Уравнения математической физики, читаемым авторов на факультете Прикладная математика в МАИ

f- финитная.

Так как [pic] может быть продолжена в [pic] финитным образом,

[pic], причём [pic]

[pic]

Существует последовательность [pic]

[pic][pic]

Отсюда следует фундаментальность последовательности следов в [pic]

[pic]- полное, следовательно[pic] - сходится, [pic]

Перейдём к пределу, получим :

[pic]

Утверждение.

Определение [pic] не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности

[pic].

Доказательство.

Пусть есть две последовательности [pic] в [pic].

Пусть [pic].

Следовательно, должны совпадать два предела в [pic].

Рассмотрим

[pic]

Значит : [pic], и [pic].

Если функция непрерывна в [pic] и принадлежит [pic], то её понятие следа

как значения непрерывной функции и как предела совпадают.

Формула интегрирования по частям.

Пусть Q- ограниченная, [pic].

[pic], [pic] - единичный вектор внешней нормали к [pic].

Теорема Реллиха-Гординга.

Если [pic], то [pic], если [pic] сходится в [pic], то [pic] сходится в

[pic][pic].

Пространство Соболева с большим показателем дифференцируемости k компактно

вложено в ространство Соболева с меньшим показателем.

Пусть [pic]- ограничена, [pic], тогда : [pic] - компактно вложено в [pic].

Множества, ограниченные в [pic], являются предкомпактными в [pic].

Определение.

Предкомпактными называются такие множества, замыкания которых компактны.

Из любой ограниченной последовательности функций из [pic] можно выбрать

подпоследовательность, сходящуюся в [pic].

Или : Для [pic] можно выбрать [pic] , сходящуюся в [pic].

Доказательство.

1. Продолжим функции [pic] финитным образом в более широкую область ,

[pic].

Оператор продолжения ограничен, и : [pic].

Т. к. множество финитных, бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно

в пространстве функций [pic] с компактными носителями, то без ограничения

общности рассуждений можно считать, что все функции [pic] - бесконечно

дифференцируемы в [pic] .

[pic]- из неё будем выбирать сходящуюся подпоследовательность.

Используем преобразование Фурье : [pic].

[pic].

В силу финитности : [pic]

Оценим по неравенству Коши-Буняковского: [pic]

Свойство.

В гильбертовом пространстве из ограниченной последовательности можно

выделить слабо сходящуюся подпоследовательность.

[pic] - слабо сходящаяся в [pic] .

[pic] - сходящаяся для любой непрерывной линейной функции [pic].

В качестве [pic] возьмём функции :

[pic] - сходится [pic]

Докажем, что [pic] - фундаментальна в [pic][pic]

[pic]

Так как последовательность [pic] сходится для любых и ограничена, то для

интеграла [pic] применяем теорему Лебега о предельном переходе под знаком

интеграла, получаем :

[pic][pic], где [pic]- радиус шара.

[pic]

исходя из теоремы Планшереля (в обратную сторону) и свойств преобразования

Фурье :

[pic]

Выбором R, интеграл [pic] можносделать сколь угодно малым, т.е. :[pic].

Если [pic] и k,m - выбрать , то : [pic] , и последовательность

[pic] - фундаментальна.

Формула интегрирования по частям

[pic] (1)

[pic][pic]- ограничена, [pic].

[pic] (2)

[pic]

В уравнении (2) перейдем к пределу при [pic], получаем уравнение (1).

Пространство [pic]

Определение.

Назовём пространством [pic][pic] замыкание пространства финитных непрерывно

дифференцируемых функций в [pic].

[pic]- замыкание [pic] в [pic].

Если есть [pic], то :

[pic].

Если [pic], то [pic]. Справедливо и обратное утверждение.

Теорема.

[pic].[pic]- ограничена, [pic].

Определение.

Эквивалентные нормы.

Пусть H - гильбертово пространство со скалярным произведением ( . , . ).

Скалярное произведение [pic]. , . [pic] называется эквивалентным ( . , . )

, если :

[pic]

[pic].

Из эквивалентности скалярных произведений можно пользоваться любым.

Теорема 2.

В пространстве [pic] можно ввести скалярное произведение по формуле :

[pic]

(3)

Доказательство.

[pic]

Надо доказать :

[pic]

(4)

Доказательство от противного.

[pic]

Будем считать, что [pic], а это значит : [pic]

[pic][pic] (по теореме Реллиха-Гординга)

[pic]

Имеем противоречие.Теорема доказана.

Обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

[pic]

Пусть [pic]- решение задачи (1)-(2). Возьмем [pic] и умножим (1) на [pic],

проинтегрируем и получим :

[pic]. Если [pic]- гладкая, то :

[pic]

(3)

Определение.

Функция [pic] называется обобщенным решением задачи (1)-(2), если для любой

функции [pic] выполняется тождество (3).

При исследовании обобщенных решений [pic].

Лемма.

Существует линейный ограниченный оператор [pic], такой, что [pic].

При этом [pic] -компактный самосопряжённый положительный оператор.

По определению : [pic]. [pic] - антилинейный по [pic].

[pic].

f -ограничен, следовательно применим теорему Рисса :

[pic]

F - линейно зависит от u.[pic][pic]

[pic].

Компактность очевидна по теореме Реллиха-Гординга.

[pic]

Самосопряженность доказана.

[pic]

Теорема.

Для любой функции [pic] cуществует единственный [pic] краевой задачи (1)

(2). При этом

[pic]

(4)

Задача Дирихле для уравнения Пуассона корректна, т.е. существует

единственное решение непрерывно зависящее от правой части.

Доказательство.

[pic]

Собственные значения и собственные функции оператора Лапласа.

[pic]

Определение.

Функция [pic] называется обобщенной собственной функцией оператора - с

условиями Дирихле, соответствующей обобщенному собственному значению , если

она удовлетворяет следующему интегральному тождеству :

[pic][pic]

(3)

Теорема.

1. Собственные значения задачи (1) (2), являются вещественными,

положительными, изолированными, имеют конечную кратность, и :

[pic]

2.Существует ортонормированный базис в [pic] состоящий из собственных

функций задачи (1) (2) [pic].

3. [pic] составляет ортонормированный базис в [pic] с эквивалентным

скалярным произведением :

[pic]

(4)

Доказательство.

Интегральное тождество (3) можно записать в виде :

[pic] , [pic] , [pic].

Эквивалентная задача : [pic]

Теорема 1.

Если [pic] - линейный ограниченный самосопряженный оператор, тогда спектр

[pic] - вещественный, и :

[pic]

Теорема 2.

Пусть [pic] - компактный, самосопряженный оператор, тогда [pic] состоит из

{0} и некоторого (конечного или счетного) множества изолированных

собственных значений конечной кратности :

[pic]

{0} всегда принадлежит спектру компактного оператора.

Теорема 3.

Пусть [pic] - копактный, самосопряженный оператор, тогда существует

ортонормированный базис в пространстве [pic], состоящий из собственных

функций этого оператора : [pic].

Для удобства [pic][pic] ,

[pic].

Значит : [pic] - ортонормированная система в [pic].

Так как [pic] всюду плотно в [pic], то [pic] образует ортонормированный

базис в [pic].

[pic]

Значит : [pic] образует ортонормированный базис в [pic].

Рассмотрим задачу :

[pic]

(1)

где [pic]

Краевые условия :

[pic]

(2)

[pic]

(3)

[pic]

(4)

[pic]

(5)

[pic]

(6)

[pic]

(7)

[pic]

(8)

[pic]

(9)

Теорема 1.

Если однородная краевая задача имеет единственное тривиальное решение, то

неоднородное неоднородная краевая задача (1) (2) имеет единственное решение

для [pic].

2. Если (3) (4) имеет нетривиальное решение , то (1) (2) разрешима тогда и

только тогда, когда [pic] для любого w, являющегося решением (5) (6)

3. Задачи (3) (4) и (5) (6) имеют одинаковое число линейно независимых

решений.

Теорема Фредгольма.

Рассмотрим уравнения

[pic]

(10)

[pic]

(11)

[pic]

(12)

где I - единичный оператор в H, C - компактный оператор в H.

1. Если однородное уравнение (11) имеет единственное тривиальное решение,

то для [pic] существует единственное решение уравнения (10).

2. Если уравнение (11) имеет нетривиальное решение, то уравнение (10)

разрешимо тогда и только тогда, когда [pic].

3. [pic]

Оценим член : [pic]

[pic]

[pic] - компактно.

[pic]

(13)

[pic]

(14)

Изучим член :

[pic]

Значит :

[pic]

(15)

(1) (2) [pic]

(16)

(3) (4) [pic]

(17)

(5) (6) [pic]

(18)

Доказана первая часть теоремы.

Пусть (3) (4) имеет нетривиальное решение, тогда [pic]

Т.е. [pic]

Теорема доказана.

Разложение решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в ряд по

собственным функциям.

[pic]- ограничено (1)

[pic]

(2)

[pic] (3)

[pic] в [pic]

[pic]

Конечноразностные операторы.

Цель : Аппроксимация обобщенных производных конечноразностными операторами.

[pic]

Пусть [pic]- финитная в Q :

[pic] (1)

Аналог формулы интегрирования по частям :

[pic]

Обозначим : [pic].

Теорема.

Пусть [pic], тогда :

1) если [pic], где [pic], то :

[pic]

(3)

и при этом :

[pic]

(4)

2) Если для [pic], то : [pic]

Доказательство.(1ая часть теоремы)

Из теорем об аппроксимации функции f и её обобщённой производной

осреднениями функции f и её обобщенной производной сооответственно следует,

что достаточно доказать часть теоремы для финитной бесконечно

диффреренцируемой функции.

[pic]

[pic] (3)

[pic]

(4)

[pic]

[pic] - доказано (3)

[pic]

(применив неравенство Коши-Буняковского)

[pic]

По теореме Фубини имеем неравенство :

[pic]

Доказательство. (2-ая часть. )

[pic]

Значит : [pic]

Доказательство теоремы 2.

Пусть [pic][pic]- ограниченная, односвязная область. [pic].

Q - симметрично относительно [pic], т.е. если [pic], то [pic].

[pic]

Обозначим :

[pic]

Теорема 2.

Пусть [pic], тогда :

1) если [pic], где [pic], то :

[pic]

2) если [pic], то : [pic]

Указание. Для доказательства рассмотреть :

[pic]

По определению обобщённой производной в (1) получаем :

[pic] , тогда :

[pic]

Локальная гладкость обобщённых решений.

[pic]

[pic] ограниченная.

Обобщённое решение : [pic],

[pic] (3)

Теорема 1.

Для любого [pic] обобщённое решение u задачи (1) (2)

[pic]

независимо от гладкости границы, если правая часть из [pic] , то обобщённое

решение тоже гладко.

Доказательство.

[pic][pic]

[pic]

Достаточно доказать, что [pic] в каждом из шаров : [pic].

Обозначим [pic].

В качестве v для (3) возьмём :

[pic]

- финитная, бесконечно дифференцируемая.

[pic], v может быть использована как пробная :

Подставим v в (3) :

[pic]

(умножение u на срезающую функцию для локализации свойства в шаре )

[pic] (4)

Введём конечноразностный оператор. Пусть [pic].

[pic].

[pic] (5)

Представим (5) в виде : [pic].

Оценим : [pic]

По неравенству Коши-Буняковского :

[pic]

[pic],

где [pic].

Подставляем в решение в качестве пробной функции :

[pic]

Результат : [pic]

[pic]

(6)

В силу 2-ой части теоремы 1 (см. стр. ...) : [pic].

u имеет обощённые производные [pic].

Обобщение Теоремы на случай произвольной гладкости правой части.

Теорема 2.

Пусть [pic] - ограничена, [pic] - обобщённое решение задачи (1) (2), тогда

: [pic].

Гладкость обобщённых решений эллиптических задач вблизи границ.

[pic]

(1)

[pic]

(2)

[pic]

(3)

Теорема 1.

Пусть [pic] - ограниченная область : [pic]

[pic] - обобщённое решение (1) (2), тогда

[pic].

Доказательство.

[pic]

Доказать, что [pic].

Пусть в окрестности X и Y граница создаётся уравнением :

[pic]

Не ограничивая общности рассуждений будем считать, что граница плоская.

Введём срезающую функцию :

[pic]

Подставим v в (3), получим :

[pic] (4)

Введём конечноразностный оператор. Пусть [pic].

[pic].

При этом : [pic].

[pic] (5)

Представим (5) в виде : [pic].

Через неравенство Коши-Буняковского, получим :

[pic],

где [pic].

Подставляем в решение в качестве пробной функции :

[pic]

В силу 2-ой части теоремы 1 (см. стр. ...) : [pic].

u имеет обощённые производные [pic].

Лемма.

Пусть [pic] - обобщённое решение (1) (2), тогда :

[pic] - ограничена, следовательно u удовлетворяет уравнению (1) почти

всюду в Q.

Будем считать : [pic].

[pic]

Значит : [pic].

Теорема 2.

Пусть [pic] - ограниченная область, [pic] - обобщённое решение задачи (1)

(2), тогда : [pic].

Теорема "вложения" Соболева.

[pic]- ограниченная область, [pic], следовательно [pic] -непрерывно

вложено.

Определение.

Непрерывность оператора наложения - это

[pic] почти всюду в Q .

[pic]

(1)

Доказательство (теоремы).

[pic], где [pic],

если [pic], и :

[pic]

(2)

Доказательство (1) будет следовать из доказательства (2) и

[pic]

(3)

Пусть (3) доказана для любой финитной, гладкой [pic] , то в этом случае

теорема справедлива для [pic].

[pic];

[pic]; следует фундаментальность :

[pic]

(4)

(Замечание. Предел в смысле почти всюду : [pic] п.в.

Остаётся доказать (3) для любых финитных, бесконечно дифференцируемых в

функций.

[pic]

Преобразование Фурье : [pic],

где [pic].

[pic]

умножим и разделим на [pic] и применим неравенство Коши-Буняковского.

[pic]

Докажем, что интеграл конечен :

[pic]

Где [pic].

Теорема полностью доказана.

Обобщённые и классические решения.

[pic]

(1)

[pic]

(2)

Функция [pic] - называется классическим решением задачи (1) (2), если она

удовлетворяет уравнению (1) и краевым условиям (2).

Теорема 1.

Если [pic], то обобщённое решение [pic] обладает следующими свойствами :

[pic].

Доказательство.

Пусть [pic], тогда :

[pic]

Теорема 2.

Пусть [pic] - ограниченная область;

[pic], тогда обобщённое решение

[pic].

Доказательство. [pic]

Теорема 3.

Пусть [pic] - ограниченная область;

[pic], тогда обобщённое решение

[pic] и является классическим решением задачи Дирихле для уравнения

Пуассона.

Доказательство. [pic], следовательно всюду в Q удовлетворяет уравнению (1)

и условию (2).

Теорема 4.

Пусть [pic] - обобщенная собственная функция оператора [pic] с

однородными условиями Дирихле, тогда: [pic].

Доказательство.

[pic]

Если [pic]

[pic]

По теореме вложения: [pic]

Задача Неймана для уравнения Пуассона.

[pic]

Определение.

Функция называется обобщенным решением задачи (1) (2), если:

[pic]

Пусть [pic] - ограниченная область.

Теорема 1.

Задача (1) (2) разрешима тогда и только тогда , когда правая часть

уравнения (1) ортогональна константам, т.е: [pic].

Лемма.

Существует линейный ограниченный оператор , такой, что:

1)[pic]

2) [pic] - компактный, самосопряженный, положительный оператор.

Доказательство - аналогично.

[pic]

Рассмотрим однородное уравнение:

для однородной задачи (1) (2) [pic]

имеет нетривиальное решение.

По определению обобщенного решения : [pic]

[pic]

Теорема доказана.

Рассмотрим уравнение:

[pic]

Теорема 2.

1. Если задача (3) (4) имеет единственное решение, то задача (1) (2) также

имеет единственное решение для [pic].

2. Если задача (3) (4) имеет нетривиальное решение, то задача (1) (2)

разрешима тогда и только тогда, когда [pic] , где w - решение однородной

сопряженной задачи.

3. Размерности подпространств в решениях задач (3) (4) и (5) (6) совпадают

и конечны.

Задача Неймана:

[pic]

Рассмотрим задачу на собственные значения:

[pic]Теорема 3.

1. Собственные значения оператора Лапласа с "-" с условиями Неймана

вещественные, конечнократные, неотрицательные и состоят из следующих чисел:

[pic].

2. Соответствующие собственные функции [pic] составляют ортонормированный

базис в [pic].

3. [pic] составляют ортонормированный базис в [pic].

Доказательство.

[pic]

Первая часть теоремы доказана.

По Гильберту-Шмидту строится [pic] - ортогональный базис в [pic] и пусть

[pic].

[pic]

[pic] - ортонормированный базис в [pic].

Теорема 3 доказана.

Задача Дирихле - однозначная разрешимость.

Теорема 4 о гладкости решения задачи Неймана.

Пусть [pic] - правая часть уравнения. Пусть [pic] - обобщенное решение

задачи (1) (2), тогда: [pic]

Доказательство - аналогично теореме 3.

Теорема 5.

Пусть граница [pic] ; пусть правая часть [pic] . [pic] - обобщенное

решение задачи (1) (2), тогда: [pic].

Теорема 6.

Пусть граница [pic] ; правая часть - [pic] ; [pic] - обобщенное решение

задачи (1) (2), тогда: [pic].

Доказательство.

Обобщенное решение: [pic] для [pic].

[pic]

Уравнение (1) выполняется почти всюду в Q , и:

[pic]

Метод Ритца.

Суть: сведение бесконечномерного случая к конечномерному.

Рассмотрим: [pic], где:

l(u) - линейный, ограниченный функционал в [pic].

Найдем минимум квадратичного функционала:

[pic]

[pic]- конечное число.

Найдется [pic] такая, что: [pic] - минимизирующая последовательность.

[pic], такой, что: E(u)=d . u - минимизирующий элемент.

Теорема 1.

Существует единственный [pic], минимизирующий функционал E . При этом этом

любая минимизирующая последовательность является сходящейся к элементу u :

[pic] .

Доказательство.

Возьмем любую минимизирующую последовательность. Очевидно:

[pic]

Почленно сложим соотношения с "+" и с "-":

[pic]

Доказано: последовательность [pic] - фундаментальная в полном пространстве,

значит: [pic] и, значит :

[pic].

Доказано: если [pic] - минимизирующая последовательность, то она сходится к

минимальному элементу.

Доказательство единственности от противного: пусть есть второй минимальный

элемент; составим минимизирующую последовательность: [pic].

Она не сходится, значит, второй минимальный элемент не существует.

Пусть [pic] составляют линейно независимую систему функций, линейная

оболочка которой плотна в [pic], т.е. полная система, значит:

[pic] может быть аппроксимирован [pic].

Обозначим через [pic] - конечномерное подпространство [pic] , натянутое на

первые k функций [pic].

Рассмотрим [pic] - задача сводится к конечномерной.

[pic], и E(.) может быть представлен в виде функции k переменных; обозначим

её: [pic]

Страницы: 1, 2, 3

МЕНЮ

Уравнения математической физики, читаемым авторов на факультете Прикладная математика в МАИ

ИНТЕРЕСНОЕ