Цепные дроби

Содержание

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Глава I. ПРАВИЛЬНЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

§1. Представление рациональных чисел цепными дробями

§2. Подходящие дроби. Их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

Глава II. БЕСКОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

§1. Представление действительных иррациональных чисел правильными

бесконечными цепными дробями

1.1. Разложение действительного иррационального числа в правильную

бесконечную цепную дробь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. Сходимость правильных бесконечных цепных дробей . . . . .

1.3. Единственность представления действительного иррационального числа

правильной бесконечной цепной дробью

§2. Приближение действительного числа рациональными дробями с заданным

ограничением для знаменателя

2.1. Оценка погрешности при замене действительного числа его подходящей

дробью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

2.2. Приближение действительного числа подходящими дробями

2.3. Теорема Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4. Подходящие дроби как наилучшие приближения

§3. Квадратические иррациональности и периодические цепные дроби . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§4. Представление действительных чисел цепными дробями общего вида . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Используемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Введение

Целью моей курсовой работы является исследование теории цепных дробей. В

ней я попытаюсь раскрыть свойства подходящих дробей, особенности разложения

действительных чисел в неправильные дроби, погрешности, которые возникают в

результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения

ряда алгебраических задач.

Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли.

Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского

математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо

Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их

использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к

разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их

обобщение.

Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-

1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и

др. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому

математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью

цепных дробей дифференциальных уравнений.

Глава I. Правильные конечные цепные дроби.

§1. Представление рациональных чисел цепными дробями.

Целое число, являющееся делителем каждого из целых чисел [pic],

называется общим делителем этих чисел. Общий делитель этих чисел называется

их наибольшим общим делителем, если он делится на всякий общий делитель

данных чисел.

Пусть [pic] - рациональное число, причем b>0. Применяя к a и b алгоритм

Евклида для определения их наибольшего общего делителя, получаем конечную

систему равенств:

[pic]

где неполным частным последовательных делений [pic] соответствуют остатки

[pic] с условием b>[pic]>[pic]>…>[pic]>0, а соответствует остаток 0.

Системе равенств (1) соответствует равносильная система

[pic]

из которой последовательной заменой каждой из дробей [pic] и т.д. ее

соответствующим выражением из следующей строки получается представление

дроби [pic] в виде:

[pic]

Такое выражение называется правильной (конечной) цепной или правильной

непрерывной дробью, при этом предполагается, что [pic] – целое число, а

[pic], …, [pic] - натуральные числа.

Имеются различные формы записи цепных дробей:

[pic]

Согласно последнему обозначению имеем

[pic]

Числа [pic], [pic], …, [pic] называются элементами цепной дроби.

Алгоритм Евклида дает возможность найти представление (или разложение)

любого рационального числа в виде цепной дроби. В качестве элементов цепной

дроби получаются неполные частные последовательных делений в системе

равенств (1), поэтому элементы цепной дроби называются также неполными

частными. Кроме того, равенства системы (2) показывают, что процесс

разложения в цепную дробь состоит в последовательном выделении целой части

и перевертывании дробной части.

Последняя точка зрения является более общей по сравнению с первой, так

как она применима к разложению в непрерывную дробь не только рационального,

но и любого действительного числа.

Разложение рационального числа [pic] имеет, очевидно, конечное число

элементов, так как алгоритм Евклида последовательного деления a на b

является конечным.

Понятно, что каждая цепная дробь представляет определенное рациональное

число, то есть равна определенному рациональному числу. Но возникает

вопрос, не имеются ли различные представления одного и того же

рационального числа цепной дробью? Оказывается, что не имеются, если

потребовать, чтобы было [pic].

Теорема. Существует одна и только одна конечная цепная дробь, равная

данному рациональному числу, но при условии, что [pic].

Доказательство: 1) Заметим, что при отказе от указанного условия

единственность представления отпадает. В самом деле, при [pic]:

[pic]

так что представление можно удлинить:

[pic]

например, (2, 3, 1, 4, 2)=( 2, 3, 1, 4, 1, 1).

2) Принимая условие [pic], можно утверждать, что целая часть цепной дроби

[pic] равна ее первому неполному частному [pic]. В самом деле:

1. если n=1, то

2. если n=2, то [pic]; поэтому [pic]

3. если n>2, то

[pic]=[pic]

[pic]

[pic],

где [pic] >1, т.к. [pic]

[pic]

Поэтому и здесь [pic]. Докажем то, что рациональное число [pic] однозначно

представляется цепной дробью [pic], если [pic].

Пусть [pic] с условием [pic], [pic]. Тогда [pic], так что [pic]. Повторным

сравнением целых частей получаем [pic], а следовательно [pic] и так далее.

Если [pic], то в продолжении указанного процесса получим также [pic]. Если

же [pic], например [pic], то получим [pic], что невозможно.

Теорема доказана.

Вместе с тем мы установили, что при соблюдении условия [pic] между

рациональными числами и конечными цепными дробями существует взаимно

однозначное соответствие.

Замечания:

1. В случае разложения правильной положительной дроби первый элемент

[pic], например, [pic].

2. При разложении отрицательной дроби (отрицательный знак дроби всегда

относится к числителю) первый элемент будет отрицательным, остальные

положительными, так как целая часть отрицательной дроби является

целым отрицательным числом, а ее дробная часть, как всегда,

положительна.

Пример: [pic], а так как [pic], то [pic].

3. Всякое целое число можно рассматривать как непрерывную дробь,

состоящую из одного элемента.

Пример: 5=(5); [pic].

§2. Подходящие дроби. Их свойства.

Задаче разложения обыкновенной дроби в непрерывную дробь противостоит

обратная задача – обращения или свертывания цепной дроби [pic] в простую

дробь [pic].

При этом основную роль играют дроби вида:

[pic] или

[pic] которые называются подходящими дробями данной непрерывной дроби или

соответствующего ей числа [pic].

Заметим, что [pic]=[pic]=[pic]. Считается, что подходящая дробь [pic]

имеет порядок k.

Прежде чем приступить к вычислению подходящих дробей заметим, что [pic]

переходит в [pic], если в первой заменить [pic] выражением [pic].

Имеем [pic],

[pic],

[pic], …,

при этом принимается, что [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic] и так

далее.

Закономерность, которую мы замечаем в построении формулы для [pic] (ее

числителя [pic] и знаменателя [pic]), сохраняется при переходе к [pic] и

сохранится также при переходе от k к (k+1).

Поэтому, на основании принципа математической индукции, для любого k, где

[pic], имеем

[pic] (1),

причем [pic] (2)

[pic] (3)

Далее, говоря о подходящих дробях [pic] (в свернутом виде), мы будем иметь

в виду их форму [pic].

Соотношения (1) являются рекуррентными формулами для вычисления

подходящих дробей, а также их числителей и знаменателей. Из формул для

числителя и знаменателя сразу видно, что при увеличении k они возрастают.

Последовательное вычисление числителей [pic] и знаменателей [pic]

подходящих дробей по формулам (2) и (3) удобно располагать по схеме:

| | |[pic]|[pic]|… |[pic]|[pic]|[pic]|… |[pic]|

|[pic]|[pic]|[pic]|[pic]|… |[pic]|[pic]|[pic]|… |[pic]|

Пример: Найти подходящие дроби к цепной дроби (2, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3).

| |2 |2 |1 |3 |1 |1 |4 |3 |

|[pic] |2 |5 |7 |26 |33 |59 |269 |866 |

|[pic] |1 |2 |3 |11 |14 |25 |114 |367 |

Подходящие дроби [pic]([pic]) равны соответственно [pic]; [pic]; [pic];

[pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic].

Практически нахождение неполных частных и подходящих дробей удобно

объединить в одну краткую схему, которую приведем для [pic]=(2, 3, 1, 4, 2)

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic].

А сейчас рассмотрим ряд свойств подходящих дробей.

1. Теорема: При k=1, 2, …, n выполняется равенство [pic]

Доказательство: Проведем индукцию по k:

При k=1 равенство справедливо, так как [pic] [pic].

Пусть это равенство верно при некотором k=n ([pic]).

Докажем справедливость равенства при k=n+1.

[pic]

, то есть равенство верно при k=n+1.

Согласно принципу полной математической индукции равенство верно для всех

k([pic]).

2. Теорема: Числитель и знаменатель любой подходящей дроби –

взаимно простые числа, то есть всякая k–подходящая дробь

несократима.

Доказательство: Докажем это свойство методом от противного. По

предыдущему свойству имеем [pic].

Пусть [pic], то есть [pic], тогда из равенства [pic] следует, что [pic]

делится на [pic] без остатка, что невозможно. Значит, наше допущение

неверно, а верно то, что требовалось доказать, то есть [pic].

3. Теорема: При [pic]

1) [pic] ([pic])

2) [pic] ([pic])

Доказательство: Первое соотношение можно получить из равенства [pic],

доказанного выше, путем деления обеих частей на [pic]. Получаем [pic]

[pic], что и требовалось доказать.

Докажем второе соотношение.

[pic]

[pic].

Теорема доказана полностью.

4. Теорема: Знаменатели подходящих дробей к цепной дроби,

начиная с первого, образуют монотонно возрастающую

последовательность, то есть 1=[pic].

Доказательство: [pic], [pic], так что [pic] и [pic] положительны.

Соотношение [pic] ([pic]) (*) показывает, что и все следующие знаменатели

[pic], [pic], …, [pic] положительны. При [pic], поскольку тогда [pic], из

(*) получаем

[pic], что и требовалось доказать.

5. Теорема: Нечетные подходящие дроби образуют возрастающую, а

четные подходящие дроби – убывающую последовательность:

[pic];

[pic].

Две подходящие дроби [pic] и [pic], у которых номер отличается на

единицу, будем называть соседними.

6. Теорема: Из двух соседних подходящих дробей четная дробь

всегда больше нечетной.

Доказательство: По уже доказанному выше свойству имеем:

[pic].

Если k – четное, то [pic]

[pic]

Если k – нечетное, то [pic]

[pic]

Значит, из двух соседних дробей [pic] и [pic] четная всегда больше

нечетной, что и требовалось доказать.

7. Теорема: Расстояние между двумя соседними подходящими

дробями [pic].

Доказательство: Так как [pic], то [pic], что и требовалось доказать.

Глава II. Бесконечные цепные дроби.

§1. Представление действительных иррациональных чисел правильными

бесконечными цепными дробями.

1. Разложение действительного иррационального числа в правильную

бесконечную цепную дробь.

В предыдущей главе мы рассмотрели, как в процессе последовательного

выделения целой части и перевертывания дробной рациональная дробь [pic]

разлагается в конечную непрерывную дробь.

[pic][pic] =([pic])

[pic] (1)

[pic]

и, наоборот, свертывание такой непрерывной дроби приводит к рациональной

дроби.

Процесс выделения целой части и перевертывания дробной можно применить к

любому действительному числу.

Для иррационального числа [pic] указанный процесс должен быть

бесконечным, так как конечная цепная дробь равна рациональному числу.

Выражение [pic] (где [pic], [pic]) (2)

[pic]

возникающее в таком процессе или заданное формально, мы будем называть

правильной бесконечной цепной, или непрерывной дробью, или дробью

бесконечной длины и обозначать кратко через ([pic]), а числа [pic] – ее

элементами или неполными частными.

Отметим, что разложение [pic] возможно только в единственном виде, так

как процесс выделения целой части – процесс однозначный.

Рассмотрим пример разложения иррационального числа [pic].

Пусть [pic]. Выделим из [pic] его целую часть. [pic]=3, а дробную часть

[pic]–3, которая меньше 1, представим в виде [pic], где [pic].

Повторяя операцию выделения целой части и перевертывания дробной, мы

получаем:

[pic];

[pic].

Если остановиться на этом шаге, то можно записать:

[pic]

С другой стороны, из формулы для [pic] видно, что [pic]=3+[pic]. Поэтому

[pic], вследствие чего, начиная с этого момента, неполные частные станут

повторяться.

Бесконечная непрерывная дробь, в которой определенная последовательность

неполных частных, начиная с некоторого места, периодически повторяется,

называется периодической непрерывной дробью.

Если, в частности, периодическое повторение начинается с первого звена,

то цепная дробь называется чисто периодической, в противном случае –

смешанной периодической.

Чисто периодическая дробь [pic] записывается в виде [pic], а смешанная

периодическая [pic] в виде [pic].

Итак, [pic] разлагается в смешанную периодическую дробь (3, 3, 6, 3, 6,

…) или (3, (3, 6)).

В общем случае разложения действительного иррационального числа [pic]

поступаем так же, как в примере. Останавливаясь при этом в процессе

выделения целой части после k–го шага, будем иметь:

[pic]

так что

[pic]

[pic].

Числа [pic] называются остаточными числами порядка k разложения [pic]. В

формуле (4) имеем кусок разложения до остаточного числа [pic].

Для бесконечной цепной дроби (2) можно построить бесконечную

последовательность конечных непрерывных дробей.

[pic]

Эти дроби называют подходящими дробями. Закон образования соответствующих

им простых дробей будет такой же, как и для подходящих дробей в случае

конечных непрерывных дробей, так как этот закон зависит только от неполных

частных [pic] и совершенно не зависит от того, является ли [pic] последним

элементом или за ним следует еще элемент [pic]. Поэтому для них сохранятся

также остальные свойства, которые выводятся из закона образования

числителей и знаменателей подходящих дробей.

В частности, мы имеем:

1) [pic], причем [pic];

2) [pic], откуда следует несократимость подходящих дробей [pic];

3) [pic].

Сравним теперь подходящую дробь [pic] и кусок разложения [pic] до

остаточного числа [pic]. Имеем

[pic] [pic]

[pic] [pic],

откуда видно, что вычисление [pic] по [pic] формально производится таким же

образом, как вычисление [pic] по [pic] с тем лишь отличием, что в первом

случае [pic] заменяется на [pic], а во втором [pic] заменяется на [pic].

Поэтому на основании формулы [pic] можно сделать вывод о справедливости

следующего важного соотношения

[pic]. (5)

По этой причине мы пишем также [pic], хотя [pic] не является здесь целым

положительным числом.

При помощи формулы (5) можно вывести следующую теорему и расположении

подходящих дробей разложения [pic].

Теорема: Действительное число [pic] всегда находится между двумя

соседними подходящими дробями своего разложения, причем оно

ближе к последующей, чем к предыдущей подходящей дроби.

Доказательство: Из формулы (5) следует

[pic]

Но [pic], [pic], так что [pic]

1) ([pic]) и ([pic]) имеют одинаковый знак, а это значит, что [pic]

находится между [pic] и [pic];

2) [pic], то есть [pic] ближе к [pic], чем к [pic].

Теорема доказана.

Так как [pic], то [pic], и так далее; отсюда приходим к следующему

заключению о взаимном расположении подходящих дробей:

1) [pic] больше всех подходящих дробей нечетного порядка и меньше всех

подходящих дробей четного порядка;

2) подходящие дроби нечетного порядка образуют возрастающую

последовательность, а четного порядка – убывающую (в случае

иррационального [pic] указанные последовательности являются

бесконечными), то есть

[pic]

(в случае рационального [pic] [pic]).

————[pic]——[pic]————[pic]——[pic]———[pic]————

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

Учитывая то, что при [pic] [pic], вследствие чего [pic], переходим к

дальнейшему выводу, что в случае иррационального [pic] сегменты [pic],

[pic], … образуют стягивающуюся последовательность, которая, как известно,

должна иметь единственную общую точку, являющуюся общим пределом

последовательностей [pic], [pic], … и [pic], [pic], … . Но так как [pic]

принадлежит всем сегментам последовательности, то [pic] и совпадает с

указанной точкой, так что [pic].

Итак, мы имеем следующий важный результат:

бесконечная последовательность подходящих дробей [pic], которая возникает

при разложении иррационального [pic], сходится к [pic], колеблясь около

Страницы: 1, 2

МЕНЮ

Цепные дроби

Цепные дроби

ИНТЕРЕСНОЕ