Позднее мы увидим, что и для абстрактных полей можно построить такое поле

(.

Обобщением приведенной выше теоремы служит следующее утверждение:

Если расширение ( получается из ( последовательным присоединением m

алгебраических элементов (1, ..., (m, причем каждое из (i,- является

корнем

неразложимого над (((1, ..., (i-1) уравнения редуцированной степени n'i,

то

m

расширение ( имеет ровно (ni( изоморфизмов над ( и ни в одном

1

расширении нет большего числа таких изоморфизмов поля (.

Доказательство. Для m = 1 теорема уже была доказана выше. Предположим ее

справедливой для расширения (1 = (((1, ..., (m-1): в некотором подходящем

расширении

m-1

(1 есть ровно ( ni( изоморфизмов поля ( над (.

1 m-1

Пусть (1((1— один из этих ( ni( изоморфизмов. Утверждается, что в

подходящим образом выбранном поле ( он может быть продолжен до изоморфизма

( = (1 ((m) ( (= (((m) не более чем n(m способами.

Элемент (m удовлетворяет некоторому уравнению f1(x) = 0 над (1 с n(m

различными корнями. С помощью изоморфизма (1((1многочлен f1(x) переводится

в некоторый многочлен f1(x). Но тогда f1(x) в подходящем расширении имеет

опять-таки n(m различных корней и не больше. Пусть (m— один из этих

корней. В силу выбора элемента (m изоморфизм (1((1 продолжается до

изоморфизма ( ((m) ( ( ((m) с (m((m одним и только одним способом:

действительно, это продолжение задается формулой

(ck(mk (( ck(mk

Так как выбор элемента (m может быть осуществлен n'm способами, существует

n'm продолжений такого сорта для выбранного изоморфизма (1((1

Так как в свою очередь этот изоморфизм может быть выбран

m-1

( n'i способами,

1

то всего существует (в том поле (, в котором содержатся все корни всех

рассматриваемых уравнений)

m-1 m

( n'i(n'm = ( n'i

1

1

изоморфизмов расширения ( над полем (, что и требовалось доказать.

Если ni — полная (нередуцированная) степень элемента (i над ( ((1,...,(i-

1), то ni равно степени расширения ( ((1, ... , (i) поля (((1, ... , (i-1);

следовательно, степень (( : () равна

m

( n'i .

1

Если сравнить это число с числом изоморфизмов

m

( n'i .

1

то получится следующее предложение:

Число изоморфизмов расширения ( = (((1, ... , (m) над ((в некотором

подходящем расширении () равно степени (( : () тогда и только тогда, когда

каждый элемент (i сепарабелен над полем (((1, ... , (i-1). Если же хотя бы

один элемент (i несепарабелен над соответствующим полем, то число

изоморфизмов меньше степени расширения.

Из этой теоремы сразу получается несколько важных следствий. Прежде

всего теорема утверждает, что свойство каждого элемента (i быть

сепарабельным над предыдущим полем есть свойство самого расширения (

независимо от выбора порождающих элементов (i. Так как произвольный элемент

( поля может быть взят в качестве первого порождающего, элемент (

оказывается сепарабельным, если все (i являются таковыми. Итак:

Если к полю ( последовательно присоединяются элементы (i, ... ,(n и

каждый элемент (i оказывается сепарабельным над полем, полученным

присоединением предыдущих элементов (1, (2 ,…,(i-1 то расширение

( = (((1, ... ,(n)

сепарабельно над (.

В частности, сумма, разность, произведение и частное сепарабедьных

элементов сепарабельны.

Далее, если ( сепарабелен над (, а поле ( сепарабельно над (, то элемент

( сепарабелен над (. Это объясняется тем, что ( удовлетворяет некоторому

уравнению с конечным числом коэффициентов (1, ... ,(m из ( и,

следовательно, сепарабелен над ( ((1, ... ,(m). Тем самым сепарабельно и

расширение

( ((1,..., (m, ().

Наконец, имеет место следующее предложение: числа изоморфизмов конечного

сепарабельного расширения ( над полем ( равно степени расширения (( : ().

4. Бесконечные расширения полей.

Каждое поле получается из своего простого подполя с помощью конечного или

бесконечного расширения. В этой главе рассматриваются бесконечные

расширения полей, сначала алгебраические, а затем — трансцендентные.

4.1. Алгебраически замкнутые поля

Среди алгебраических расширений заданного поля важную роль играют,

конечно, максимальные алгебраические расширения, т. е. такие, которые не

допускают дальнейшего алгебраического расширения. Существование таких

расширений будет доказано в настоящем параграфе.

Чтобы поле ( было максимальным алгебраическим расширением, необходимо

следующее условие: каждый многочлен кольца ([x] полностью разлагается на

линейные множители. Это условие является и достаточным. Действительно, если

каждый многочлен в ([x] разлагается на линейные множители, то все простые

многочлены в ([x] линейны и каждый элемент любого алгебраического

расширения (' поля ( оказывается корнем некоторого линейного многочлена x —

a в ([x], т. е. совпадает с некоторым элементом a поля (.

Поэтому дадим следующее определение:

Поле ( называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен в ([x]

разлагается на линейные множители.

Равнозначное с этим определение таково: поле (, алгебраически замкнуто,

если каждый отличный от константы многочлен из ([x] обладает в ( хоть

одним корнем, т. е. хоть одним линейным множителем в ([x].

Действительно, если такое условие выполнено и произвольно взятый

многочлен f(x) разлагается на неразложимые множители, то все они должны

быть линейными.

«Основная теорема алгебры» утверждает, что поле комплексных чисел

алгебраически замкнуто. Следующим примером алгебраически замкнутого поля

может служить поле всех комплексных алгебраических чисел, т. е. множество

тех комплексных чисел, которые удовлетворяют какому-либо уравнению с

рациональными коэффициентами. Комплексные корни уравнения с алгебраическими

коэффициентами являются и в самом деле алгебраическими не только над полем

алгебраических чисел, но и над полем рациональных чисел, т. е. сами

являются алгебраическими числами.

Здесь мы покажем, как построить алгебраически замкнутое расширение

произвольно заданного поля P и притом чисто алгебраическим путем. Штейницу

принадлежит следующая

Основная теорема. Для каждого поля P существует алгебраически замкнутое

алгебраическое расширение (. С точностью до эквивалентности это расширение

определено однозначно: любые два алгебраически замкнутых алгебраических

расширения (, ( ' поля P эквивалентны.

Доказательству этой теоремы мы должны предпослать несколько лемм:

Лемма 1. Пусть (, — алгебраическое расширение поля Р. Достаточным

условием для того, чтобы ( было алгебраически замкнутым, является

разложение на линейные множители любого многочлена из P[x] в кольце ([x].

Доказательство. Пусть f(x) — произвольный многочлен из ([x]. Если он не

разлагается на линейные множители, то можно присоединить некоторый его

корень ( и прийти к собственному надполю ('. Элемент ( является

алгебраическим над (, а ( является алгебраическим расширением поля P;

следовательно, элемент ( алгебраичен и над Р. Поэтому он является корнем

некоторого многочлена g(x) из P[x]. Этот многочлен разлагается в ([x] на

линейные множители. Следовательно, ( —корень некоторого линейного множителя

в ([x], т. е. принадлежит полю (, что противоречит предположению.

Лемма 2. Если поле P вполне упорядочено, то кольцо многочленов P[x]

может быть вполне упорядочено и притом так, что в этом упорядочении поле P

будет отрезком.

Доказательство. Определим отношение порядка между многочленами f(x) из

P[x] следующим образом: пусть f(x)b, которое должно сохраняться в Рf. Эго отношение порядка является одним

и тем же во всех полях Р или (g, которые содержат как а, так и b, потому

что все эти поля являются отрезками друг друга. Итак, отношение порядка

определено. То, что оно определяет вполне упорядоченное множество,

очевидно, так как каждое непустое множество ( в Рf содержит по меньшей

мере один элемент из Р или из некоторого поля (g, а потому и первый элемент

из ( ( Р или из ( ( (g. Этот элемент одновременно является и первым

элементом в (.

Таким образом, поле Рf вполне упорядочивается с помощью требовании 1 и

2. Так как поле (f, однозначно определяется требованием 3, поля Рf и (f

построены.

В силу условия 3 многочлен f(x) полностью разлагается на линейные

множители в поле (f. Далее, с помощью трансфинитной индукции показывается,

что (f является алгебраическим над Р. Действительно, предположим, что все

поля (g (g Р(((), продолжающее все предыдущие изоморфизмы Р(()> Р(('), а именно

—отображение ((('. Очевидно, оно является изоморфизмом и удовлетворяет

требованиям 1 и 2.

Второй случай. Множество ( имеет последний элемент а; следовательно, (

=(({а}. Вследствие требования 3 элемент а', сопоставляемый элементу а,

однозначно определен. Так как а' над полем Р((') (в смысле рассматриваемого

изоморфизма) удовлетворяет «тому же» неразложимому уравнению, что и а над

Р((), то изоморфизм Р(()>Р((') (и в том случае, когда ( пусто, т. е.

тождественный изоморфизм Р(Р) продолжается до изоморфизма Р((, a) (Р((',

a(), при котором а переходит в а'. Каждым из приведенных выше требований

этот изоморфизм определен однозначно, потому что каждая рациональная

функция ((а) с коэффициентами из ( обязательно переходит в функцию ('(а') с

соответствующими коэффициентами из ('. То, что так определенный изоморфизм

P(() ( Р((() удовлетворяет требованиям 1 и 2, очевидно.

Тем самым построение изоморфизма P(()>Р((() завершено. Обозначим через

(" объединение всех полей Р(((); тогда существует изоморфизм Р(()((" или

(((", оставляющий на месте каждый элемент поля Р. Так как поле (

алгебраически замкнуто, таким же должно быть и (", а потому (" совпадает со

всем полем ((. Отсюда следует эквивалентность полей ( и ((.

Значение алгебраически замкнутого расширения данного поля состоит в том,

что с точностью до эквивалентности оно содержит все возможные

алгебраические расширения этого поля. Точнее:

Если ( — алгебраически замкнутое алгебраическое расширение поля Р и (

— произвольное алгебраическое расширение поля Р, то внутри ( существует

расширение (0, эквивалентное расширению (.

Доказательство. Продолжим ( до некоторого алгебраически замкнутого

алгебраического расширения ('. Оно будет алгебраическим и над Р, а потому

эквивалентным расширению (. При каком-то изоморфизме, переводящем (' в ( и

сохраняющем неподвижным каждый элемент из Р, поле ( переходит в некоторое

эквивалентное ему подполе (0 в (.

4.2. Простые трансцендентные расширения.

Каждое простое трансцендентное расширение поля (, как мы знаем,

эквивалентно полю частных ((x) кольца многочленов ([x]. Поэтому мы изучим

это поле частных

( = ((x).

Элементами поля ( служат рациональные функции

( = f(x)/g(x).

Это представление можно считать несократимым (f и g взаимно просты).

Наибольшая из степеней многочленов f(x) и g(х) называется степенью функции

(.

Теорема. Каждый отличный от константы элемент ( степени п трансцендентен

над ( и поле ((x) — алгебраическое расширение поля ((() степени п.

Доказательство. Представление ( = f(х)/g(х) будем считать несократимым.

Тогда элемент х удовлетворяет уравнению

g(x)(( - f(x)=0

с коэффициентами из (((). Эти коэффициенты не могут быть все равны нулю.

Действительно, если бы все они равнялись нулю и ak был бы при той же

степени х любым ненулевым коэффициентом многочлена g(x), а bk — ненулевым

коэффициентом многочлена f(x), то должно было бы иметь место равенство

ak( - bk = 0

откуда ( = bk/ak = const, что противоречит предположению. Следовательно,

элемент х алгебраичен над ((().

Если бы элемент ( был алгебраическим над (, то и х был бы алгебраическим

над (, что, однако, не так. Следовательно, элемент ( трансцендентен над (.

Элемент х является корнем многочлена степени n

g(z)( - f(z)

в кольце ((()(z). Этот многочлен неразложим в ((()[z], потому что иначе он

был бы разложим п в кольце ([(, z], и, так как он линеен по (, один из

множителей должен был бы зависеть не от (, а лишь от z. Но такого множителя

не может быть, потому что g(z) и f(z) взаимно просты.

Следовательно, элемент х является алгебраическим степени п над полем

(((). Отсюда следует утверждение о том, что (((x) : ((()) = n

Для дальнейшего отметим, что многочлен

g(z)( - f(z)

не имеет множителей, зависящих только от z (т. е. лежащих в ([z]). Это

утверждение остается верным, когда ( заменяется своим значением f(х)/g(х) и

умножается на знаменатель g(х) тем самым многочлен

g(z)f(x) - f(z)g(x)

кольца ([x, z] не имеет множителей, зависящих только от z.

Из доказанной теоремы вытекают три следствия.

1. Степень функции ( — f(х)/g(х) зависит лишь от полей ((() и ((x), а

не от того или иного выбора порождающего элемента х.

2. Равенство Д (() = ((х) имеет место тогда и только тогда,

когда ( имеет степень 1, т. е. является дробно-линейной функцией. Это

означает: порождающим элементом поля, кроме элемента х, может

служить любая дробно-линейная функция от x и только такая функция.

3. Любой автоморфизм поля ((х), оставляющий на месте каждый

элемент поля (, должен переводить элемент x в какой-либо порождающий

элемент поля. Обратно, если х переводится в какой-либо порождающий

элемент х = (ax+b)/(cx+d) и каждая функция ((х) — в функцию ((х),

то получается автоморфизм, при котором все элементы из ( остаются на

месте. Следовательно,

Все автоморфизмы поля ((x) над полем ( являются дробно-линейными

подстановками

x = (ax+b)/(cx+d), ad – bc ( 0.

Важной для некоторых геометрических исследований является

Теорема Люрота. Каждое промежуточное поле (, для которого ((((((x),

является простым трансцендентным расширением: ( = ((().

Доказательство. Элемент х должен быть алгебраическим над (, потому что

если ( — любой элемент из ( не принадлежащий полю (, то, как было показано,

элемент х является алгебраическим над ((() и тем более алгебраическим над

(. Пусть неразложимый в кольце многочленов ([z] многочлен со старшим

коэффициентом 1 и корнем x имеет вид

f0(z) = zn+a1zn-1+…+an. (1)

Выясним строение этого многочлена.

Элементы ai являются рациональными функциями от x. С помощью умножения

на общий знаменатель их можно сделать целыми рациональными функциями и,

кроме того, получить многочлен относительно x с содержанием 1:

f( x, z) =b0(x)zn+b1 (x)zn-1+…+bn(x).

Степень этого многочлена по х обозначим через т, а по z — через

п.

Коэффициенты ai = bi / b0 из (1) не могут все быть независимыми от х,

так как иначе х оказался бы алгебраическим элементом над (; поэтому один из

них, скажем,

( = ai = bi(x)/ b0(x),

должен фактически зависеть от х; запишем его в несократимом виде:

( = g(x)/h(x)

Степени многочленов g(х) и h(х) не превосходят т. Многочлен

g(z) - (h(z) = g(z) – (g(x)/h(x))h(z)

(не являющийся тождественным нулем) имеет корень z = x, а потому он делится

на f 0(z) в кольце ([z]. Если перейти от этих рациональных по х многочленов

к целым по х многочленам с содержанием 1, то отношение делимости

сохранится, и мы получим

h(x)g(z)-g(x)h(z) = q(x, z)f(x, z).

Левая часть в этом равенстве имеет степень по х, не превосходящую т. Но

справа уже многочлен f имеет степень т; следовательно, степень левой части

в точности равна т и q(х, z) не зависит от х. Однако зависящий лишь от z

множитель не может делить левую часть (см. выше); поэтому q(х, z) является

константой:

h(x)g(z)-g(x)h(z) = qf(x, z).

Так как присутствие константы q роли не играет, строение многочлена f(х, z)

описано полностью. Степень многочлена f(х, z) по х равна т следовательно

(по соображениям симметрии), и степень по z равна т, так что m = п. По

меньшей мере одна из степеней многочленов g(x) и h(х) должна фактически

достигать значения m, следовательно, и функция ( должна иметь степень т по

х.

Тем самым, так как с одной стороны установлено равенство

(((х):((()) = т,

а с другой — равенство

(((x):() = m;

то, поскольку ( содержит (((),

((: ((()) =1,

( = ((().

Заключение.

В данной курсовой работе рассмотрены основные алгебраические расширения

полей, во-первых, ввиду той фундаментальной роли, которую поля играют в

современной математике, во-вторых, ввиду относительной простоты этого

понятия.

В курсовой работе были рассмотрены следующие виды расширений числового

поля P:

> Простое алгебраическое расширение поля.

> Составное алгебраическое расширение поля.

> Сепарабельные и несепарабельные расширения.

> Бесконечные расширения полей.

Анализируя работу можно сделать некоторые выводы.

Из рассмотренных в первых двух частях расширений, таких как:

1) простые алгебраические расширения;

2) конечные расширения;

3) составные алгебраические расширения.

Следует, что все эти виды расширений совпадают и, в частности,

исчерпываются простыми алгебраическими расширениями поля P.

Литература

1. Л.Я. Куликов. Алгебра и теория чисел.— М.: Высш. Школа,1979.—528-538с.

2. Б.Л. Ван-дер-Варден. Алгебра.— М.,1976 — 138-151с.,158-167с.,244-253с.

3. Э.Ф. Шмигирев, С.В. Игнатович. Теория многочленов.— Мозырь 2002.

Страницы: 1, 2