Три знаменитые классические задачи древности

Три знаменитые классические задачи древности

Министерство Образования РБ.

Средняя общеобразовательная школа №42

«Три знаменитые классические

задачи древности»

Выполнил: ученик 9 класса «Д» Иванов Иван

Проверил: Леонова Вера Михайловна

г. Улан – Удэ

2005 г.

Введение

Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было

в высокой степени развито в Древней Греции. Однако древним геометрам никак

не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и

линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не

считались геометрическими. К числу таких задач относятся так называемые три

знаменитые классические задачи древности:

о квадратуре круга о трисекции угла

[pic]

о удвоении S круга.

[pic]

Задача о квадратуре круга

Одной из древнейших и самых популярных математических задач, занимавшей

умы людей на протяжении 3 – 4 тысячелетий, является задача о квадратуре

круга, т.е. о построении с помощью циркуля и линейки квадрата,

равновеликому данному кругу. Если обозначить радиус круга через r, то речь

будет идти о построении квадрата, площадь которого равна [pic]r2, а сторона

равна r[pic]. Теперь известно, что число [pic]-отношение окружности к

своему диаметру – число иррациональное, оно выражается бесконечной

непериодической десятичной дробью 3,1415926… было, между прочим, вычислено

с 707 десятичными знаками математиком В. Шенксом. Этот результат вместе с

формулой вычислений он обнародовал в 1837 году. Ни одна ещё задача

подобного рода не решалась с таким огромным приближением и с точностью,

далеко превышающее отношение микроскопических расстояний к телескопическим.

Шенкс вычислял. Следовательно, он стоял в противоречии с требованиями

задачи о квадратуре круга, где требовалось найти решение построением.

Работа, сделанная Шенксом, в сущности бесполезна – или почти бесполезна.

Но, с другой стороны, она может служить довольно убедительным

доказательством противного тому, кто, убедившись доказательствами

Линдеманна и др. или не зная о них, до сих пор ещё надеется, что можно

найти точное отношение длины окружности к диаметру. Можно вычислить

приближенное значение [pic] (и корня квадратного из [pic]),

удовлетворяющее тем или иным практическим потребностям. Однако не в

практическом отношении интересовала людей задача о квадратуре круга, а

интересовала её принципиальная сторона: возможно ли точно решить эту

задачу, выполняя построения с помощью только циркуля и линейки.

Следы задачи о квадратуре круга можно усмотреть ещё в древнеегипетских и

вавилонских памятниках II тысячелетия до н.э. Однако непосредственная

постановка задачи о квадратуре круга встречается впервые в греческих

сочинениях V в. до н.э. В своём произведении « О изгнании » Плутарх

рассказывает, что философ и астроном Анаксагор (500 – 428 г. до н.э.)

находясь в тюрьме, отгонял печаль размышлениями над задачей о квадратуре

круга. В комедии « Птицы » (414 г. до н.э.) знаменитый греческий поэт

Аристофан, шутя на тему о квадратуре круга, вкладывает в уста Астронома

Метона следующие слова:

Возьму линейку, проведу прямую,

И мигом круг квадратом обернётся,

Посередине рынок мы устроим,

А от него уж улицы пойдут –

Ну, как на Солнце! Хоть оно само

И круглое, а ведь лучи прямые!..

Эти стихи говорят о том, что задача уже была к тому времени очень

популярна в Греции. Один из современников Сократа – софист Антифон считал,

что квадратуру круга можно осуществить следующим образом: впишем в круг

квадрат и, разделяя пополам дуги, соответствующие его сторонам, построим

правильный вписанный восьмиугольник, затем шестнадцати угольник и т.д.,

пока не получим многоугольник, который в силу малости сторон сольётся с

окружностью. Но так как можно построить квадрат равновеликий любому

многоугольнику, то и круг можно квадрировать. Однако уже Аристотель

доказал, что это будет только приближённое, но не точное решение задачи,

так как многоугольник никогда не может совпасть с кругом.

Квадратурой круга занимался также самый знаменитый геометр V в. до н.э. –

Гиппократ Хиосский. У многих занимавшихся этой задачей возникало сомнение,

возможно ли вообще построить прямолинейную фигуру, равновеликую

криволинейной. Эта возможность была доказана Гиппократом, построившим

лунообразные фигуры (Рис. 1), известных под названием «гиппократовых

луночек». В полукруг с диаметром [pic] вписан равнобедренный прямоугольный

треугольник BAC [pic]. На [pic] и [pic], как на диаметрах,

Рис. 1 описываются

полуокружности.

Фигуры-мениски ALBM и ADCE, ограниченными круговыми дугами, и называются

луночками.

По теореме Пифагора:

[pic]. (1)

Отношение [pic] площадей кругов или полукругов BMAEC и AECD равно, как

впервые доказал сам Гиппократ, отношению квадратов соответствующих

диаметров [pic], которые в силу (1) равно 2. Итак, площадь сектора OAC

ровна площади полукруга, построенного на диаметре [pic]. Если из обеих этих

равных площадей вычесть площадь сегмента ACE, то и получим, что площадь

треугольника AOC ровна площади луночки ADCE, или сумма площадей обеих

луночек равна площади равнобедренного треугольника BCA. Гиппократ нашёл и

другие луночки, допускающие квадрату, и продолжал свои изыскания в надежде

дойти до квадратуры круга, что ему, конечно, не удалось.

Различные другие, продолжавшиеся в течение тысячелетий попытки найти

квадратуру круга оканчивались неудачей. Лишь в 80-х годах 19в. было строго

доказано, что квадратура круга с помощью циркуля и линейки невозможна.

Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если применять, кроме

циркуля и линейки, еще другие средства построения. Так, еще в 4в. до н.э.

греческие математики Динострат и Менехм пользовались для решения задачи

одной кривой, которая была найдена еще в 5в. до н.э. Гиппием Элидским.

Однако ученых Древней Греции и их последователей такие решения, находящиеся

за пределами применения циркуля и линейки, не удовлетворяли. Будучи вначале

чисто геометрической задачей, квадратура круга превратилась в течение веков

в исключительно важную задачу арифметико-алгебраического характера,

связанную с числом [pic], и содействовала развитию новых понятий и идей в

математике.

Квадратура круга была в прежние времена самой заманчивой и соблазнительной

задачей. Армия «квадратурщиков» неустанно пополнялась каждым новым

поколением математиков. Все усиль были тщетны, но число их не уменьшалось.

В некоторых умах доказательство, что решение не может быть найдено,

зажигало ещё большее рвение к изысканиям. Что эта задача до сих пор не

потеряла своего интереса, лучшим доказательством служит появление до сих

попыток её решить.

Задача о трисекции угла

Знаменитой была в древности и задача о трисекции угла ( от латинских слов

tria – три и section – рассечение , разрезание), т.е.о разделении угла на

три равные части с помощью циркуля и линейки. Говорят, что такое

ограничение вспомогательных приборов знаменитым греческим философом

Платоном.

Так, деление прямого угла на три равные части умели производить ещё

пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый

угол равен 60о. Пусть требуется разделить на три равные части прямой угол

MAN (Рис. 2). Откладываем на полупрямой [pic] произвольный отрезок [pic],

на котором строим равносторонний треугольник ACB. Так как угол Рис. 2

CAB

равен 60о, то [pic]= 30о. Построим биссектрису [pic]

угла САВ, получаем искомое деление прямого угла MAN

на три равных угла: [pic], [pic], [pic].

Задача о трисекции угла оказывается разрешимой и при некоторых других

частных значениях угла (например, для углов в [pic], п – натуральное

число), однако не в общем случае, т.е. любой угол невозможно разделить на

три равных части с помощью только циркуля и линейки. Это было доказано лишь

в первой половине ХIХ в.

[pic]

Рис. 3, а, б, в: конхоида Никомеда

Задача о трисекции угла становится разрешимой и общем случае, если не

ограничиваться в геометрических построениях одними только классическими

инструментами, циркулем и линейкой. Попытки решения задачи с помощью

инструментов и средств были предприняты еще в V в. до н.э. Так, например,

Гиппий Элидский, знаменитый софист, живший около 420 г. до н.э.,

пользовался для трисекции угла квадратрисой. Александрийский математик

Никомед ( II в. до н.э.) решил задачу о трисекции угла с помощью одной

кривой, названной конхоидой Никомеда (рис. 3), и дал описание прибора для

черчения этой кривой.

[pic]

Рис. 4

Рис. 5

Интересное решение задачи о трисекции угла дал Архимед в своей книге

«Леммы», в которой доказывается , что если продолжить хорду [pic] (рис.4)

окружности радиуса r на отрезок [pic]= r и провести через С диаметр [pic],

то дуга BF будет втрое меньше дуги АЕ. Действительно на основе теорем о

внешнем угле треугольника и о равенстве углов при основании равнобедренного

треугольника имеем:

[pic],

[pic] [pic],

значит,

[pic]

Отсюда следует так называемый способ «вставки» для деления на три равные

части угла AOE. Описав окружность с центром O и радиусом [pic] и [pic],

проводим диаметр [pic]. Линейку CB на которой нанесена длина [pic] радиуса

r (например, помощью двух штрихов), прикладываем и двигаем так, чтобы её

точка C скользила по продолжению диаметра [pic], а сома линейка всё время

проходила бы через точку A окружности, пока точка B линейки не окажется на

окружности. Тогда угол BCF и будет искомой третьей частью угла AOE (Рис.5).

Как видно, в этом приёме используется вставка отрезка CB между продолжением

диаметра EF и окружностью так, чтобы продолжение отрезка CB прошло через

заданную точку A окружности. В указанном выше построении применяется,

помимо циркуля, не просто линейка как инструмент для проведения прямых, а

линейки с делениями, которая даёт длину определённого отрезка.

Вот ещё одно решение задачи о три секции угла при помощи линейки с двумя

насечками предложенное Кемпе:

Пусть дан какой – либо угол ABC (Рис. 6); и пусть на лезвии нашей линейки

обозначены 2 точки, P и Q (см. ту же фигуру, внизу)

Построение

На одной из сторон угла откладываем от вершины B прямую BA = PQ. Делим ВА

пополам в точке М; проводим линии [pic] Рис. 6

и

[pic].

Возьмём теперь нашу линейку и приспособим её к уже полученной фигуре так,

чтобы точка Р

линейки лежала на прямой КМ, точка Q лежала бы

на прямой LM, и в тоже время продолжение PQ линейки проходило бы через

вершину данного угла В. тогда прямая ВР и есть искомая, отсекающая третью

часть угла В.

Доказательство

[pic] как накрест лежащие. Разделим PQ пополам и середину N соединим с М

прямой NM. Точка N есть середина гипотенузы прямоугольного треугольника

PQM, а потому PN = NМ, а следовательно, треугольник PNM равнобедренный, и

значит

[pic]

Внешний же [pic]

Вместе с тем [pic].

Значит, [pic]

Итак: [pic]

(Ч.Т.Д.).

Приведённое выше решение задачи принадлежит Кемпле, который при этом

поднял вопрос, почему Евклид не воспользовался делением линейки и процессом

её приспособления для доказательства 4-й теоремы своей первой книги, где

вместо этого он накладывает стороны одного треугольника на стороны другого.

На это может ответить только, что в задачу Евклида и не входило отыскивание

некоторой точки по средствам измерения и процесса приспособления линейки. В

своих рассуждениях и доказательствах он просто накладывает фигуру на фигуру

– и только.

Задача об удвоении куба

Удвоение куба – так называется третья классическая задача древнегреческой

математики. Эта задача на ряду с двумя первыми сыграла большую роль в

развитии математических методов.

Задача состоит в построении куба, имеющий объём, вдвое больше объёма

данного куба. Если обозначить через а ребро данного куба, то длина ребра х

искомого куба должно удовлетворять уравнению

x3 = 2a3, или x = [pic]

Задача является естественным обобщением аналогичной задачей об удвоении

квадрата, которая решается просто: стороной квадрата, площадь которого

равна 2а2, служит отрезок длиной а[pic], т.е. диагональ данного квадрата со

стороной а. Наоборот удвоение куба, объём которого равен 2а3, т.е. отрезок

х, равный [pic], не может быть построен при помощи циркуля и линейки.

Однако это было доказано лишь в первой половине XIX в.

Задача об удвоении куба носит так же название «делосской задачи» в связи

со следующей легендой.

На острове Делос (в Эгейском море) распространялась эпидемия чумы. Когда

жители острова обратились к оракулу за советом, как избавится от чумы, они

получили ответ: «Удвойте жертвенник храма Аполлона». Сначала они считали,

что задача легка. Так как жертвенник имел форму куба, они построили новый

жертвенник, ребро которого было в два раза больше ребра старого

жертвенника. Делосцы не знали, что таким образом они увеличили объём куба

не в 2 раза, а в 8 раз. Чума ещё больше усилилась, и в ответ на вторичное

обращение к оракулу последний посоветовал: «Получше изучайте геометрию…»

Согласно другой легенде, бог приписал удвоение жертвенникам не потому, что

ему нужен вдвое больший жертвенник, а потому, что хотел упрекнуть греков,

«которые не думают о математике и не дорожат геометрией».

Задачей удвоения куба еще в V в. до н.э. занимался Гиппократ Хиосский,

который впервые свел ее к решению следующей задачи: построить «два средних

пропорциональных» отрезка х, у между данными отрезками а, b, т.е. найти х и

у, которые удовлетворяли в следующей непрерывной пропорции:

а : х = х : у = у : b (1)

Суть одного механического решения задач об удвоении куба, относящегося к

IV в. до н.э. , основано на методе двух средних пропорциональных. Отложим

на стороне прямого угла отрезок [pic]=а, где а- длина ребра куба (рис.7), а

на другой его стороне – отрезок [pic]=2а. На продолжениях сторон прямого

угла стараемся найти такие точки M и N , чтобы (АМ) и (ВN) были

перпендикулярны к (MN); тогда [pic](х) и [pic](у) будут двумя серединами

пропорциональными между отрезками [pic] и [pic]. Для этого устраивается

угольник с подвижной линейкой. Линейку располагают так, как показано на

рисунке.

Имеем:

[pic]: [pic] = [pic] : [pic] = [pic] : [pic],

или

а : х = х : у = у : 2а.

Отсюда

[pic]

или

[pic],

т.е.

[pic].

Это значит что отрезок [pic] искомый.

Архит Тарентский дал интересное стереометрическое решение «делосской

задачи». После него, кроме Евдокса, дали свои решения Эратосфен, Никомед,

Аполлоний, Герон, Папп и др.

Итак, все старания решить три знаменитые задачи при известных

ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к

доказательству, что подобное решение невозможно. Иной, пожалуй, по этому

поводу скажет, что, следовательно, работа сотен умов, пытавшихся в течении

столетий решить задачу, свелась ни к чему… Но это будет неверно. При

попытках решить эти задачи было сделано огромное число открытий, имеющих

гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи. Попытка

Колумба открыть новый путь в Индию, плывя всё на запад, окончилась, как

известно, неудачей. И теперь мы знаем, что так необходимо и должно было

случиться. Но гениальная попытка великого человека привела к «попутному»

открытию целой новой части света, перед богатством и умственным развитием

которого бледнеют ныне все сокровища Индии.

Древность завещала решение всех трёх задач нашим временам.