Симметрия

плоскости симметрии.

На плоскости фигурой с бесчисленным множеством осей симметрии был

круг. Поэтому нас не должно удивлять, что в. пространстве аналогичные

свойства присущи шару. Но если круг является единственным в своем роде, то

в трехмерном мире имеется целый ряд тел, обладающих бесконечным множеством

плоскостей симметрии: прямой цилиндр с кругом в основании, конус с круговым

или полусферическим основанием, шар или сегмент шара. Или возьмем примеры

из жизни: сигарета, сигара, стакан, конусообразный фунтик с мороженым,

кусочек проволоки, труба.

Если мы повнимательней присмотримся к этим телам, то заметим, что все

они так или иначе состоят из круга, через бесконечное множество осей

симметрии которого проходит бесчисленное множество плоскостей симметрии.

Большинство таких тел (их называют телами вращения) имеют, конечно, и центр

симметрии (центр круга), через который проходит по меньшей мере одна ось

симметрии.

Отчетливо видна, например, ось у конуса фунтика с мороженым. Она

проходит от середины круга (торчит из мороженого!) до острого конца конуса-

фунтика. Совокупность элементов симметрии какого-либо тела мы воспринимаем

как своего рода меру симметрии. Шар, без сомнения, в отношении симметрии

является непревзойденным воплощением совершенства, идеалом. Древние греки

воспринимали его как наиболее совершенное тело, а круг, естественно, как

наиболее совершенную плоскую фигуру.

В целом эти представления вполне приемлемы и по сей день. Далее

греческие философы делали вывод о том, что Вселенная, несомненно, должна

быть построена по образцу математического идеала. Ясно, что у древних

греков еще не было фунтиков с мороженым! Иначе бы такой прозаический

предмет, имеющий бесчисленное множество плоскостей симметрии, мог бы

нарушить их стройную систему.

Если для сравнения мы рассмотрим куб, то увидим, что он имеет девять

плоскостей симметрии. Три из них делят его грани пополам, а шесть проходят

через вершины. По сравнению с шаром это, конечно, маловато.

А имеются ли тела, занимающие по числу плоскостей промежуточное

положение между шаром и кубом? Без сомнения — да. Стоит только вспомнить,

что круг, в сущности, как бы состоит из многоугольников. Мы проходили это в

школе при вычислении числа (. Если над каждым n - угольником мы воздвигнем

n - угольную пирамиду, то сможем провести через нее n плоскостей симметрии.

Можно было бы придумать 32-гранную сигару, которая имела бы

соответствующую симметрию!

Но если мы тем не менее воспринимаем куб как более симметричный

предмет, чем пресловутый фунтик с мороженым, то это связано со строением

поверхности. У шара поверхность всего одна. У куба их шесть — по числу

граней, и каждая грань представлена квадратом. Фунтик с мороженым состоит

из двух поверхностей: круга и конусообразной оболочки.

Более двух тысячелетий (вероятно, благодаря непосредственному

восприятию) традиционно отдается предпочтение «соразмерным» геометрическим

телам. Греческий философ Платон (427—347 до н. э.) открыл, что из

правильных конгруэнтных плоских фигур можно построить только пять объемных

тел.

Из четырех правильных (равносторонних) треугольников получается

тетраэдр (четырехгранник). Из восьми правильных треугольников можно

построить октаэдр (восьмигранник) и, наконец, из двадцати правильных

треугольников — икосаэдр. И только из четырех, восьми или двадцати

одинаковых треугольников можно получить объемное геометрическое тело. Из

квадратов можно составить только одну объемную фигуру — гексаэдр

(шестигранник), а из равносторонних пятиугольников — додекаэдр

(двенадцатигранник).

А что в нашем трехмерном мире полностью лишено зеркальной симметрии?

Если на плоскости это была плоская спираль, то в нашем мире таковыми,

безусловно, будут винтовая лестница или спиральный бур. Кроме того,

существуют еще тысячи асимметричных вещей и предметов в окружающей нас

жизни и технике. Как правило, винт имеет правую резьбу. Но иногда

встречается и левая. Так, для большей безопасности баллоны с пропаном

снабжены левой резьбой, чтобы к ним нельзя было привинтить вентиль-

редуктор, предназначенный, например, для баллона с другим газом.

Между шаром и кубом, с одной стороны, и винтовой лестницей, с другой,

существует еще масса степеней симметрии. От куба можно постепенно отнимать

плоскости симметрии, оси и центр, пока мы не придем к состоянию полной

асимметрии.

Почти у конца этого ряда симметрии стоим, мы, люди, с всего

единственной плоскостью симметрии, разделяющей наше тело на левую и правую

половины. Степень симметрии у нас такая же, как, например, у обычного

полевого шпата (минерала, образующего вместе со слюдой и кварцем гнейс или

гранит).

КАК ОТРАЖАЕТ ЗЕРКАЛО

Конечно, все мы знаем, как отражает зеркало, но, если только

потребуется описать это точно, несомненно возникнут трудности. Как правило,

мы довольны собой, если что-то представляем себе хотя бы «в принципе». А

подробности, которые преподаватели физики объясняли нам на доске с помощью

мела и линейки, всякий нормальный школьник и студент стараются забыть, и,

чем скорее, тем лучше.

Каждый ребенок, исполненный удивления перед окружающим миром,

непременно заинтересуется, каким образом зеркало отражает его. Но взрослые

обычно отвечают в подобных случаях: «Не задавай глупых вопросов!» Человек

сникает, начинает стесняться, удивление его постепенно затухает, и он

старается больше не проявлять его до конца жизни (а жаль!).

Но вспомним о словах Бертольда Бреста: «Глупых вопросов не бывает,

бывают только глупые ответы».

Конечно, людей можно разделить на дураков и умных, на больших и

маленьких, они разнятся по языку, вероисповеданию, мировоззрению. Можно

представить себе и такой способ подразделения:

1) люди, которые никогда не удивляются;

2) люди, которые удивляются, но не задумываются над удивившим их

явлением;

3) люди, которые, удивившись, спрашивают «а почему?»;

4) люди, которые, удивившись, обращаются к числу и мере.

В зависимости от условий жизни, традиций, степени образованности

встречаются и все возможные «промежуточные» ступени. Мыслители античности и

средневековья изумлялись миру и думали о его тайнах. Но им лишь изредка

выпадал случай измерить какое-либо явление.

Только в эпоху Возрождения, то есть в XVI в., люди пришли к

убеждению, что измерение лучше слепой веры или схоластических рассуждений.

Этому способствовали экономические интересы, удовлетворить которые можно

было только путем развития естественных наук, путем количественных

измерений. (Мы видим, что, по существу, меновая стоимость «измерялась» с

помощью денег.) Для XVI в. оптика была ультрасовременной наукой. Из

стеклянного шара, наполненного водой, которым пользовались как фокусирующей

линзой, возникло увеличительное стекло, а из него микроскоп и подзорная

труба. Крупнейшей в те времена морской державе Нидерландам требовались для

флота хорошие подзорные трубы, чтобы загодя рассмотреть опасный берег или

вовремя уйти от врага. Оптика обеспечивала успех и надежность навигации.

Поэтому именно в Нидерландах многие ученые занимались ею. Голландец

Виллеброрд, Снелль ван Ройен, именовавший себя Снеллиусом (1580 - 1626),

наблюдал (что, впрочем, видели и многие до него), как тонкий луч света

отражается в зеркале. Он просто измерил угол падения и угол отражения луча

(чего до него не делал никто) и установил закон: угол падения равен углу

отражения.

Теперь, задним числом, этот закон кажется нам чем-то само собой

разумеющимся. Но в те времена он имел огромное, можно сказать,

мировоззренческое значение, которое будило философскую мысль вплоть до XIX

века.

Закон отражения Снеллиуса объясняет явление зеркального отражения.

Каждой точке предмета соответствует её отражение в зеркале, и потому

в нём наш правый глаз перемещается на левую сторону. Вследствие этого

переноса точек предметы, расположенные дальше, в зеркале тоже кажутся

уменьшенными в соответствии с законами перспективы. Технически мы можем

реконструировать зеркальное изображение так, словно оно расположено за

поверхностью стекла. Но это только кажущееся восприятие. Не случайно

животные и маленькие дети часто заглядывают за зеркало; они верят, что

изображение таится сзади, словно картина, видимая за окном. Факт

перестановки левого и правого правильно осознается только взрослыми.

ОТ ТРЕЛЬЯЖА ДО РАДАРА

Должны ли мы считать, что самих себя видим только в «зеркальном

отражении» и в лучшем случае лишь на фото и кинопленке можем узнать, как

выглядим «на самом деле»?

Конечно нет: достаточно зеркальное изображение вторично отразить в

зеркале, чтобы увидеть свое истинное лицо. Нередко в домах трельяжи. Они

имеют одно большое главное зеркало в центре и два меньших зеркала по

сторонам. Если такое боковое зеркало поставить под прямым углом к среднему,

то можно увидеть себя именно в том виде, в каком вас видят окружающие.

Зажмурьте левый глаз, и ваше отражение во втором зеркале повторит ваше

движение левым глазом. Перед трельяжем вы можете выбирать, хотите ли вы

увидеть себя в зеркальном или в непосредственном изображении.

Угловое зеркало с прямым углом между составляющими его зеркалами

отличается еще некоторыми интересными свойствами. Если смастерить его из

двух маленьких зеркал, то можно убедиться в том, что в таком зеркале с

прямоугольным раствором (а сейчас речь только о нем) отраженный луч света

всегда параллелен падающему лучу. Это очень важное свойство. Но не

единственное! При повороте углового зеркала вокруг оси, соединяющей зеркала

(в определенных пределах), отраженный луч не изменит своего направления.

В технике обычно не составляют зеркала, а используют прямоугольную

призму, у которой соответствующие грани обеспечивают зеркальный ход лучей.

Прямоугольные призмы, как бы «складывающие» ход луча «гармошкой»,

сохраняя его необходимую длину, заданную фокусным расстоянием линзы,

позволяют уменьшать габариты оптических приборов. В призматических биноклях

лучи света при помощи таких приборов обращаются на 180°.

На старинных картинах можно видеть капитанов и полководцев с

непомерно длинными подзорными трубами. Благодаря угловым зеркалам старинные

подзорные трубы превратились в современные бинокли.

Игрокам в бильярд издавна знакомо действие отражения. Их «зеркала» —

это борта игрового поля, а роль луча света исполняют траектории шаров.

Ударившись о борт возле угла, шар катится к стороне, расположенной под

прямым углом, и, отразившись от нее, движется обратно параллельно

направлению первого удара.

Свойство отраженного луча сохранять направление при повороте углового

зеркала вокруг оси находит широкое применение в технике. Так, в трехгранном

зеркальном уголковом отражателе луч сохраняет постоянное направление,

несмотря на весьма сильные качания зеркала. По форме такое зеркало

представляет собой кубик с отрезанным уголком. И в этом случае на практике

используют не три зеркала, а соответствующую стеклянную призму с

зеркальными гранями.

Важной областью применения трехгранного зеркала служит уголковый

отражатель (кошачий глаз, катофот) на велосипедах, мотоциклах, сигнальных

предохранительных щитах, ограничителях проезжей части улицы. С какой бы

стороны ни упал свет на такой отражатель, световой рефлекс всегда сохраняет

направление источника света.

Большую роль трехгранные зеркальные уголковые отражатели играют в

радиолокационной технике. Самолеты и крупные стальные корабли отражают луч

радара. Несмотря на значительное рассеяние его, той небольшой доли

отраженных радиоволн, которая возвращается к радару, обычно достаточно для

распознания объекта.

Хуже обстоит дело с маленькими суденышками, сигнальными поплавками и

пластиковыми парусными яхтами. У небольших предметов отражение слишком

слабое. Пластиковые яхты так же «прозрачны» для радиоволн, на которых

работает радарная техника, как оконные стекла для солнечного света. Поэтому

парусные яхты и сигнальные буйки оснащают металлическими уголковыми

отражателями. Длина граней у такого «зеркала» всего около 30 см, но этого

довольно, чтобы возвращать достаточно мощное эхо.

Вернемся еще раз к угловому зеркалу из двух соединенных зеркал.

Качнем его ось вправо или влево — наше изображение тоже наклонится в

сторону. Мы можем даже положить его, если поместим ось зеркала

горизонтально. Но, наклонив зеркало еще дальше, мы заметим, что изображение

«выпрямляется».

Угловое зеркало имеет плоскость симметрии, которая делит пополам

пространство между обоими зеркалами. При соответствующей форме оно может

иметь еще одну плоскость, перпендикулярную зеркалам, но она здесь не

рассматривается. Нас интересует только плоскость симметрии, проходящая

между зеркалами, в которой, так сказать, взаимно отражаются оба зеркала.

Каждая плоскость симметрии меняет, как нам уже известно, правое на

левое (и наоборот). Но это несколько упрощенное восприятие. Если бы

плоскость симметрии умела говорить, она бы заявила: «Я не меняю ни правое

на левое, ни верх на низ. Я вообще не знаю, что это такое. Я лишь точка за

точкой отображаю все, что находится по одну или другую сторону от меня.

Если человек своей продольной осью встанет параллельно моей оси, я поменяю

ему правую и левую стороны, но если тот же человек своей продольной осью

расположится перпендикулярно моей оси (ибо я всегда остаюсь неизменной), то

я поменяю то, что люди называют верхом и низом». Как видим, все зависит от

точки зрения.

Но в конечном итоге истинно то, что можно измерить и сосчитать.

Сегодня мы не видим особого достижения в том, что Снеллиус измерил углы

падения и отражения луча. Но мы не должны забывать, что ученые XVI в.

подобными открытиями ломали более чем двадцативековую традицию.

Среди секретов телевидения известен трюк с уменьшением исполнителя,

который на фоне всей окружающей обстановки «в натуральную величину»

выглядит маленькой куколкой. Иногда зритель может видеть актера

одновременно в двух масштабах: на переднем плане в обычную величину, а на

заднем в уменьшенном.

Тому, кто искушен в фотографии, понятно, как достигается подобный

эффект. Сначала снимается уменьшенный вариант, а потом актер играет перед

экраном, на который проецируется его уменьшенное изображение.

Известный «чародей» Иохен Цмек в своей увлекательной книге «Волшебный

мир магии» описывает, как подобные чудеса можно делать без фотографии.

Когда уменьшенный предмет должен сам собой появиться в пространстве,., с

помощью вогнутого зеркала его изображение проецируется таким образом, чтобы

он казался стоящим на подставке.

Иллюзионист Александр Фюрст строил этот трюк следующим образом.

Зритель видел маленькую сцену с сильно уменьшенными артистами. Чтобы

спроецировать их в таком виде на экран, Фюрст использовал в своем

сооружении угловое зеркало. Именно перед ним двигались артисты. Но зеркало

переворачивало их на 180° и ставило тем самым «на голову», и уже это

изображение вогнутое зеркало, еще раз перевернув, отбрасывало на маленькую

сцену. Непременным условием эффекта была безупречная чистота всех зеркал.

ЛЕГЕНДЫ РУДОКОПОВ

В старину рудокопы были людьми сугубо практическими. Они не забивали

себе голову названиями всевозможных горных пород, которые встречали в

штольне, а просто делили эти породы и минералы на полезные и бесполезные,

ненужные. Нужные они извлекали из недр, из них плавили медь, свинец,

серебро и другие металлы, а ненужные сваливали в отвалы.

Для полезных (на их взгляд) минералов они подыскивали наглядные и

запоминающиеся имена. Можно никогда не видеть копьевидного колчедана, но

без особого труда представить его себе по названию. Не сложнее по названию

отличить красный железняк от бурого железняка.

Для бесполезных камней (как уже было сказано — на их взгляд) горняки

нередко находили названия в преданиях и легендах. Так, например, произошло

название руды кобальтовый блеск. Кобальтовые руды похожи на серебряные и

при добыче иногда принимались за них. Когда из такой руды не удавалось

выплавить серебро, считалось, что она заколдована горными духами —

кобольдами.

Когда же минералогия превратилась в науку, было открыто великое

множество пород и минералов. И при этом все чаще возникали трудности с

изобретением для них наименований. Новые минералы часто называли по месту

находки (ильменит — в Ильменских горах) или в честь знаменитого человека

(гетит — в честь Гете) или же давали ему греческое или латинское название.

Музеи пополнялись грандиозными коллекциями камней, которые

становились уже необозримыми. Не слишком помогали и химические анализы,

потому что многие вещества одного и того же состава образуют подчас

кристаллы совершенно различного облика. Достаточно вспомнить хотя бы

снежинки.

В 1850 г. французский физик Опост Браве (1811—1863) выдвинул

геометрический принцип классификации кристаллов, основанный на их

внутреннем строении. По мнению Браве, мельчайший, бесконечно повторяющийся

мотив узора и есть определяющий, решающий признак для классификации

кристаллических веществ. Браве представлял себе в основе кристаллического

вещества крошечную элементарную частицу кристалла. Сегодня со школьной

скамьи мы знаем, что мир состоит из мельчайших частиц — атомов и молекул.

Но Браве оперировал в своих представлениях крошечным «кирпичиком» кристалла

и исследовал, каковы могли быть у него углы между ребрами и в каких

соотношениях его стороны могли находиться между собой.

В кубе три ребра расположены всегда под углом 90° друг к Другу. Все

стороны имеют равную длину. У кирпича углы тоже составляют 90°. Но его

стороны различной длины. У снежинок, наоборот, мы не найдем угла 90°, а

только 60 или 120°.

Браве установил, что существуют 7 комбинаций ячеек с одинаковыми или

разными сторонами (осями) и углами. Для углов он принял только два

варианта: равный 90° и не равный 90°. Только один угол во всей его системе

в порядке исключения имеет 120°. В самом скверном случае все три оси и все

углы ячейки различны по величине, при этом в ней нет углов ни в 90, ни в

120°. Все в ней косо и криво, и, можно подумать, в мире кристаллов таким не

должно быть места. Между тем к ним относится, например, сульфат меди

(медный купорос), голубые кристаллы которого обычно всем так нравятся.

В некоторых из этих 7 пространственных решеток элементарные

«кирпичики» можно упаковать по-разному. Для нас, знающих сегодня о строении

атома, это нетрудно представить и продемонстрировать с помощью шариков для

пинг-понга. Но 125 лет назад гениальная идея Браве была новаторской и

открывала новые пути в науке. Весьма вероятно, что и Браве исходил из

узоров кафеля или мотивов шахматной доски.

Если мы разделим квадратные поля диагоналями, то возникает новый

рисунок из квадратов, стоящих на углах. В трехмерном пространстве это

соответствует кубу, разложенному на шесть пирамид. Каждая такая пирамида

составляет половину октаэдра.

Те, кто когда-нибудь выращивал кристаллы поваренной соли, знают, что

соль может кристаллизоваться в кубах, а может — в октаэдрах. Иными словами,

экспериментальные наблюдения совпадают с теоретическими соображениями.

Испробовав возможные варианты упаковки для всех семи осевых систем,

Браве вывел 14 решеток.

Рассматривая решетки Браве внимательней и пробуя мысленно построить

из них кристаллы, мы, вероятно, увидим, как можно провести в них плоскости

и оси симметрии. Эти возможности сразу расширятся, если мы в одной из

Страницы: 1, 2, 3