Шпаргалки по высшей математике (1 курс)

Шпаргалки по высшей математике (1 курс)

Основные понятия мат анализа. Матем-наука о простых формах и количеств

отношений окружающего нас мира. Переменой величиной наз величина d ринимает

различн числовые значения. величина значения d не меняется наз постоянной

величиной. Совокупность всех числовых значений переменой величины наз

областью изменения этой переменной. Окрестность ( х0 наз производный

интервал (a;b) содержащий эту (. If каждому значению переменной х э неd

области соответствует 1 определенное значение др переменой у, то у есть

f(х)=у. способы задания f. 1)таблица 2)графический совокупность ( M(х;у) не

лежащих на прямой // оу, определяет зависимость у=f(х) 3)аналитический.

Аналитическим выражением наз символическое обознач совокупности известных

матем операций d производятся в определ последовательности над числами и

буквами обозначающиеем постоянные и переменные величины. if f зависимость

у=f(х) такова, что f обозначается аналитич выражением, то f задана

аналитически. F f(х) наз периодической if ( t: (х f(х+t)=f(x). Четная,

нечетная, монотонная f. Элементарные f. 1)постоянная у=с, с-действительное

число; 2)степенная у=х^а, а-д.ч. 3)показательная у= f^х a>x a?1

4)логорифмическая у=loga x a>x a?1, 5)тригонометрические 6)обратные

тригонометрические. Предел функции. (Коши) число а наз lim f f(х) в ( х0б

if для ( Е>0 ( б>0, такое что для всех х0 х э ?, х ? 0 и удовлетвор |х-

х0|, то Т тоже выполняется в той же

формулировке (b?0). 6)if v?u в неd окрестности ( а lim v?lim u Д. v-u?a

(lim (v-u) ?0(lim v-lim u?0(lim v?lim u Сравнение бмв. (x(a)О. if

lim(?/?)?0, lim(?/?)?0, то ? и ? наз бмв одного порядка (zb x^2 и 2x^2). O

if lim ?/?=0, то ?-бм ( высокого порядка чем ?.О бмв ? наз бм nго порядка

относительно ?, if lim ?/?n=A?0. О. if lim ?/?=1, то ?,? –эквивалентные

бмв. Т. If ?, ?-экивалентные бмв, то ?-?-бмв ( более высшего порядка, чем ?

и ?. Д. lim ((?-?)/?)=lim(1-?/?)=1-1=0 1 Зам lim. S?MOAsin x/x>cos x; sin x/x(1; sin(-x)/-x=sin

x/x; cos (-x)=cos x 2 зам lim. Т . переменная величина (1+ 1/n)n, при n(?

имеет lim заключенный между числами 2 и 3. (1-1/n)n=1+n*1/n+n(n-1)/2n2+n(n-

1)(n-1)/(2*3*n3)…=1+1+Ѕ(1-1/n){0 и f принимая max знач при х=с. f(c)=M; c?a; c?b, т.к.

f(а)=0 и f(в)=0; F(c+?x)-f(c)0}/?x{>0, if

?x0; >0, ?x0, xx1. применим Т Лагранжа: f(x)-f(x1)=f `(c)(x-x1)

1)x0}) (x-x1{>0}); f(x)-f(x1)x1(c>x1, f `(c)0}) f(x)-f(x1)х0(x00, c-x0>0 f ``(c1)y. (( кривой

лежит ниже касательной этой кривой, ( х и х0 из интервала [a;b] ( кривая

выпукла в вверх. Т. Пусть кривая определена Ур у=f(х), if f ``(a)=0 or f

``(a) ne( и при переходе через ( а меняется знак, то а ( перегиба.

Асимптоты. Прямая l наз F кривой, if расстояние ? от переменой ( M кривой

до этой прямой при удалении ( M в бесконечность(0 1. вертикальная А. для

того, чтобы прямая х=а являлась верт А гр f у=f(х) чтобы обращался в беск

хотя бы 1 из lim: {x(a+0}lim f(х)=? {x(a-0}lim f(x)=? 2. наклонная А. для

того чтобы y=kx+b была накл А надо чтобы сущ оба lim: k={x(?}lim (f(x))/x;

b={x(?} lim(f(x)-kx). If lim сущ только при х(?+(х(?-) то А будет

правосторон (левосторон). if k=0, то А -горизонтальная Производная сложной

f. предположим в ур z=F(u,v) u и v f независимых переменных х и у. u=?(x,y)

v=?(x,y), z-сложная f, пусть f Пб ?,? имеют непрерывные частные производные

по своим производным. зададим ?х,сохран у неизменным.Тогда

?xu,?xv;?z=?F/?u*?xu+ ?F/?v*?xv+?1?xu+?2?xv |:?x

?z/?x=?F/?u*?xu/?x+?F/?u*?xv/?x+?1{(0}+?2{(0}; ?z/?x={?x(0}lim

?z/?x=?F/?u*?u/?x+?F/?v*?v/?x; zb z=ln(u2+v) u= e^(x+y2) v=x2+y;

?z/?u=2u/(u2+v); ?z/?v=1/(u2+v); ?u/?x=e^(x+y2) ?v/?x=2x ?z/?x=

e^(x+y2)*2u/(u2+v)+2x/(u2+v). Выражение полного дифференциала 1 порядк

имеют тот же вид, являются ли u и v независимыми переменными от f

независимых переменных (с формами дифференциала инварианта). Производная

неявной функции Т. пусть непрерывная f у(х) задана неявно уравнением

F(х,у)=0, где F, F‘х, F‘у непрерывные f в неd области Д содержащей ( (х,у),

координаты d удовлетворяют этому уравнению. Кроме того F‘у?0. y`x=-

F`x/F`y. Частные производные различных порядков. Z=f(x;y)s

?z/?x=?/?x*(?z/?x); ?2z/?x?y=?/?y*(?z/?x) ?2z/?y?x=?/?x*(?z/?y); f=x2y+y3;

?f/?x =2xy ?2f/?x2=?/?x*(2xy)=2y; ?f/?y=x2+3y2 ?2f/?y2=6y;

?2f/?x?y=?/?y*(2xy)=2x; ?2f/?y?x=?/?x*(x2+3y2)=2. T. if f f(х,у) и ее

частные производные f `x, f `y, f ``xy, f ``yx, определены и непрерывны в (

и неd ее окрестности, то в этой ( ?2f/?x?y=?2f/?y?x. Производная по

направлению. Проведем из ( M вектор S{в} направляющая косинус d So{в}(cos

a,?,?). Рассмотрим на векторе S на расстоянии ?S от его начала (

М1(х+?х,у+?у, z+?z). Пусть f u непрерывна и имеет непрерывные частные

производные в Д. ?u=?u/?x*?x+?u/?y*?y+?u/?z*?z+E1?x+E2?y+E3?z{Ei-бмв};

?u/?S=?u/?x*?x/?s+ ?u/?y* ?y/?s+?u/?z*?z/?s+E1*?x/?s+E2*?x/?s+E3*?x/?s

координаты вектора / на длину ?x/?S=cos x; ?y/?S=cos ?; ?z/?S= cos ?;

?u/?S=?u/?x*cos?+?u/?y*cos?+ ?z/?x*cos ?+E1cos ?+E2cos ?+E3cos ?; {?S(0}lim

?u/?xS=?u/?x*cos?+?u/?y*cos?+?z/?x*cos ?=?u/?S{производная по направлению}

Градиент. Gradu=?u/?x*i+ ?u/?y*j+?u/?z*k Т. Производная ?u/?S по

направлению неd вектора S=проекции вектора-градиент u на вектор S.

Д.рассмотрим единичный вектор S0; (gradu,

S0)=?u/?x*cos?+?u/?y*cos?+?z/?x*cos ?=?u/?S=проекцииS0 gradu, if ввести

угол меду векторами ? ?u/?S=|gradu|cos ?. Св-ва.:1)производная в данной( по

направлению S{в} имеет наиб значение, if по направлению вектора S совпад с

направ grad. Это наибольш знач =|gradu |2)производная по направл ветора

перпендик grad=0 Матрица. Матрицей размера тХп называют прямоугольную

таблицу, содержащую т строк и п столбцов. Элементы таких таблиц могут иметь

произвольную природу, но в этой главе мы будем считать, что элементами

матриц являются действительные числа. Строки и столбцы матрицы

последовательно нумеруются, и элемент матрицы, расположенный на пересечении

i-ой строки и j-го столбца, обозначается символом а. Сами матрицы обычно

обозначают заглавными буквами латинского алфавита. Если число строк матрицы

совпадает с числом столбцов (т = п), то матрицу называют квадратной и

говорят, что квадратная матрица имеет порядок п Элементы а11, а22, ..., атm

называются диагональными и образуют главную диагональ квадратной матрицы.

Квадратная матрица называется треугольной, если равны нулю все ее элементы,

расположенные ниже (выше) главной диагонали. Квадратная матрица называется

диагональной, если равны нулю все ее элементы, расположенные вне главной

диагонали. Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны

единице, называется единичной и обозначается буквой Е. Матричная форма

записи. AX=B. Определитель. О. Определитель-квадратной матрицы 2 порядка

наз число а11*а22-а12*а21. опр n порядка-а11*А11+а12*А12+..а1nА1n, где F-

минор. Св-ва: 1) |АТ|=|А| 2)if поменять местами 2 строки поменяется только

знак 3)опр у d 2 строки =, опр=0 4)общий множитель строки можно вынести за

знак определителя. 5)if эл строки =0, опр=0 6)if эл строки пропорциональны

эл др строки, опр=0 7)if эл к-л стр представлены в виде 2 слагаемых, то

определ может быть в виде суммы 2 соответствущ опр 8)опр не измен if к жл к-

л строки прибавить соотв эл любой др строки, умноженное на 1 число 9)опр

треугольн матр=произвед эл, располож на гл диагонали 10)опр произвед 2 кв

матр =произвед их опред: |АВ|=|А||В|=|ВА|. Обратная матрица. Матрица А-1

наз обратной if вып равенство: А-1А=АА-1=Е, Е-единичная матрица. Т. Обр

матр существует когда она невырождена, т.е ?0 Д. предположим А имеет

обратную матр, но опр F=0, тогда |А-1А|=|Е|=1, f с др стороны |A-1A|=|A-

1||A|=|A-1|*0=0, мы пришли к противоречию. Ранг матрицы наз число =

наибольшему из порядков отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначается

r(A) Т ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Ранг матрицы числу ненулевых строк матрицы после ее привдения к

треугольному или трапецивидному виду. Т(Кронекер-капелли) система линейных

уравнений совместа тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы = рангу

расширенной матрицы системы, т.е. r(A)=r(неA) Критерий существования

нетривиальных решении. 1)однородная система линейных уравнений имеет

единственное решение V ранг матрицы системы = числу неизвестных r(A)=n;

2)однородная система имеет хотя бы 1 нетривиальное значение. Линейные

операции над векторами. 1)произведением вектора а на число t наз вектор ta,

направление d совпадает с направлением вектора а, if t>0, и противоположное

if t<0 Т. Не0 векторы а и в коллинеарны V, if сущ число t, такое что а=tв

Д. if векторы а и в коллинеарны, то имея общую ( они будут иметь и общую

линию действия(t=|а|/|в| or -|а|/|в| в зависимости сонаправлены векторы or

нет. Единственность t очевидна: при умножении вектора в на разн числа

получаются разл векторы. О. суммой а+в векторов наз диагональ треугольника

or пар-мма. Св-ва 1)a+b=b+a 2)(a+b)+c= a+(b+c) 3)a+0=a 4) a+(-a)=0 5)1*a=a

6)?(?*a)=(?*?)*a; 7) (?+?)*a=?*a+?*a 8) ?(a+b)=?a+ ?b. В математике принято

называть линейным (или векторным пространством всякое множество, если 1) на

элементах множества определены две операции: одн; из них, называемая суммой

элементов, любым двум элемеитам мно жества ставит в соответствие по

некоторому правилу третий элемен' этого множества, а вторая, называемая

произведением на число, каж дому элементу множества и всякому числу ставит

в соответстви( определенный элемент множества; 2) эти операции обладают

всеми восьмью свойствами, пере численными выше. Линейная независимость и

линейная зависимость векторов. О. векторы а1, а2, аn наз линейно

независимыми if 0 =только их травиальная линейная комбинация О. векторы а1,

а2, аn наз линейно зависимыми if сущ хотя бы 1 нетривиальная линейная

комбинация этих векторов = 0. Т. Векторы а1, а2, аn будут линейно

зависимыми if среди них имеется хотя бы 1 нулевой вектор. Д. Действительно,

считая равными нулю коэффициенты линейной комбинации этих векторов перед

ненулевыми векторами и отличными от нуля перед нулевыми векторами, получим

равную нулю нетривиальную линейную комбинацию этих векторов. Т if среди

векторов а1, а2, ..., ап имеется хотя бы 2 линейно-зависимых вектора, то

тогда и все эти векторы будут линейно зависимыми. Д. Выделим среди

рассматриваемых векторов линейно зависимые векторы и составим из них равную

нулю нетривиальную линейную комбинацию. Если к ней присоединить любую

тривиальную комбинацию оставшихся векторов, то получим равную нулю

нетривиальную линейную комбинацию уже всех векторов. Поэтому они линейно

зависимы Т. векторы а1, а2, аn линейно зависимы V 1 из них может быть

разложен по оставшимся векторам. Единственность разложения вектора по

базису. Д. Предположим что это не так и возможны 2 разных разложения

вектора а по базису ?1,?2, ?n. Пусть ?=а1 ?1+…+an* ?n ?=b1 ?1+…+bn* ?n ((a1-

b1) ?1+…+(an-bn)?n=0 Векторы базиса по определению линейно независимы,

поэтому нулю может равняться только их тривиальная линейная комбинация, то

есть все её коэффициенты должны быть нулями. Это возможно только в том

случае, если a1=b1…an=bn. Значит неверно предположение о том, что

разложение вектора по базису не единственно. Углом между двумя векторами

будем называть тот угол между ними, который не превосходит П. Прямую линию

с заданным на ней направлением называют осью. Обычно ось задается вектором,

с линией действия и направлением которого она совпадает. Ось, задаваемую

вектором а, будем называть осью а. Пусть произвольно заданы вектор АВ и ось

b. Обозначим буквами А` и В' основания перпендикуляров, опущенных на ось b

соответственно из точек А и В. Проекцией вектора АВ на ось b(символическое

обозначение прb АВ) называют число, равное |А'В'|, если направления

вектора А'В' и оси b совпадают и равное - |А'В'|, если эти направления

противоположны. Проекцию вектора а на ось, определяемую вектором b, будем

называть проекцией вектора а на вектор b. Cв-ва: 1. прва - а •соs ?, где

? - угол между векторами а и b ;2. прва не зависит от b ; 3. декартовы

координаты вектора равны проекциям этого вектора на соответствующие

базисные вектора i, j, k. Скалярное произведение векторов. Наз число=

произвед длин эти векторов на cоs угла между ними