| |||||
МЕНЮ
| Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближенияСуществование решения дифференциального уравнения и последовательные приближенияМинистерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный университет» механико-математический факультет кафедра дифференциальных уравнений и теории управления специальность прикладная математика Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения Курсовая работа Выполнил студент 2 курса 1222 группы Труфанов Александр Николаевич Научный руководитель Долгова Ольга Андреевна __________ работа защищена «___»___________200_г. Оценка _______________ зав. Кафедрой профессор д.ф.-м.н. Соболев В.А. Самара 2004 Теорема существования и единственности решения уравнения Пусть дано уравнение [pic] с начальным условием [pic] Пусть в замкнутой области R [pic]функции [pic]и [pic]непрерывны). Тогда на некотором отрезке [pic]существует единственное решение, удовлетворяющее начальному условию [pic]. Последовательные приближения определяются формулами: [pic] [pic] k = 1,2.... Задание №9 Перейти от уравнения [pic] к системе нормального вида и при начальных условиях [pic], [pic], [pic] построить два последовательных приближения к решению. Произведем замену переменных [pic]; [pic] и перейдем к системе нормального вида: [pic] Построим последовательные приближения [pic] [pic] Задание №10 Построить три последовательных приближения [pic] к решению задачи [pic], [pic] Построим последовательные приближения [pic] [pic] Задание №11 а) Задачу [pic], [pic] свести к интегральному уравнению и построить последовательные приближения [pic] б) Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближения, и доказать их равномерную сходимость. Сведем данное уравнение к интегральному : [pic] [pic] [pic] Докажем равномерную сходимость последовательных приближений С помощью метода последовательных приближений мы можем построить последовательность [pic] непрерывных функций, определенных на некотором отрезке [pic], который содержит внутри себя точку [pic]. Каждая функция последовательности определяется через предыдущую при помощи равенства [pic] [pic]i = 0, 1, 2 … Если график функции [pic] проходит в области Г, то функция [pic] определена этим равенством, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция [pic], нужно, чтобы и график функции [pic] проходил в области Г. Этого удается достичь, выбрав отрезок [pic]достаточно коротким. Далее, за счет уменьшения длины отрезка [pic], можно достичь того, чтобы для последовательности [pic] выполнялись неравенства: [pic], i = 1, 2, …, где 0 < k < 1. Из этих неравенств вытекает следующее: [pic], i = 1, 2, …, Рассмотрим нашу функцию на достаточно малом отрезке, содержащим [pic], например, на [pic]. На этом промежутке все последовательные приближения являются непрерывными функциями. Очевидно, что т.к. каждое приближение представляет из себя функцию от бесконечно малого более высокого порядка, чем предыдущее приближение, то выполняются и описанные выше неравенства. Из этих неравенств следует: [pic] что и является условием равномерной сходимости последовательных приближений. С другой стороны, на нашем отрезке выполняется [pic], что также совершенно очевидно. А так как последовательность [pic] сходится, то последовательность приближений является равномерно сходящийся на этом отрезке. Список использованной литературы 1. Л.С. Понтрягин. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961 2. А.Ф. Филиппов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям», М.: Интеграл-Пресс, 1998 3. О.П. Филатов «Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям»,Самара: Издательство «Самарский университет», 1999 4. А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева «Дифференциальные уравнения», М.: Наука. Физматлит, 1998 |
ИНТЕРЕСНОЕ | |||
|