Теория вероятностей

вероятность Р(A) события A={??x??, 0?????1} определяется равенством

Р(А)=Р(??x??)=?–? (9.1)

Иначе говоря, здесь как раз вероятность того, что случайная величина х

принимает то или иное значение в пределах отрезка {??x??,0?????1},

определяется геометрически через длину этого отрезка.

Рассмотрим случайную величину х, которая может принять конечное число n

различных значений [pic] с вероятностями Р[pic]Р[pic].

Например, если мы бросаем один раз игральную кость, то случайной величиной

х будет выпавшее количество очков, т.е.k=6,[pic], Р[pic]Р[pic]Р[pic].

10.Математическое ожидание.

Математическим ожиданием E(x) для случайной величины x, которая может

принимать значения x[pic][pic] и только такие значения с вероятностями

Р(x[pic])=Р[pic], называют число, которое определяется равенством

i=k i=k

E(x)=Sxi·Рi, S Рi=1, Рi?0, i=1,…,k (10.1)

i=1 i=1

Например, в случае с игральной костью математическое ожидание количества

очков x, которое выпадет, будет согласно (10.1) числом

E(x)=(1/6)?(1+2+3+4+5+6)=(1/6)?21=7/2=[pic] (10.2)

Смысл понятия математического ожидания раскрывается в законе больших чисел.

Этот закон проявляется следующим образом. Если сделать подряд очень большое

число n независимых испытаний при одинаковых условиях, и таких, что каждый

раз осуществляется одно из значений рассматриваемой случайной величины х,

то с вероятностью очень близкой к единице, то есть практически наверняка и

с большой степенью точности будет выполняться приближенное равенство

(x(1)+x(2)+…+x(n))/n ? E(x) (10.3)

Здесь x(i)–значение случайной величины x, которое появляется в i-том

испытании. Закон больших чисел обоснован теоретически при определенных

аксиомах теории вероятностей и многократно подтвержден на практике.

Пусть некоторая случайная величина х* является суммой случайных величин

[pic]

[pic] (10.4)

тогда математическое ожидание E(x*) равно сумме математических ожиданий

Е(х[pic])

[pic] (10.5)

11.Дисперсия случайной величины.

Дисперсией D(x) случайной величины х называют число, которое

определяется по формуле

D(x)=E(x–E(x))[pic] (11.1)

Поэтому дисперсия D(x) случайной величины х, которая может принимать

значения [pic] с вероятностями Р[pic],…Р[pic] определяется, как число

i=k i=k j=k

D(x)=S(x[pic]–E(x))[pic]?P[pic]=S(x[pic]–[pic])[pic]?P[pic]

(11.2)

i=1 i=1 j=1

Например, в случае с игральной костью для дисперсии D(x) получаем следующее

число

D(x)=[pic]=(1/6)?((1-7/2)[pic]+(2-7/2)[pic]+(3-7/2)[pic]+(4-7/2)[pic]+(5-

7/2)[pic]+(6-

7/2)[pic])=(1/6)?(25/4+9/4+1/4+1/4+9/4+25/4)=(1/6)?(35/2)=35/12 (11.3)

Пусть некоторая случайная величина х* является суммой (10.4) случайных

величин [pic]. Пусть эти случайные величины независимы. Это означает, что

вероятность, с которой может осуществиться то или иное значение случайной

величины [pic] не зависит от того, какое значение принимают другие

случайные величины [pic]. Тогда доказывается, что дисперсия случайной

величины х* является суммой дисперсии случайных величин [pic]

[pic][pic] (11.4)

Важно заметить, что если случайные величины не являются независимыми, то

дисперсия их суммы не обязательно равна сумме их дисперсий.

12.Закон больших чисел.

В этом разделе приведу аккуратную формулировку закона больших чисел,

которая восходит к замечательному математику нашей страны П.Л.Чебышеву.

Пусть имеем некоторую случайную величину х. Выберем какое-нибудь

положительное число М. Отберем те значения [pic] случайной величины х, для

которых выполняется условие

[pic] (12.1)

Из выражения для дисперсии (11.2) и из неравенства (12.1) вытекает

следующее неравенство

[pic]Р[pic][pic]Р[pic][pic]Р[pic] (12.2)

Здесь суммирование в (12.2) выполняется по тем индексам j, для

которых выполнено неравенство.

Предположим теперь, что произведено n независимых испытаний. Пусть в

i-том испытании осуществляется значение случайной величины [pic]. Пусть

математические ожидания и дисперсии всех этих независимых случайных величин

одинаковы. Тогда согласно материалу из разделов 10,11 для суммы

[pic] (12.3)

этих случайных величин и из (12.2) получаем следующее неравенство

[pic]Р[pic]

·Р[pic] (12.4)

Так как случайные величины [pic] независимы, то дисперсия их суммы равна

сумме их дисперсий. Кроме того, все дисперсии [pic] равны друг другу [pic]

и все математические ожидания [pic] тоже равны друг другу [pic]. Поэтому из

(12.4) получаем неравенство

[pic]Р[pic] (12.5)

Введем число ?=M/n. Тогда из (12.5) получаем неравенство

Р[pic] (12.6)

Отсюда для противоположного события

[pic] (12.7)

из (12.6) получаем следующее неравенство П.Л.Чебышева

Р[pic] (12.8)

Таким образом, из (12.8) получается закон больших чисел П.Л.Чебышева:

Для любого сколь угодно малого положительного числа ? и числа ?N, будет справедливо неравенство

Р[pic] (12.9)

В самом деле, согласно (12.8) достаточно выбрать в качестве числа N

наименьшее из натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству [pic], то есть

[pic] (12.10)

Это означает следующее. Какие бы числа [pic] и [pic] мы ни выбрали, если

сделать количество n независимых испытаний больше, чем число N, то среднее

значение случайной величины будет отличаться от математического ожидания

меньше, чем на ? с вероятностью большей, чем ?. Иначе говоря, при

неограниченном увеличении числа независимых испытаний среднее значение

случайной величины стремится к математическому ожиданию Е с вероятностью,

приближающейся к единице.

13.Испытания по схеме Бернулли.

Так называется следующая серия независимых испытаний. Пусть

производится n испытаний. В i-том испытании может осуществиться случайное

событие Ai с вероятностью Рi,i=1,…,n. Все события Аi независимы в

совокупности. То есть вероятность события Аi не зависит от того,

осуществляются или нет события Аj,j=1,…,n, j[pic]i. Рассмотрим здесь такой

частный случай, когда все вероятности Рi равны друг другу и равны p,0‹p‹1.

То есть

Р(Аi)=p, P(Ai*)=q, q=1-p, 0‹p‹1, 0‹q‹1, i=1,…,n (13.1)

Например, пусть испытания состоят в том, что случайная точка [pic] в

i-том испытании обязательно появляется в квадрате со стороной равной

единице. Событие Аi состоит в том, что точка [pic] оказывается в четверти

круга, вписанного в квадрат и имеющего радиус равный единице (см.раздел7).

Согласно (7.2) имеем

Р(Ai)=p=[pic] (13.2)

Справедливо следующее утверждение.

Теорема Бернулли: Пусть производится n испытаний по схеме Бернулли. Пусть

события Аi осуществились в m испытаниях.

Для любых чисел [pic] и [pic] найдется такое натуральное число N, что при

числе испытаний n>N будет справедливо неравенство

P(|m/n–p|[pic] (13.3)

В самом деле, свяжем с i-тым испытанием случайную величину [pic].

Пусть эта величина принимает значение равное единице, если осуществляется

событие Аi, и [pic] принимает значение равное нулю, если событие Аi не

осуществляется, т.е. осуществляется противоположное событие Аi*. Вычислим

математическое ожидание Еi и дисперсию Di случайной величины [pic]. Имеем

[pic]p[pic]q=p (13.4)

[pic]p[pic]p[pic]p[pic]q[pic]q[pic]?p+p[pic]?q=p?q?(q+p)=p?q?1=p?q

(13.5)

Так как в нашем случае

[pic] (13.6)

то из закона больших чисел (12.9),(12.10) получаем неравенство

(13.3), если только

[pic] (13.7)

Это и доказывает теорему Бернулли.

Например, если мы хотим проверить теорему Бернулли на примере вычисления

числа ? с точностью до [pic] с вероятностью большей, чем [pic], то нам надо

сделать испытания по схеме Бернулли в соответствии с разделом 7, т.е.

получить согласно текущему разделу неравенство

P(|m/n–?/4|0.99 (13.8)

Для этого согласно (13.7) достаточно выбрать число

[pic] (13.9)

с большим запасом.

Такое испытание было сделано на компьютере по программе, приведенной

в следующем разделе. Получилось

4?m/n=3.1424 (13.10)

Мы знаем, что число ?=3.1415925626…. То есть действительно получилось

число с точностью по крайней мере до 0.01.

14.Программа вычисления числа ? по схеме Бернулли.

CLS

INPUT "Введите n=", n

RANDOMIZE

FOR i = 1 TO n

x = RND

y = RND

IF (x * x + y * y) < 1 THEN m = m + 1 ELSE m = m

NEXT i

pi = 4 * m / n

PRINT "pi = ", pi

15.Метод Монте-Карло.

Испытания по схеме Бернулли составляют основу вычислительного метода,

который предложил Фон-Нейман для расчета сложных процессов. Например, для

расчетов при создании атомной бомбы. Этот метод он назвал методом Монте-

Карло в честь города, в котором идет игра в рулетку. Суть этого метода

состоит в том, что подбираются такие испытания по схеме Бернулли, в которых

вероятности событий Аi и определяют интересующую вычислителя величину.

Простейший пример вычисления по методу Монте-Карло и приведен в разделах

13,14 для числа ?. Особенно удобно вычислять методом Монте-Карло площади и

объемы сложных фигур и тел.

16.Стрельба по вепрю.

Задача 16.1.:

Три охотника стреляют по вепрю. Известно, что первый охотник попадает

в цель с вероятностью 0.7. Второй – с вероятностью 0.5. Третий – с

вероятностью 0.3. Результат стрельбы каждого из них не зависит от

результатов стрельбы других. Все три охотника дали один залп.

Какова вероятность, что в вепря попали 2 пули?

Решение:

Назовем попадание первого охотника событием А1, попадание второго –

А2, попадание третьего – А3.

Для того, чтобы попали две пули необходимо и достаточно, чтобы

осуществилось одно и только одно из следующих трех несовместных событий:

В1-первый попал, второй попал, третий промазал, В1=А1[pic]А2[pic]А3*

В2-первый попал, второй промазал, третий попал, В2=А1[pic]А2*[pic]А3

В3-первый промазал, второй попал, третий попал, В3=А1*[pic]А2[pic]А3

Так как события попадания для разных стрелков независимы, то вероятности

попадания равны произведению вероятностей. Поэтому

Р(В1)=Р(А1)?Р(А2)?Р(А3*)=0.7?0.5?0.7=0.245

Р(В2)=Р(А1)?Р(А2*)?Р(А3)=0.7?0.5?0.3=0.105

Р(В3)=Р(А1*)?Р(А2)?Р(А3)=0.3?0.5?0.7=0.105

Интересующее нас событие С=В1[pic]В2[pic]В3. Так как события В1,В2 и

В3 несовместны, то вероятность объединения равна сумме вероятностей событий

Вi,i=1,2,3

Р(С)=Р(В1)+Р(В2)+Р(В3)=0.245+0.105+0.105=0.455 (16.1)

Ответ: Вероятность, что попали 2 пули равна 0.455.

Задача 16.2.:

Те же охотники дали залп по другому вепрю. Известно, что попали 2 пули.

Какова вероятность, что попал первый охотник?

Решение:

Интересующая нас вероятность есть условная вероятность Р(А1|С) события А1

при условии, что произошло событие С. По формуле Бейеса имеем

Р(А1|C)=P(C|A1)?P(A1)/P(C) (16.2)

По определению условной вероятности P(C|A1) (3.1) и (3.2) имеем

P(C|A1)?P(A1)=Р(С[pic]А1) (16.3)

Но событие С[pic]А1 происходит тогда и только тогда, когда происходит

одно из двух несовместимых событий

С2=А2[pic]А3*[pic]А1 (16.4)

С3=А3[pic]А2*[pic]А1 (16.5)

То есть имеем

(С[pic]А1)=(А2[pic]А3*[pic]А1)[pic](А3[pic]А2*[pic]А1) (16.6)

Р(С[pic]А1)=Р(А2[pic]А3*[pic]А1)+Р(А3[pic]А2*[pic]А1)=0.5?0.7?0.7+0.3?0.5?0.

7=

=0.245+0.105=0.35 (16.7)

Таким образом, согласно (16.2) для искомой условной вероятности

Р(A1|C) получим значение

Р(A1|C)=P(C|A1)?P(A1)/P(C)=0.35/0.455=0.769 (16.8)

Ответ: Вероятность того, что попал первый охотник при условии, что

попало в вепря две пули равна 0.769.

17.Решение задач о встрече методом Монте-Карло.

Рассматриваемые в этом разделе задачи являются обобщением задачи 8.1.

по встрече из раздела 8.

Задача 17.1.:

Мария, Иван и Петр хотят встретиться в промежутке времени от 0 до 1

часа пополудни. Каждый из них появится на месте встречи в свой случайный

момент времени [pic] или соответственно [pic] или [pic] из отрезка [pic].

Каждый пришедший ждет своего товарища в течение 20 минут или до момента

времени t=1, если от момента прихода до момента времени t=1 остается меньше

20 минут.

Какова вероятность, что они все трое встретятся?

Решение:

Сделаем построение подобное построению из раздела 8. Только теперь

построение будет в пространстве. Введем прямоугольную систему координат

XYZ. Полагаем х=[pic],у=[pic],z=[pic]. Тогда точка с координатами х,у и z

соответствует приходу Марии в момент времени х=[pic], Ивана – в момент

у=[pic] и Петра – в момент z=[pic]. Достоверному событию ? соответствует в

пространстве XYZ куб [pic] Событию А, которое осуществляется, если Мария,

Иван и Петр все встретятся соответствует тело [pic]. Это тело состоит из

точек, лежащих в кубе [pic] и к тому же удовлетворяющих условиям

|x–y|?1/3, |y–z|?1/3, |x–z|?1/3 [pic] (17.1)

Поэтому

Р(А)=[pic] (17.2)

Здесь [pic] есть объем куба [pic], [pic] есть объем тела [pic].

Вычислить объем тела

[pic][pic] |x–y|?1/3,|y–z|?1/3,|x–z|?1/3 (17.3)

затруднительно. Вычислим его методом Монте-Карло по схеме Бернулли. При

этом будем работать со случайными величинами [pic], которые принимают

значение равное единице, когда точка [pic] оказывается в теле [pic], и

[pic] принимают значение равное нулю, когда точка [pic] оказывается вне

тела [pic]. Тогда согласно геометрическому определению вероятности и закону

больших чисел (см.разделы 7 и 12) полагаем

[pic]P(A)=[pic] (17.4)

Здесь n – число испытаний по бросанию точки [pic] в куб [pic], m –

число попаданий в тело [pic]. Равенство (17.4) выполняется с большой

точностью и с большой вероятностью, если число испытаний n достаточно

велико.

Такие испытания, выполненные на компьютере при n=1000000 дали

следующий результат

Р(А)=[pic]0.259 (17.5)

Ответ: Вероятность Р(А) того, что Мария, Иван и Петр все встретятся

равна 0.259.

Задача 17.2.:

Условия задачи 17.2. повторяют условия задачи 17.1. Но вопрос в

задаче 17.2. является таким.

Какова вероятность, что встретятся по крайней мере двое из трех?

Решение:

Назовем событием В событие, что встретятся по крайней мере двое из

трех. Повторим построения по аналогии с построением для задачи 17.1. Только

в случае события В искомая вероятность Р(В) определяется формулой

Р(B)=[pic]m/n (17.6)

Здесь [pic] есть объем тела [pic], которое определяется условиями

[pic][pic]|x–y|?1/3)[pic]([pic] (17.7)

где запятая заменяет логическую связку and.

Объем [pic] тела [pic] был вычислен снова на компьютере по схеме

Бернулли. Только здесь число m в (17.6) означает число попаданий точки

[pic] в тело [pic]. Испытания при n=1000000 дали следующий результат

Р(В)=[pic]0.964 (17.8)

Ответ: Вероятность Р(В), что встретились по крайней мере двое из трех

равна 0.964.

Задача 17.3.:

Условия задачи 17.3. повторяют условия задачи 17.2. Но вопрос в

задаче 17.3. является таким.

Какова вероятность, что встретятся двое и только двое из трех?

Решение:

Назовем событием С событие, что встретятся двое и только двое из

трех. Повторим построения по аналогии с построением для задачи 17.2. Только

в случае события С искомая вероятность Р(С) определяется формулой

Р(С)=[pic]m/n (17.9)

Здесь [pic] есть объем тела [pic], которое определяется условиями

[pic][pic]|x–y|?1/3,|y–z|>1/3,|x-z|>1/3)[pic]

([pic](17.10)

где запятая заменяет логическую связку and.

Объем [pic] тела [pic] был вычислен снова на компьютере по схеме

Бернулли. Только здесь число m в (17.9) означает число попаданий точки

[pic] в тело [pic]. Испытания при n=1000000 дали следующий результат

Р(C)=[pic]0.520 (17.11)

Ответ: Вероятность Р(C), что встретились двое и только двое из трех

равна 0.520.

Задача 17.4.:

Условия задачи 17.4. повторяют условия задачи 17.3. Но вопрос в

задаче 17.4. является таким.

Какова вероятность, что не встретились никто из трех?

Решение:

Назовем событием D событие, что не встретится никто из трех. Повторим

построения по аналогии с построением для задачи 17.3. Только в случае

события D искомая вероятность Р(D) определяется формулой

Р(D)=[pic]m/n (17.12)

Здесь [pic] есть объем тела [pic], которое определяется условиями

[pic][pic]|x-z|>1/3),([pic] (17.13)

где запятая заменяет логическую связку and.

Объем [pic] тела [pic] был вычислен снова на компьютере по схеме

Бернулли. Только здесь число m в (17.12) означает число попаданий точки

[pic] в тело [pic]. Испытания при n=1000000 дали следующий результат

Р(D)=[pic]0.037 (17.14)

Ответ: Вероятность Р(D), что не встретятся никто из трех равна 0.037.

Задача 17.5.:

Условия задачи 17.5. повторяют условия задачи 17.3. Но вопрос в

задаче 17.5. является таким.

Какова вероятность, что встретится один из трех с каждым из двух

других, но эти другие двое друг с другом не встретятся?

Решение:

Назовем событием Е событие, что встретится один из трех с каждым из

двух других, но эти другие двое друг с другом не встретятся. Повторим

построения по аналогии с построением для задачи 17.3. Только в случае

события Е искомая вероятность Р(Е) определяется формулой

Р(Е)=[pic]m/n (17.15)

Здесь [pic] есть объем тела [pic], которое определяется условиями

[pic][pic]|x–y|?1/3,|х–z|?1/3,|у-z|>1/3)[pic]

([pic](17.16)

где запятая заменяет логическую связку and.

Объем [pic] тела [pic] был вычислен снова на компьютере по схеме

Бернулли. Только здесь число m в (17.15) означает число попаданий точки

[pic] в тело [pic]. Испытания при n=1000000 дали следующий результат

Р(Е)=[pic]0.182 (17.17)

Ответ: Вероятность Р(Е), что встретится один из трех с каждым из двух

других, но эти другие двое друг с другом не встретятся равна 0.182.

Проверка результатов

Р(А)+Р(С)+Р(Е)=Р(В) (17.18)

0.259+0.520+0.182[pic]0.964 (17.19)

Р(В)+Р(D)=1 (17.20)

0.964+0.037[pic]1 (17.21)

Программы, реализующие испытания по схеме Бернулли для задач 17.1.-17.5.,

приведены в разделе 18.

18.Программы, реализующие испытания по схеме Бернулли для задач 17.1.-17.5.

1. CLS

INPUT "Введите количество испытаний n=", n

RANDOMIZE

FOR i = 1 TO n

x = RND

y = RND

z = RND

IF (ABS(x - y) 1 / 3) AND (ABS(x - z) > 1 /

3)) OR ((ABS(x - z) 1 / 3) AND (ABS(x - y) > 1

/ 3)) OR ((ABS(y - z) 1 / 3) AND (ABS(x - y) >

1 / 3)) THEN m = m + 1 ELSE m = m

NEXT i

p = m / n

PRINT "p=", p

4. CLS

INPUT "Введите количество испытаний n=", n

RANDOMIZE

FOR i = 1 TO n

x = RND

y = RND

z = RND

IF (ABS(x - y) > 1 / 3) AND (ABS(x - z) > 1 / 3) AND (ABS(z - y) > 1 / 3)

THEN m = m + 1 ELSE m = m

NEXT i

p = m / n

PRINT "p=", p

5. CLS

INPUT "Введите количество испытаний n=", n

RANDOMIZE

FOR i = 1 TO n

x = RND

y = RND

z = RND

IF ((ABS(x - y) 1 /

3)) OR ((ABS(x - z) 1

/ 3)) OR ((ABS(y - z) > 1 / 3) AND (ABS(x - z) <= 1 / 3) AND (ABS(x - y) <=

1 / 3)) THEN m = m + 1 ELSE m = m

NEXT i

p = m / n

PRINT "p=", p

-----------------------

[pic]

Страницы: 1, 2