Шпаргалка: математика_Latvija_LLU

Шпаргалка: математика_Latvija_LLU

1. Pamatj?dzieni par rind?m: skait?u rindas defin?cija, rindas

parci?lsumma, konver?ences defin?cija.

Par rindu sauc virknes (a1, a2, a3,..., an,... ) locek?u bezgal?gu

summu.

an- rindas visp?r?gais loceklis. Rindas parci?lsumma-

Sn=a1+ a2+ a3+...+ an. Ja parci?lsummai eksist? gal?ga robe?a, kad n=>?

tad saka, ka rinda konver??, pret?j? gad?jum? rinda diver??. Rindu sauc

par konver?entu, ja t?s parci?lsumma virknei ir gal?ga robe?a. ?o robe?u

sauc par konver?entas rindas summu. Ja parci?lsummu nav gal?gas robe?as,

tad rindu sauc par diver?entu. Diver?entai rindai nav summas. 2.Pozit?vu

sk. rindu konver?ences nepiecie?am? paz?me. Sn=a1+ a1+...+ an-1+ an; Sn-

1=a1+ a1+...+ an-1; an=Sn- Sn-1; Pie??mums: rinda konver??

;

ja rinda konver??, tad robe?a kad n=>? ir 0.

2. Pozit?vu sk. rindu konver?ences pietiekam?s paz?mes.

a) Sal?dzin??anas paz?me: 0?an?bn , a) ja rinda

konver?? => konver??. b) ja rinda diver?? =>

diver??. c) ja , k?±?;k?0, tad abas

rindas uzvedas vien?di. b) Dalamb?ra paz?me: ,

S1 rinda diver??, S=1 paz?me nedod atbildi. c) Ko??

paz?me , S1 rinda diver??, S=1

j??em cita paz?me. d) Integr?l? paz?me: ,S=?,0 rinda

diver??, cit?di konver??.

3. Altern?jo??s rindas, Leibnica paz?me, absol?t? un nosac?t? konver??

nce.

Rindu sauc par altern?jo?u, ja jebkuriem rindas blakus locek?iem ir

pret?jas z?mes: u1-u2+u3-...+(-1)n-1un+..., kur burti u1,u2,u3,...apz?m?

pozit?vus sk., ir mai?z?mju rindas. Leibnica paz?me: Mai?z?mju rinda

konver??, ja t?s locek?i tiecas uz nulli, visu laiku dilstot p?c

absol?t?s v?rt?bas. T?das rindas atlikumam ir t?sda pati z?me k? pirmajam

atmetajam loceklim un tas ir maz?ks par to p?c absol?t?s v?rt?bas. Rinda

konver??, ja izpild?s divi nosac?jumi: 1) an>an+1, 2) .

Absol?t? un nosac?t? konver?ence: Rinda u1+u2+...+un+... (1) katr? zi?a

konver??, ja konver?? pozit?va rinda |u1|+|u2|+...+|un|+... (2), kas

sast?d?ta no dot?s rindas locek?u absol?taj?m v?rt?b?m. Dot?s rindas

atlikums p?c absol?t?s v?rt?bas nep?rsniedz atbilsto?o rindas (2)

atlikumu. Dot?s rindas summa S p?c absol?t?s v?rt?bas nep?rsniedz rindas

(2) summu S’, t.i., |S|?S’. Vien?d?ba ir tikai tad, ja visiem rindas (1)

locek?iem ir viena un t? pati z?me. Defin?cijas: Rindu sauc par absol?ti

konver?entu, ja konver?? rinda, kas sast?d?ta no t?s locek?u absol?taj?m

v?rt?b?m. Rindu sauc par nosac?ti konver?entu, ja t? konver??, bet rinda,

kas sast?d?ta no t?s locek?u absol?taj?m v?rt?b?m, diver??.

4. Pak?pju rinda, t?s konver?ences interv?ls, ?bela teor?ma.Par pak?pju

rindu sauc ??da veida rindu: a0+a1x+ a2x2+ ...+anxn+... (1) un ar?

visp?r?g?k? veid?: a0+ a1(x-x0)+ a2(x-x0)2+ ...+an(x-x0)n+... (2), kur x0

ir patst?v?gs lielums. Par rindu (1) saka, ka t? ir att?st?ta p?c x

pak?p?m, par rindu (2), ka t? att?st?ta p?c x-x0 pak?p?m. Konstantes a0,

a1,..., an,... sauc par pak?pju rindas koeficentiem. Pak?pju rinda

vienm?r konver?? v?rt?bai x=0. Attiec?b? uz konver?enci citos punktos var

rasties tr?s gad?jumi: a) var gad?ties, ka pak?pju rinda diver?? visos

punktos, iz?emot x=0. T?da, piem, ir rinda x+22x2+33x3+...+nnxn+...,

kurai visp?r?gais loceklis nnxn=(nx)n p?c absol?t?s v?rt?bas neierobe?oti

aug, s?kot ar momentu, kad nx k??st liel?ks par vienu. T?d?m pak?pju

rind?m praktiskas noz?mes nav. b) Pak?pju rinda var konver??t visos

punktos. T?da, piem, ir rinda: 1+x+(x2/2!)+ (x3/3!)+...+(xn-1/(n-

1)!)+..., kuras summa jebkurai x v?rt?bai ir vien?da ar ex. c) Tipiskaj?

gad?jum? pak?pju rinda vien? punktu kop? konver??, cit?-diver??. Pak?pju

rindas: a0+ a1x+ a2x2+...+anxn+... konver?ences apgabals ir k?ds

interv?ls (-R;R), kas ir simetrisks attiec?b? pret punktu x=0. Da?reiz

tan? j?ieskaita abi gali x=R, x=-R, da?reiz tikai viens, bet da?reiz abi

gali j?izsl?dz. Interv?lu (-R;R) sauc par pak?pju rindas konver?ences

interv?lu, pozit?vo sk. R par konver?ences r?diusu. ?bela teor?ma: Ja

pak?pju rinda a0+ a1x+ a2x2+...+anxn+... konver?? (absol?ti vai nosac?ti)

k?d? punkt? x0, tad t? konver?? absol?ti un vienm?r?gi jebkur? sl?gt?

interv?l? (a,b), kas atrodas interv?la (-|x0|,+|x0|) iek?ien?.

5. Funkciju izvirz??ana pak?pju rind?. Teilora un Maklorena rinda.

Ja funkciju f(x) var izvirz?t pak?pju rind? a0+ a1(x-x0)+ a2(x-x0)2+

...+an(x-x0)n+..., tad izvirz?jums ir viens vien?gs un rinda sakr?t ar

Teilora rindu, kas att?st?ta p?c x-x0. pak?p?m. Teilora rinda: Par

Teilora rindu (kas att?st?ta p?c x-x0 pak?p?m) funkcijai f(x) sauc

pak?pju rindu: f(x0)+(f’(x0)/1)(x-x0)+ (f’’(x0)/2!)(x-

x0)2+...+(fn(x0)/n!)(x-x0)n+..., ja x0=0, tad Teilora rindai (att?st?tai

p?c x pak?p?m) ir izskats: f(0)+(f’(0)/1)x+

(f’’(0)/2!)x2+...+(fn(0)/n!)xn+.... Maklorena rinda: Pamatojoties uz

Teilora rindu:

6. Pak?pju rindu lietojumi.

F-ju v?rt?bas tuvin?to apr??in??ana: 1+(1/2)+

(1/8)+ (1/8*6)+ (1/16*2)+ (1/32*120) ,E=10-3. Robe?u

apr??in??ana: x=>0; ex~1+x; sinx~x;

cosx~1-(x2/2); (1+x)2~1+2x; ln(1+x)~x; arctgx~x. Integr??u tuvin?ta

apr??in??anai: ; E=10-3;

; Diferenci?lvien?dojums tuvin?ta atvasin??ana:

.

7. Furj? rinda. Funkciju izvirz??ana Furj? rind?.

Furj? rinda: f(x)~(a0/2)+a1cosx+ b1sinx+ a2cos2x+ b2sin2x+...,

; .

9. Divk?r?? integr??a defin?cija un apr??in??ana Dekarta koordin?t?s. D:

Robe?a uz kuru tiecas summa

,kad liel?kais

parci?lo apgabalu diametrs tiecas uz nulli, sauc par divk?r?o integr?li

no funkcijas f(x,y) pa apgabalu D. Apz?m?jums [pic]

Apgabalu D, sauc par regul?ru p?c x, ja novelkot jebkur? viet? l?niju

x=c, t? krusto apgabala D robe?u ne vair?k , k? 2 reizes. Visp?rregul?rs

– regul?rs p?c x un y Apr??in??ana Dekarta koordin?t?s [pic] ds=dxdy

10. Divk?r?? integr??a apr??in??ana pol?raj?s koordin?t?s.

[pic] f(x,y)=f(rcos(,rsin()=F(r,()

(S((r*r(( dS=r*dr*d(

11. Divk?r?? integr??a pielietojums.1.plaknes fig?ras lauk.

apr??in??ana [pic] 2. Tilpuma apr??in??ana z=z(x,y) [pic] 3. Plaknes

fig?ras(nehomog?nas) apr??in??ana (=((x,y) [pic] 4. Plaknes fig?ras masas

centra apr??in??ana c(xc,yc) Ioy- statiskais moments attiec?b? pret y asi

12. Tr?sk?r?? integr??a defin?cija un apr??in??ana Dekarta koor din?t?s

,lietojumi. D: Pie?emsim, ka punkta P(x,y,z) funkcija f(x,y,z) ir

nep?rtraukta telpas apgabala D iek?ien? un uz t? robe?as. Sadal?m D n

da??s; to tilpumus apz?m?sim ar (v1, (v2,..., (vn. Katr? da?? ?emsim

punktu un sast?d?sim summu Sn=f(x1,y1,z1) (v1+ f(x2,y2,z2) (v2+...+

f(xn,yn,zn) (vn . Robe?u uz kuru tiecas Sn , kad liel?kais parci?lo

apgabalu diametrs tiecas uz nulli, sauc par funkcijas f(x,y,z) tr?sk?r?o

integr?li pa apgabalu D. Apr??in??ana Lietojumi 1. Tilpuma apr??in??ana

[pic] 2. Nehomog?na ?erme?a masas apr??in??ana [pic]

13. Pirm? veida l?nijintegr??i, to apr??in??ana, lietojumi. [pic] 1)

y=y(x), [pic] [pic] ,ja dota parametriski, tad [pic] 14. Otr? veida

l?nijintegr??i, to apr??in??ana, lietojumi. 1) y=y(x), dy=y’dx [pic] [pic]

,ja dots parametriski, tad [pic] [pic] , ja l?nija L ir nosl?gta, tad

Gr?na formula [pic] L?nijintegr??u pielietojums 1)darba apr.[pic] 2)

l?nijas loka garumu apr. [pic] 3)masu nehomog?nai l?nijai apr. [pic]15.

Pirm? veida virsmas integr??i, to apr??in??ana, lietojumi. [pic] ,apr??ina

??idruma pl?smu caur virsmu [pic] 16. Otr? veida virsmas integr??i, to

apr??in??ana, lietojumi. [pic] apr??ina ??idruma pl?smu caur virsmu

17.Skal?rais lauks. Atvasin?jums dotaj? virzien?.

Ja katra apgabala d punktam, katr? laika moment? t, p?c noteikta likuma

piek?rtu funkciju u, tad saka, ka ir dots skal?rs lauks u=u(x,y,z,t) (1)

Ja f-ja nav atkar?ga no t, tad lauku sauc par stacion?ru u=u(x,y,z) (2)

Atvasin?jums dotaj? virzien? [pic]lim[pic](3) [pic]

u=u(x,y,z) u(M0) , u(M) (u= u(M)-u(M0) [pic]18. Skal?ra lauka

gradients, t? fizik?l? noz?me. Vektoru kura virzien? skal?r? lauka

izmai?as ?trums ir visliel?kais, sauc par skal?r? lauka gradientu grad u

[pic]19. Vektoru lauks. Vektoru lauka pl?sma, t? fizik?l? noz?me. Ja k?d?

telpas apgabal? katram punktam, katr? laika moment? t ir piek?rtots

noteikts vektori?ls lielums, tad saka ka ir dots vektori?ls lauks [pic]Par

vektoru lauka a pl?smu caur virsmu S sauc virsmas integr?li [pic] (1)

[pic] (2) 20. Vektoru lauka diver?ence, t?s fizik?l? noz?me. Par

vektoru lauka diver?enci sauc robe?u no pl?smas un tilpuma attiec?bas, kad

apgabala diametrs tiecas uz 0 [pic] (1) [pic] (2)

21.Vektoru lauka cirkul?cija, t?s apr??in??ana. Par vektoru lauka

cirkul?ciju sauc l?nijintegr?li pa sl?gtu l?niju.[pic](3) 22. Vektoru

lauka rotors, t? fizik?l? noz?me. Par vektoru lauka a rotoru sauc sekojo?o

determinantu. [pic] [pic]

[pic](3) 23. Potenci?ls lauks. Vektoru lauku a sauc par potenci?lu, ja tas

ir vien?ds ar k?da skal?r? lauka gradientu [pic]

25.St?gas sv?rst?bu vien?dojums. (2u/(t2=a2*(2u/(x2 –st?gas sv. vien.

Atrisin?jums

26.Siltumvad??anas vien?dojums. (2u/(t=a2*(2u/(x2 –silt.vad. vien.

27. Parci?lie diferenci?lvien?dojumi, Ko?? probl?ma, Dirihl? probl?ma,

jaukta veida probl?ma

-----------------------

[pic]

–??/?????†???????????"???–??/?????†???????????"???–??/?????†???????????"???–

??/?????†???????????"???–??/?????†???????????"???–??/?????†???????????"???–?

?/?????†???????????"???–??/?????†???????????"???–??/?????†???????????"???–??

/??[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]