Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически

Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически

Основная часть:

Применение графиков в решении уравнений.

I)Графическое решение квадратного уравнения:

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение : x2+px+q=0;

Перепишем его так:x2=-px-q.(1)

Построим графики зависимостей:y=x2 и y=-px-q.

График первой зависимости нам известен, это есть парабола; вторая

зависимость- линейная; её график есть прямая линия. Из уравнения (1) видно,

что в том случае, когда х является его решением, рдинаты точек обоих

графиков равны между собой. Значит, данному значению х соответствует одна и

та же точка как на параболе, так и на прямой, то есть парабола и прямая

пересекаются в точке с абциссой х.

Отсюда следующий графический способ решения квадратного

уравнения:чертим параболу у=х2, чертим(по точкам) прямую у=-рх-q.

Если прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек пересечения

являются корнями квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не

требуется большой точности.

Примеры:

1.Решить уравнение:4x2-12x+7=0

Представим его в виде x2=3x-7/4.

Построим параболу y=x2 и прямую y=3x-7/4.

Рисунок 1.

Для построения прямой можно взять, например, точки(0;-7/4) и

(2;17/4).Парабола и прямая пересекаются в двух точках с абциссами x1=0.8 и

x2=2.2 (см. рисунок 1).

2.Решить уравнение : x2-x+1=0.

Запишем уравнение в виде: x2=x-1.

Построив параболу у=х2 и прямую у=х-1, увидим, что они не

пересекаются(рисунок 2), значит уравнение не имеет корней.

Рисунок 2.

Проверим это. Вычислим дискриминант:

D=(-1)2-4=-3-2. Таким образом, в

множество решений входит интеграл(-2;-1).На отрезке [-1,1] исходное

неравенство равносильно верному числовому неравенству 24, содержащее параметр а, естественно,

требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенство ?1+х +

?1-х>1.

Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает

решить не одно неравенство, а целый класс, целое множество неравенств,

которые получаются, если придавать параметру а конкретные числовые

значения. Второе же из выписанных неравенств является частным случаем

первого, так как получается из него при значении а=1.

Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит

определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для

всех таких значений параметров найти все решения.

Пример1:

Решить неравенство|х-а|+|х+а|0.

Для решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся

геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций.

Y=f(x)=|x-a|+|x+a| u y=b.

Очевидно, что при b2|a|, то прямая y=b пересекает график

функции y=f(x) в двух точках (-b/2;b) u (b/2;b)(рисунок 6) и неравенство в

этом случае справедливо при –b/22|a|, то x €(-b/2;b/2).

III) Тригонометрические неравенства:

При решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно

используется периодичность этих функций и их монотонность на

соответствующих промежутках. Простейшие тригонометрические неравенства.

Функция sin x имеет положительный период 2?. Поэтому неравенства вида: sin

x>a, sin x>=a,

sin x-1/2.(рисунок 10)

Сначала решим это неравенство на отрезке[-?/2;3?/2]. Рассмотрим его

левую часть – отрезок [-?/2;3?/2].Здесь уравнение sin x=-1/2 имеет одно

решение х=-?/6; а функция sin x монотонно возрастает. Значит, если

–?/2sin(-?/6) = –1/2. Все

эти значения х не являются решениями неравенства.

На оставшемся отрезке [?/2;3?/2] функция sin x монотонно убывает и

уравнение sin x = -1/2 имеет одно решение х=7?/6. Следовательно, если

?/2sin(7?/6)=-1/2, т.е. все эти значения х являются

решениями неравенства. Для x Є[7?/6;3?/2] имеем sin x<= sin(7?/6)=-1/2,

эти значения х решениями не являются . Таким образом, множество всех

решений данного неравенства на отрезке [-?/2;3?/2] есть интеграл (-

?/6;7?/6).

В силу периодичности функции sin x с периодом 2? значения х из любого

интеграла вида: (-?/6+2?n;7?/6 +2?n),nЄZ, также являются решениями

неравенства. Никакие другие значения х решениями этого неравенства не

являются .

Ответ: -?/6+2?n

Рисунок 10.

-----------------------

[pic]?????????†??????????†??????????†??????????†??????????†??????????†??????

????†???

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]