Структура сходящихся последовательностей

Структура сходящихся последовательностей

Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся.

Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.

Определение: Последовательность {xn} называется сходящейся, если

существует такое число а, что последовательность {xn-а} является

бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности

{xn}.

В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая

последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.

Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности:

Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число

а, что для любого положительного числа ( можно указать номер N такой, что

при n(N все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству:

|xn-a|0. Пусть N – номер,

соответствующий этому (, начиная с которого выполняется неравенство:

|yn-b|[pic]. Поэтому при n(N имеем [pic]. Следовательно, начиная с этого

номера N, мы можем рассматривать последовательность [pic], и эта

последовательность ограничена. Лемма доказана.

ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn} при

условии, что предел {yn} отличен от ноля, есть сходящаяся

последовательность, предел которой равен частному пределов

последовательностей {xn} и {yn}.

Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная с

некоторого номера N, элементы последовательности {yn} отличны от ноля и

последовательность [pic] ограничена. Начиная с этого номера, мы и будем

рассматривать последовательность [pic]. Пусть а и b – пределы

последовательностей {xn} и {yn}. Докажем, что последовательность [pic]

бесконечно малая. В самом деле, так как xn=а+(n, yn=b+(n, то

[pic][pic].

Так как последовательность [pic] ограничена, а последовательность [pic]

бесконечно мала, то последовательность [pic] бесконечно малая. Теорема

доказана.

Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися

последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их

пределами.

ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с

некоторого номера, удовлетворяют неравентству xn(b (xn(b), то и предел а

этой последовательности удовлетворяет неравенству а(b (a(b).

Доказательство: Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с

некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn(b. Предположим, что аb, однако при этом предел а может оказаться равным

b. Например, если xn=1/n, то xn>0, однако [pic].

Следствие 1: Если элементы xn и уn у сходящихся последовательностей

{xn} и {yn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn (

уn, то их пределы удовлетворяют аналогичному неравенству

[pic].

Элементы последовательности {yn-xn} неотрицательны, а поэтому

неотрицателен и ее предел [pic]. Отсюда следует, что

[pic].

Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности {xn}

находятся на сегменте [a,b], то и ее предел с также находится на этом

сегменте.

Это выполняется, так как а(xn(b, то a(c(b.

ТЕОРЕМА: Пусть {xn} и {zn}- сходящиеся последовательности, имеющие

общий предел а. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы

последовательности {yn}удовлетворяют неравенствам xn(yn(zn. Тогда

последовательность {yn} сходится и имеет предел а.

Доказательство: достаточно доказать, что {yn-a} является бесконечно

малой. Обозначим через N’ номер, начиная с которого, выполняются

неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера,

будут выполнятся также неравенства xn-а ( yn-а ( zn-а. Отсюда следует, что

при n(N’ элементы последовательности {yn-a} удовлетворяют неравенству

|yn-a| ( max zn-a.

Так как [pic] и [pic], то для любого (>0 можно указать номера N1 и N2

такие, что при n(N1 |xn-a|0, по свойству Архимеда вещественных чисел

существует такое натуральное число n(, что n(>[pic]. Поэтому [pic]

для всех n(n(, а это означает, что [pic].

2. Последовательность [pic] сходится и [pic], что следует из того, что

[pic], и того, что [pic].

ЗАДАЧИ

ЗАДАЧА № 1

Пусть числовая последовательность а1, а2, а3, … удовлетворяет условию

[pic] (m, n = 1, 2, 3, … ),

тогда последовательность

[pic],…

должна либо расходиться к [pic], причем предел этой последовательности

будет равен ее нижней грани.

РЕШЕНИЕ:

Видим частный случай теоремы у M. Fekete. Достаточно рассмотреть случай,

когда нижняя грань ( конечна. Пусть (>0 и [pic](+(. Всякое целое число n

может быть представлено в форме n=qm+r, где r=0 или 1, или 2, …, или m-1.

Полагая единообразие а0=0, имеем:

an=aqm+r(am+am+…+am+ar=qam+ar,

[pic],

[pic]

ЗАДАЧА № 2

Пусть числовая последовательность а1, а2, а3, … удовлетворяет условию

[pic]

тогда существует конечный предел

[pic],

причем

[pic] (n = 1, 2, 3, … ).

РЕШЕНИЕ:

Из неравенств 2am-12 и

[pic].

Разобьем числовую прямую на l интервалов точками

-(, m+(, m+2(, …, M-2(, M-(, +(.

Выберем такое N, чтобы для n>N выполнялось неравенство |sn-sn+1|N) лежит в первом интервале и sn2 (n2> n1) – в

последнем. Тогда числа конечной последовательности [pic] не смогут

“перепрыгнуть” ни один из l-2 промежуточных интервалов длиной (.

Аналогично рассуждаем и в том случае, когда последовательность будет не

«медленно восходящей», а «медленно нисхожящей».

ЗАДАЧА № 4

Пусть для последовательности t1, t2, … , tn, … существует такая

последовательность стремящихся к нулю положительных чисел [pic]…, что

для каждого n

[pic].

Тогда числа t1, t2, … , tn, …лежат всюду плотно между их нижним и

верхним пределами.

РЕШЕНИЕ:

Существуют в сколь угодно большом удалении конечные последовательности

[pic], произвольно медленно нисходящие от верхнего предела

последовательности к ее нижнему пределу.

ЗАДАЧА № 5

Пусть v1, v2, … , vn, … - положительные числа, v1 ( v2 ( v3 …

Совокупность предельных точек последовательности

[pic], …

заполняет замкнутый интервал (длина которого равна нулю, если эта

последовательность стремится к пределу).

РЕШЕНИЕ:

[pic]

ЗАДАЧА № 6

Числовая последовательность, стремящаяся к [pic], имеет наименьший член.

РЕШЕНИЕ:

Какое бы число мы ни задали, слева от него будет находиться лишь

конечное число членов последовательности, а среди конечного множества

чисел существует одно или несколько наименьших.

ЗАДАЧА № 7

Сходящаяся последовательность имеет либо наибольший член, либо

наименьший, либо и тот и другой.

РЕШЕНИЕ:

При совпадении верхней и нижней граней рассматриваемой

последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому они различны. Тогда

по крайней мере одна из них отличается от предела последовательности.

Она и будет равна наибольшему, соответственно наименьшему, члену

последовательности.

ЗАДАЧА № 8

Пусть l1, l2, l3, … , lm, … - последовательность положительных чисел и

[pic], тогда существует бесконечно много номеров n, для которых ln

меньше всех предшествующих ему членов последовательности l1, l2, l3, … ,

ln-1.

РЕШЕНИЕ:

Пусть задано целое положительное число m и ( – наименьшее из чисел l1,

l2, l3, … , lm; (>0. Согласно предположению в рассматриваемой

последовательности существуют члены, меньше чем (. Пусть n – наименьший

номер, для которого lnm; ln0),

s1, s 2, s 3, … , s m, … (s1>0, sm+1>sm, m=1, 2, 3, …)

обладают тем свойством, что

[pic], [pic].

Тогда существует бесконечно много номеров n, для которых одновременно

выполняются неравенства

ln>ln+1, ln>ln+2, ln>ln+3, …

lnsn>ln-1sn-1, lnsn>ln-2sn-2, … lnsn>l1s1,

РЕШЕНИЕ:

Будем называть lm «выступающим» членом последовательности, если lm

больше всех последующих членов. Согласно предположению в первой

последовательности содержится бесконечно много выступающих членов; пусть

это будут:

[pic],… [pic]

Каждый невыступающий член lv заключается (для v>n1) между двумя

последовательными выступающими членами, скажем nr-10. Согласно предположению в рассматриваемой

последовательности существуют члены, меньше чем (. Пусть k – наименьший

номер, для которого [pic]m; [pic].

ЗАДАЧА № 11

Если числовая последовательность [pic],… стремится к [pic] и А превышает

ее наименьший член, то существует такой номер n (возможно несколько

таких), n(1, что n отношений

[pic]

все не больше А, а бесконечное множество отношений

[pic],…

все не меньше А.

РЕШЕНИЕ:

Имеем [pic]. Пусть минимум последовательности

L0-0, L1-A, L2-2A, L3-3A, …

Будет Ln-nA; тогда

Ln-u-(n-u)A( Ln-nA; Ln+v-(n+v)A( Ln-nA,

u=1, 2, …, n; v=1, 2, 3, …; n=0 исключено в силу предложений

относительно А.

ЗАДАЧА № 12

Пусть относительно числовой последовательности l1, l2, l3, … , lm, …

предполагается лишь, что

[pic].

Пусть, далее, А>l1. Тогда существует такой номер n, n ( 1, что

одновременно выполняются все неравенства

[pic]

[pic].

Если А((, то также n((.

РЕШЕНИЕ:

Пусть

l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1, 2, 3, …; L0=0.

Так как L1-AA>0. Тогда существует такой номер n, n ( 1, что

одновременно выполняются все неравенства

[pic]

[pic].

Если А(0, то также n(0.

РЕШЕНИЕ:

Положим

l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1, 2, 3, …; L0=0.

Тогда [pic]. Последовательность

L0-0, L1-A, L2-2A, L3-3A, …, Lm-mA, …

стремится к -(. Пусть ее наибольший член будет Ln-nA. Тогда интересующие

нас неравенства будут выполняться для этого номера n.

В последовательности L0, L1, …, Lm, … содержится бесконечно много

членов, превышающих все предыдущие. Пусть Ls будет один из них. Тогда

числа:

[pic]

все положительны: коль скоро А меньше наименьшего из них,

соответствующий А номер n больше или равен s. Точки (n, Ln) должны быть

обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху полигоном.