Сумма делителей числа

[52]

[53]

[34,54]

[53, 54]

[55]

[28,56]

[39.56]

[49,57]

[58]

[59]

[24,60]

[38.60]

[59,60]

[61]

[61,62]

[32,63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[67, 68]

[69]

[70]

[71]

[30,72]

[46,72]

[51,72]

[55,72]

[71,72]

[73]

[73,74]

[75]

[76]

[77]

[45,78]

[79]

[57,80]

[79,80]

[81]

[82]

[83]

[44,84]

[65,84]

[83,84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[89]

[40, 90]

[58,90]

[89,90]

[36,91]

[92]

[50,93].

[94]

[95]

[42, 96]

[62,96]

[69,96]

[77,96]

[97]

[52,98]

[97,98]

[99]

[100]

[101]

[102]

[103]

[63,104]

[105]

[106]

[107]

[85,108]

[109]

[110]

[111]

[91, 112]

[113]

[74,114],

[115]

[116]

[117]

[118]

[119]

[54,120]

[56,120]

[87,120]

[95,120]

[81,121]

[122]

[123]

[48,124]

[75, 124]

[125]

[68,126]

[82.126]

[64,127]

[9 3,128]

[129]

[130]

[131]

[86,132]

[133]

[134]

[135]

[136]

[137]

[138]

[139]

[76,140]

[141]

[142]

[143]

[66,144]

[70,144]

[94,144]

[145]

[146]

[147]

[178]

[149]

[150]

[151]

[152]

[153]

[154]

[155]

[99,156]

[157]

[158]

[159]

[160]

[161]

[162]

[163]

[164]

[165]

[166]

[167]

[60,168]

[78,168]

[92,168]

[169]

[170]

[98,171]

[172]

[173]

[174]

[175]

[176]

[177]

[178]

[179]

[88,180]

[181]

[182]

[183]

[184]

[185]

[80,186]

[187]

[188]

[189]

[190]

[191]

[192]

[193]

[194]

[72,195]

[196]

[197]

[198]

[199]

[200]

Как мы заметили, есть такие числа, которые не являются суммой делителей ни

одного числа и так же есть такие числа, которые являются суммой делителей

ни одного, а нескольких чисел. Теперь посмотрим только те числа, которые

являются суммой делителей ни одного, а нескольких чисел:

[6,12], [11,12]

[10,18], [17,18]

[14,24], [15,24], [23,24]

[16,31]. [25,31]

[21,32], [31,32]

[20, 42], [26,42], [41,42]

[33,48], [35,48], [47,48]

[34,5 4], [53,54]

[28,56], [39,56]

[24,60], [38,60], [59, 60]

[30,72], [46,72], [51,72], [55,72], [71,72]

[57,80], [79,80]

[44,84], [65,84], [83,84]

[40,90], [58, 9 0], [89,90]

[42,96], [62,96], [69,96], [77,96]

[52,98], [97,98]

[54,120], [56, 120], [87,120], [95,120]

[48,124], [75,124]

[68,126], [82,126]

[66,144], [70, 144], [94,144]

[60,168], [78,168], [92,168]

Отсюда можно сделать вывод, что нахождение числа по его сумме

делителей не всегда возможно и не всегда однозначно.

Теперь построим график. По оси Х расположим числа, а по оси Y их сумму

делителей (числа от 1 до 1000):

Посмотрим, что же у нас получилось: на графике отчётливо просматриваются

несколько прямых линий, например, нижняя это – простые числа. Верхняя

граница – это наиболее сложные числа (имеющие наибольшее количество

делителей) - это не прямая, но и не парабола. Скорее всего, – это

показательная функция (у = ах).

В мемуарах Эйлера я нашел много интересных мне рассуждений(?(n) –

сумма делителей числа n): Определив значение ?(n) мы ясно видим, что если p

– простое, то ?(p)= p + 1. ?(1)=1, а если число n – составное, то ?(n)>1 +

n.

Если a, b, c, d – различные простые числа, то мы видим:

?(ab)=1+a+b+ab=(1+a)(1+b)= ?(a)?(b)

?(abcd)= ?(a)?(b)?(c)?(d)

?(a^2)=1+a+a2=[pic]

?(a^3)=1+a+a2+a3=[pic]

И вообще

?(nn)=[pic]

Пользуясь этим:

?(aqbwcedr)= ?(aq)?(bw)?(ce)?(dr)

Например ?(360), 360 = 23*32*5 => ?(23) ?(32) ?(5)=15*13*6=1170.

Чтобы показать последовательность сумм делителей приведём таблицу:

|n |0 |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |

|0 |- |1 |3 |4 |7 |6 |12 |8 |15 |13 |

|10 |18 |12 |28 |14 |24 |24 |31 |18 |39 |20 |

|20 |42 |32 |36 |24 |60 |31 |42 |40 |56 |30 |

|30 |72 |32 |63 |48 |54 |48 |91 |38 |60 |56 |

|40 |90 |42 |96 |44 |84 |78 |72 |48 |124 |57 |

|50 |93 |72 |98 |54 |120 |72 |120 |80 |90 |60 |

|60 |168 |62 |96 |104 |127 |84 |144 |68 |126 |96 |

|70 |144 |72 |195 |74 |114 |424 |140 |96 |168 |80 |

|80 |186 |121 |126 |84 |224 |108 |132 |120 |180 |90 |

|90 |234 |112 |168 |128 |144 |120 |252 |98 |171 |156 |

Если ?(n) обозначает член любой этой последовательности, а ?(n - 1),

?(n - 2), ?(n - 3)… предшествующие члены, то ?(n) всегда можно получить по

нескольким предыдущим членам:

?(n) = ?(n - 1) + ?(n - 2) - ?(n - 5) - ?(n - 7) + ?(n - 12) + ?(n -

15) - ?(n - 22) - ?(n – 26) + … (**)

Знаки «+» «-» в правой части формулы попарно чередуются. Закон чисел

1, 2, 5, 7, 12, 15…,которые мы должны вычитать из рассматриваемого числа n,

станет ясен если мы возьмем их разности:

Числа:1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100…

Разности: 1, 3, 2, 5, 3, 7, 4, 9, 5, 11, 6, 13, 7, 15, 8…

В самом деле, мы имеем здесь поочередно все целые числа 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7… и нечетные 3, 5, 7,9 11…

Хотя эта последовательность бесконечна, мы должны в каждом случае

брать только те члены, для которых числа стоящие под знаком ?, еще

положительны, и опускать ? для отрицательных чисел. Если в нашей формуле

встретиться ?(0), то, поскольку его значение само по себе является

неопределённым, мы должны подставить вместо ?(0) рассматриваемое число n.

Примеры:

?(1) = ?(0) =1

= 1

?(2) = ?(1) + ?(0) = 1 + 2

= 3

…

?(20) = ?(19)+?(18)-?(15)-?(13)+9?(8)+?(5)=20+39-24-14+15+6= 42

Доказательство теоремы (**) я приводить не буду.

Вообще, найти сумму всех делителей числа можно с помощью канонического

разложения натурального числа (это уже было сказано выше). Сумму делителей

числа n обозначают ?(n). Легко найти ?(n) для небольших натуральных чисел,

например ?(12) = 1+2+3+4+6+12=28(это было приведено выше). Но при

достаточно больших числах отыскивание всех делителей, а тем более их суммы

становится затруднительным. Совсем другое дело, если уже известно, что

каноническое

разложение числа n таково:[pic].

Его делителями являются все числа [pic], для которых 0 ? ?s ? ?s, s = 1, …,

k. Ясно, что ?(n) представляет собой сумму всех таких чисел при различных

значениях показателей

?1, ?2, … ?k. Этот результат мы получим раскрыв скобки в произведении

[pic]

По формуле конечного числа членов геометрической прогрессии приходим к

равенству

[pic] (*)

По этой формуле ?(360) = [pic] .

Формулу для вычисления значения функции ?(n) вывел замечательный английский

математик Джон Валлис(1616 - 1703) – один из основателей и первых членов

Лондонского Королевства общества (Академии наук). Он был первым из

английских математиков, начавших заниматься математическим анализом. Ему

принадлежат многие обозначения и термины, применяемые сейчас в математике,

в частности знак ? для обозначения бесконечности. Валлис вывел удивительную

формулу, представляющую число ? в виде бесконечного произведения:

[pic]

Д. Валлис много занимался комбинаторикой и её приложениями к теории шифров,

не без основания считая себя родоначальником новой науки – криптологии (от

греч. «криптос» - тайный, «логос» - наука, учение). Он был одним из лучших

шифровальщиков своего времени и по поручению министра полиции Терло

занимался в республиканском правительстве Кромвеля расшифровкой посланий

монархических заговорщиков.

С функцией ?(n) связан ряд любопытных задач. Например:

1.) Найти пару целых чисел, удовлетворяющих условию: ?(m1)=m2,

?(m2)=m1.

Некоторые из них не удаётся решить даже с использованием формулы (*).

Так, например, не иначе как подбором можно найти числа, для которых ?(n)

есть квадрат некоторого натурального числа. Такими числами являются 22, 66,

70, 81, 343, 1501, 4479865. Вот ещё две задачи, приведённые в 1657 г.

Пьером Ферма:

1. найти такое m, для которого ?(m3) – квадрат натурального числа (Ферма

нашёл не одно решение этой задачи);

2. найти такое m, для которого ?(m2) – куб натурального числа.

Например, одним из решений первой задачи является m = 7, а для второй m =

43098.

С помощью программы Derive, я попробовал найти ещё решения и у меня этого

не получилось. (я рассматривал ?(m3) = n2, где m принимает значения от 1

до 1000, а n от 1 до 5000 в 1.) и тоже самое в 2.) )

Формулы:

1. DELITELI(m) := SELECT(MOD(m, n) = 0, n, 1, m)

DIMENSION(DELITELI(m))

2. SUMMADELITELEY(m) := ?

ELEMENT(DELITELI(m), i)

i=1

Страницы: 1, 2, 3, 4