Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией

Министерство образования Российской Федерации

Башкирский государственный педагогический университет

Кафедра математического анализа

Дипломная квалификационная работа

Автор: Гарипов Ильгиз.

Тема: Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией.

К защите допущен ____________

Заведующий кафедрой к.ф. м. н. доцент Сафаров Т.Г.

Руководитель д.физ-мат. наук. профессор Султанаев Я.Т.

Уфа 2001

Содержание

Стр.

Введение 3

§ 1 Свойства функции [pic]. 4

§ 2 Свойства функции [pic] и ее производных. 5

2.1 [pic] 5

2.2 [pic] 6

2.3 [pic] где (>0 7

2.4 [pic] 9

§ 3 Поведение [pic] 11

3.1 [pic] 11

3.2 [pic] 11

3.3 [pic] 12

3.4 [pic] 13

§ 4 Поведение [pic] 14

4.1 [pic] 14

4.2 [pic] 15

4.3 [pic] 15

4.4 [pic] 16

Заключение 17

Литература 18

Введение

Пусть [pic] произвольная функция, определенная на [pic], и [pic]

при [pic]

Введем в рассмотрение функцию [pic] с помощью следующего равенства:

[pic] (1)

Назовем эту функцию усреднением функции [pic]

Это название оправдано так как из (1) и теоремы о среднем для интегралов

можем заключить

[pic][pic][pic]

[pic]

§ 2 Свойства функции [pic].

1. Если [pic], при [pic], то [pic] при [pic]

Доказательство:

[pic], [pic], [pic] [pic] ( N >0, [pic]: [pic] [pic]

2. [pic] (2)

3. [pic] (3)

Дифференцируя формулу (1) по dx получаем

[pic] (4)

[pic](5)

§ 2 Свойства функции [pic] и ее производных.

I) Рассмотрим вид функции [pic] для случаев когда [pic]:

2.1 [pic]

[pic]

2.2 [pic]

[pic]

2.3 [pic] где (>0;

[pic]

Разделим интеграл на два интеграла и вычислим их отдельно.

[pic]

Второй интеграл не оказывает влияния на первый, так как при [pic]функция

стремится к 0.

Доказательство:

[pic]

Рассматривая второй интеграл, мы получаем:

[pic]

Рассматривая первый интеграл, получаем:

[pic]

Последние два слагаемых полученных при интегрировании содержат в

произведении [pic], то есть при возрастании x эти слагаемые будут очень

быстро уменьшатся и весь интеграл при [pic] становится очень малым по

сравнению с первой частью. Поэтому можно считать что при [pic] [pic]

Следовательно:

[pic][pic]

[pic]

2.4. [pic]

[pic]

Наложить на[pic] ограничение, такое чтобы [pic]присутствие [pic] не влияло

на поведение функции.

[pic]

Рассматривая полученное выражение можно заметить что

[pic]

становится пренебрежительно малым по отношению к остальной части

как только [pic]. Ограничение №1

В тоже время

[pic]

Становится бесконечно малым как только [pic]. Ограничение №2

Раскрывая в оставшейся части скобки, по Биному Ньютона получаем, что

[pic]

должен быть очень малым при [pic]то есть

[pic]

так как [pic] ограниченная функция, к 0 должен стремится [pic].

[pic] [pic]

[pic]

[pic] Ограничение №3

Учитывая ограничения 1, 2, 3 получаем:

[pic]

Следовательно, [pic] ограничение на [pic] удовлетворяющее поставленной

задаче, при котором присутствие [pic]не влияет на поведение функции [pic].

§ 3 Рассмотрим поведение функции [pic]для случаев:

3.1) [pic]

[pic]

3.2) [pic]

[pic]

3.3) [pic]

[pic]

Вычислим отдельно интегральное выражение, стоящее в числителе:

[pic]=

[pic] [pic]

[pic][pic]

[pic]

рассматривая пределы при [pic] видим что на поведение функции оказывает

влияние только главный член [pic]

[pic]

Поведение данной функции при [pic] эквивалентно поведению функции

[pic] (*)

Вычислим интеграл в знаменателе:

[pic]=

[pic]

[pic] (**)

Учитывая (*)и (**) получаем

[pic]

Следовательно, по формуле (2) получаем [pic]

3.4 [pic]

[pic]

Отдельно вычислим числитель и знаменатель:

[pic]

По ранее доказанному в пункте 2.4 мы можем сказать что второй интеграл не

оказывает влияния на поведение функции. Поэтому мы можем утверждать, что

числитель эквивалентен выражению:

[pic]

Вычислим знаменатель:

[pic]

Разделив интеграл на 2 интеграла, мы получаем:

[pic]

По пункту 2.4 можем вывести что второй интеграл не влияет на поведение

функции при [pic]

Следовательно, знаменатель:

[pic]

§4. Рассмотрим поведение второй производной [pic]

Для облегчения вычислений введем обозначения:

[pic]

При этом формула для [pic]примет вид [pic] (6)

4.1 [pic]

[pic]

Виду того, что d(x) очень мал то [pic] будет несравним с d(x) т.е.

[pic]

4.2 [pic]

[pic]

используя равенства, полученные в пункте 2.2 и 3.2, преобразуя данное

равенство, приходим к выражению:

[pic]

(Все выкладки приводить не буду в виду их громоздкости и сложности для

восприятия. Добавлю только что все выкладки, примененные в данном пункте

полностью повторяют ограничения и эквивалентные выражения, использованные

в пунктах 2.2 и 3.2).

Отсюда следует что [pic]

4.3 [pic]

[pic]

Используя данные, полученные в п.3.3 получаем что

[pic]

Возвращаясь к п. 3.3 находим:

[pic]

Вычисляя [pic]по формуле 6, получаем:

[pic]

и [pic]

4.4 [pic]

[pic]

и [pic]

Заключение

В результате проведенного исследования поведения усредненной функции в

случае осциллирующих коэфициентов, получены данные приведенные в следующей

таблице:

|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

МЕНЮ

Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией

Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией

ИНТЕРЕСНОЕ