Уравнения математической физики

Уравнения математической физики

§ 1.Тема. Некоторые определения и обозначения.

Определение.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные

неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной переменной,

то это обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе - уравнение в частных

производных.

Определение.

Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение,

называется порядком уравнения.

Определение.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если производные и сама

неизвестная функция входят в уравнение линейным образом.

[pic] (1)

Пусть выбран любой[pic], где [pic], и его норма:

[pic]- дифференциальный оператор.

[pic] - запись линейного диф. уравнения с помощью диф. оператора.

(2)

Определение.

Открытое, связное множество [pic] называется областью.

По умолчанию будем считать область ограниченной.

Через [pic]или [pic] будем обозначать границу области.

Определение.

[pic] - (n-1)-мерное многообразие S в [pic] принадлежит классу [pic]

([pic]), если

для [pic] и [pic] такие, что:

[pic], где [pic]

[pic] однозначно проектируется на плоскость [pic], при этом:

D - проекция данного множества на плоскость [pic], [pic] - k раз непрерывно

дифференцируема в D по всем переменным.

[pic]

Можно разбить поверхность на части, в каждой части можно одну координату

выразить через другие непрерывно дифференцируемой функцией.

[pic] - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q.

[pic] - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в [pic].

[pic], аналогично [pic].

[pic] - множество финитных k раз непрерывно дифференцируемых функций.

Аналогично: [pic].

§ 2. Классификация линейных уравнений в частных производных второго

порядка.

[pic].

[pic] - матрица квадратичной формы.

[pic] - n вещественных собственных значений матрицы A

[pic] - количество положительных собственных значений.

[pic] - количество отрицательных собственных значений.

[pic] - количество нулевых собственных значений с учетом кратности.

1.Если [pic]= n или [pic]= n, то это эллиптическое уравнение.

Ex: Уравнение Пуассона

[pic].

2.Если [pic] = n - 1, [pic] = 1, или [pic] = 1, [pic] = n - 1, то

уравнение гиперболическое.

Ex: [pic] - волновое уравнение.

Для уравнения Лапласа:

[pic]

Для волнового уравнения:

[pic]

3.Если [pic], а [pic], то ультрагиперболическое уравнение.

Ex: [pic].

4.Если [pic], то параболическое уравнение.

Ex: [pic], и - уравнение теплопроводности.

[pic]

Определение.

Каноническим видом линейного дифференциального уравнения в частных

производных называется такой вид, когда матрица A является диагональной.

Приведение к каноническому виду.

1) y=y(x), то:

[pic]

Уравнение (1) в новой системе координат:

[pic] (1')

Матрица Якоби:

[pic].

В результате:

| |

|[pic] |

| |

Ex:

[pic]

гиперболическое уравнение.

[pic] - канонический вид волнового уравнения.

Замечание: тип уравнения может быть различный в различных точках.

§ 3.Постановка начальных и краевых задач для уравнений в частных

производных.

Задача Коши для волнового уравнения:

[pic] [pic]

Уравнение теплопроводности

[pic] [pic]

Уравнение Пуассона

[pic]

Определение.

Если малые изменения правой части уравнения приводят к большим изменениям в

решении, то задача считается некорректной.

[pic] (6)

[pic] (7.1)

[pic] (7.2)

[pic] (7.3)

(6)(7.1) - первая краевая задача, задача Дирихле.

(6)(7.2) - вторая краевая задача, задача Неймана.

(6)(7.3) - третья краевая задача.

Волновое уравнение.

[pic] (8)

[pic]

[pic] (9)

[pic] (10)

[pic] (11.1)

[pic] (11.2)

[pic] (11.3)

(8) (9) (10) (11.1) - смешанные

(11.2) задачи

(11.3) (краевые задачи)

[pic] - единичный вектор внешней нормали к поверхности.

На [pic] задаются начальные условия.

На боковой поверхности - краевые задачи.

Параболическое уравнение.

[pic] (12)

[pic] (13)

[pic] (14.1)

[pic] (14.2)

[pic] (14.3)

(12) (13) (14.1) - первая, вторая и третья смешанные задачи

(14.2) для уравнения

(14.3) теплопроводности.

(14.1) - на границе задана температура;

(14.2) - задан тепловой поток;

(14.3) - задан теплообмен с окружающей средой.

§ 4. Решение смешанных задач для волнового уравнения методом Фурье

(разделением переменных).

Первая смешанная задача.

[pic] (1)

[pic] (2)

[pic] (3)

[pic] (4)

[pic] (5)

[pic] (6)

Собственные значения (5) - (6) вещественны, имеют конечную кратность.

[pic]

[pic] - изолир. [pic].

[pic] - ортонормированный базис в [pic].

В симметричной матрице собственные вектора, соответствующие разным

собственным значениям, попарно ортогональны.

Пусть функции [pic] - разложены по базису [pic]

[pic]

тогда и u(t,x) можно разложить по базису [pic] : [pic]

Почленно дифференцируем ряд 2 раза:

[pic]

[pic] (7)

Путём разложения решения в ряды по собственным функциям задачи алгебраизуем

задачу, получаем счётное число обыкновенных дифференциальных уравнений.

[pic] (8)

[pic] (9)

(7) (8) (9) - задача.

Решим однородное уравнение для (7):

[pic]

- общее решение однородного уравнения (7)

[pic]

[pic] (10)

[pic]

В результате: [pic] - частное решение неоднородного уравнения (7).

[pic] - общее решение уравнения (7).

Подставим (8) и (9) в решение:

[pic]

т.е. [pic].

| [pic] |

Замечание: не обоснована сходимость рядов.

§ 5.Решение смешанных задач уравнения теплопроводности методом Фурье

(разделения переменных).

[pic] (1)

[pic] (2)

[pic] (3)

[pic] (4)

[pic] (5)

[pic] - собственные векторы и собственные значения.

[pic]

[pic] (6)

[pic]

[pic] - общее решение однородного уравнения (6)

[pic] - частное решение неоднородного уравнения (6)

[pic]

[pic] - общее решение уравнения (6).

[pic]

| [pic] |

Рассмотрим функцию:

[pic]

[pic] - бесконечно дифференцируема при [pic].

Если [pic] из [pic], то:

[pic]

[pic], и при [pic] функция склеивается как бесконечно гладкая.

[pic]

[pic]-финитная :[pic]

[pic] - замыкание множества, где [pic] отлична от 0.

[pic].

Введём [pic] - функция n переменных.

Свойства [pic] :

1) [pic]- бесконечно дифференцируемая, финитная:

[pic].

2) [pic] - замкнутый шар радиуса h с центром в O.

[pic].

3)[pic]

Доказательство.

[pic], С находится из условия [pic].

4) [pic].

Обозначим: [pic]

[pic][pic]

Интеграл по x бесконечно дифференцируем.

[pic]

Если [pic], то: [pic]

Носитель функции принадлежит области интегрирования, и: [pic].

Если [pic], то [pic] : [pic].

Свойства функции [pic]:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic] - срезающая функция.

Пространство [pic].

Определение.

Пусть [pic]. Назовём множество функций [pic], пространством [pic], если:

- [pic] - измеримы в Q;

- [pic] в смысле Лебега.

Вводится [pic]. Выполняются все аксиомы скалярного произведения.

Утверждение (без доказательства).

[pic] - полное пространство.

Вводится [pic].

Свойства пространства [pic].

Теорема 1.

Множество финитных бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в

пространстве [pic] :

[pic].

Доказательство.

Множество ступенчатых функций плотно в [pic].

Множество линейных комбинаций характеристических функций всюду плотно в

[pic].

Доказать: любую характеристическую функцию измеримого множества можно сколь

угодно точно аппроксимировать финитными функциями.

Любое измеримое множество сколь угодно точно может быть аппроксимировано

открытыми областями.

Доказать: характеристическую функцию [pic] можно сколь угодно точно

аппроксимировать финитными бесконечно гладкими функциями.

[pic] [pic]

Рассмотрим [pic] - финитная, бесконечно дифференцируема в [pic].

[pic]

Значит, [pic].

[pic]

Аппроксимация получена.

Теорема 2.

Множество непрерывных функций всюду плотно в пространстве [pic].

Определение 2.

Пусть [pic] и считается продолженной нулем вне Q [pic]. Скажем:

f - непрерывна в среднеквадратичном, если [pic]:

[pic].

[pic]

Теорема 3.

Любая функция из [pic] непрерывна в среднеквадратичном.

Доказательство.

Пусть [pic]. Пусть [pic]

[pic]

Оценим:

[pic]

При сдвиге supp сдвигается в пределах шара радиуса 2a.

[pic] [pic]

Теорема доказана.

Определение 3.

[pic]

[pic] - бесконечно дифференцируема, финитна.

[pic]

Свойства:

[pic]

[pic] - осреднение функции f.

Теорема 4.

[pic]

Любая функция из [pic] сколь угодно точно аппроксимируема своими

осреднениями - бесконечно дифференцируемыми, финитными в [pic].

Доказательство.

[pic]

От Q к [pic], от [pic] к [pic]

[pic]

При [pic].

Возьмем любые две функции:

[pic]

Определение.

[pic]- множество функций, принадлежащих [pic] на любом компакте внутри

области.

[pic]

Определение 1.

Пусть [pic]

[pic] - обобщённая производная функции f, если [pic] выполняется:

[pic] (1)

Теорема 1.

Обобщённая производная определяется единственным образом.

Доказательство.

Предположим противное: [pic] - обобщённые производные функции f.

[pic] (2)

[pic] (3)

(2),(3) - тождество для [pic]

[pic] - что и требовалось доказать.

Теорема 2.

Обобщённые производные не зависят от порядка дифференцирования.

Доказательство - из интегрального тождества (1).

Примеры обобщённых производных.

Ex 1.

[pic]

По определению:

[pic]

Пусть [pic] и [pic]

[pic]

|[pic] |

Ex 2.

[pic]

Покажем, что обобщённой производной не существует.

Пусть [pic], то:

[pic]

где [pic]

[pic]

1) пусть [pic] носитель в [pic], то :

[pic]

2) пусть [pic] : [pic], значит:

[pic]

Вывод: [pic].

[pic]

Вывод: [pic], не имеет обобщённой производной.

Теорема 3.

Пусть [pic] имеет обобщённую производную [pic], то:

1. [pic] (4)

[pic]

если [pic].

2. Если к тому же [pic]

[pic] (6)

[pic] (7)

Доказательство.

[pic]

Выберем h так, чтобы [pic]

[pic]

[pic]

Подсказка: если функция финитна, то её носитель - внутри области.

Если функцию умножить на срезающую, то ничего не изменится.

Теорема 4.

[pic]

Утверждение.

Пусть [pic], то [pic]

[pic]

Пусть [pic] - открытый компакт, то [pic] для [pic]

[pic]

[pic]

Теорема 5.

Пусть [pic]. [pic] имеет обобщённые производные [pic] и [pic], то

существует обобщённая производная [pic].

Пространство Соболева.

Определение.

[pic], такая, что [pic] называется пространством Соболева порядка k.

[pic]

Обозначения: [pic], [pic] или [pic].

Введём [pic].

Утверждение.

[pic] - гильбертово(унитарное, сепарабельное).

Теорема 1.

[pic] - полное пространство.

Доказательство.

[pic] - фундаментальная в [pic] [pic]

[pic].

[pic] - мультииндекс

[pic] - может быть равен 0.

[pic]

[pic] в [pic].

[pic] в [pic].

Интегральное тождество для [pic]:

[pic]

Из сильной сходимости следует слабая:

[pic]

[pic]

Вывод: пространство полное.

Свойства пространств Соболева.

1.[pic] для [pic].

2.Если [pic], то [pic].

3.Если [pic], то [pic].

4.Если [pic], то

[pic]

если [pic], то [pic].

5.[pic] - невырожденное, k раз непрерывно дифференцируемое преобразование,

отображающее [pic] в [pic].

[pic] и пусть [pic].

Пусть [pic].

Пусть [pic], то [pic].

Утверждение.

Невырожденная, гладкая замена переменных сохраняет принадлежность функции

пространству Соболева.

6.Обозначим [pic] - куб со стороной 2a с центром в начале координат.

Множество бесконечно дифференцируемых функций замыкания куба является всюду

плотным в [pic].

[pic].

[pic]

Доказательство.

Раздвинем область, возьмём [pic] и будем её аппроксимировать

последовательностью бесконечно гладких функций.

[pic] (определена в растянутом кубе)

[pic]

Оценим: [pic]

[pic]

Выберем [pic] и рассмотрим [pic]

[pic]

Разбиение единицы.

Теорема.

Пусть [pic] - ограниченная область, пусть [pic] - покрытие замыкания Q,

[pic] - может равняться бесконечности.

[pic] - открытые, тогда: существует конечный набор [pic] - финитные,

бесконечно дифференцируемые в [pic], неотрицательные функции, такие, что:

[pic]

Используется для локализации свойства: U имеет свойство на [pic], расширяем

D на [pic] путём домножения на [pic].

Доказательство.

Возьмём [pic]. Для [pic] - y покрывается множеством [pic].

Для каждой выбранной y построим:

[pic]

[pic] покрывается [pic]. Из бесконечного покрытия выберем конечное

подпокрытие:

[pic].

Обозначим: [pic]. Обозначим: [pic].

Определим: [pic]:

[pic]

Получили: [pic].

Если [pic], то [pic], [pic], и [pic].

Знаменатель в 0 не обращается.

Построена

[pic] выполняется свойство 3.

[pic] - выполняются свойства 1 и 2.

Теорема о разбиении единицы доказана.

Теорема о продолжении функции.

Частный случай - продолжение из прямоугольников.

[pic]

[pic]

Продолжение функции из [pic] в [pic].

Лемма 1.

[pic] [pic] - продолжение функции f:

[pic] и [pic]

1.Определить функцию.

2.Проверить условие сливания: совпадание значений функции и её производных

по [pic] до k-го порядка.

Доказательство.

Определим [pic] (2)

Коэффициенты [pic] из условия:

[pic]

[pic] (3)

[pic]

Значит, функция непрерывна.

Теперь - доказательство совпадения производных.

[pic]

Выполняется одно уравнение из (3), и:

[pic].

Значит: [pic].

Неравенство (1) очевидно через определение нормы в [pic].

Замечание: из доказательства и свойства (6) пространств Соболева следует:

можно перейти к [pic] - пространству Соболева с выполнением этой теоремы, и

(1) тоже справедливо.

Замечание: в силу того, что множество бесконечно дифференцируемых функций в

замыкании куба всюду плотно в пространстве [pic] в этом кубе и в силу того,

что протсранство Соболева инвариантно относительно невырожденной гладкой

замены переменных.

Лемма 2.

[pic]

[pic] (4)

Теорема о продолжении функции.

Пусть[pic] - ограниченная область, граница [pic]. Пусть [pic] ([pic]-

область), тогда:

[pic] - продолжение f, такая, что:

1)[pic]

2)[pic]

3)[pic] (5)

Замечание.

Лемма 1 - рассмотрены кубики, в теореме: из Q на [pic] и все свойства, как

в лемме 1.

[pic]

Доказательство.

[pic]

В окрестности каждой точки границы: [pic] нарисуем шар [pic].

Пусть в O(z) граница задаётся уравнением [pic].

Введём новые переменные:

[pic] - невырожденное преобразование координат.

Преобразование: [pic] - внутри пространства Соболева.

Во что перейдёт множество: [pic]

Вырезали куб [pic].

[pic]

Результат преобразования

Прообраз куба [pic] - криволинейный кубик.

Покроем границу кубиками Vi и выберем конечное подпокрытие.

(Tju)(y) = u(x(y)) (xVj) - переход от x к y,

переход от y к x : [pic]

[pic]

Введём : [pic] [pic] если [pic]

[pic]

[pic] на носителях [pic] обратятся в 1.

[pic]

Свойства оператора продолжения:

1. F(x) - ограниченный оператор;

2. Т.к. [pic] - финитная, то F(x) - финитная на

Доказать: F(x)=f(x),если [pic].

[pic]

Замечание.

Теорема 1 остаётся справедливой для пространств [pic] (следует из

доказательства).

Теорема 2.

Пусть [pic] - ограниченная область

[pic] , [pic]- всюду плотно в [pic].

Доказательство.

Рассмотрим произвольную функцию [pic].

[pic] - ограниченная.

F-продолжение f. Так как F - финитная в , то [pic]

[pic]

Сепарабельность пространств Соболева.

Теорема.

Пусть [pic] - ограниченная область, [pic], тогда :

[pic] - сепарабельное.

Построениe счётного всюду плотного множества.

Доказательство.

Рассмотрим [pic] ; продолжение функции f : [pic].

Аппроксимируем функцию F . Множество финитных, бесконечно дифференцируемых

функций (в силу свойств осреднений) всюду плотно в пространстве финитных

функций [pic].

Очевидно : [pic].

Где коэффициенты : [pic].

Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство.

Определение.

Функции [pic] образуют ортонормированную систему, если [pic] , и [pic] .

Утверждение.

В каждом сепарабельном гильбертовом пространстве существует

ортонормированный базис, т.е. такая система [pic] ,что [pic].

Разложение по этому базису единственно, и : [pic].

Равенство Парсеваля.

[pic].

Пространство [pic] - сепарабельное гильбертово пространство с

ортонормированным базисом : можно взять систему экспонент (нормированную).

Разложение в сходящийся ряд :

[pic]

Определим вид коэффициентов Фурье:

[pic]

проинтегрируем по частям и получим :

[pic] , где [pic]

Получаем : [pic] и следовательно :

[pic]

F можно точно аппроксимировать линейными комбинациями экспонент.

Искомое множество - линейное пространство экспонент с рациональными

коэффициентами.

След функции из Hk(Q).

Для функции из[pic] понятие значения на (n-1)- мерной поверхности не

определено.

Если [pic] удовлетворяет условиям дифференцируемости, то :

определение следа функции на (n-1)- мерной поверхности.

Рассмотрим [pic][pic] -ограниченную область, [pic].

[pic] - (n-1) - мерная поверхность, [pic].

Пусть [pic]

[pic]

[pic]Можно разбить на конечное число простых кусков, однозначно

проецирующихся на координа тные плоскости и описывающиеся уравнением :

[pic][pic]

[pic]

Для любой непрерывной функции след - её значение на поверхности, однозначно

продолженое по непрерывности.

[pic]

Так как f=0 вне области Q , то по формуле Ньютона-Лейбница :

[pic]

Оценим :

[pic]

Обе части умножим на [pic] и проинтегрируем по D :

[pic]

f- финитная.

Так как [pic] может быть продолжена в [pic] финитным образом,

Страницы: 1, 2, 3