Шпора

Шпора

|Билет №1 | |Вопрос №3 | |Вопрос №5 |

|Пусть в обл. P плоскости | |Пусть в плоскости XOY | |Формула Грина. |

|XOY задана некоторая | |задана плоскость Д, | |[pic] |

|фун-ия z=f(x;y). Разобъём| |ограничен-ная следующими | |Теорема: Пусть задана |

|обл. P на n частичных | |кривыми: y=(1(x) a ( x ( a | |область Д огран. след. |

|обл. Рi , где i=1…n, | |– снизу; | |кривыми: |

|возмём произвольную точку| |y=(2(x) a ( x ( b – сверху;| |y=(1(x) a ( x ( b |

|обл. ((I;(I) ( Рi , ( - | |x = a – слева; x = b – | |y=(2(x) a ( x ( b |

|наиболь-ший диаметр | |справа; | |x=a , x=b, где ф-ции |

|чатичных обл. | |Тогда имеет место следующая| |(1 и (2 непрер. на (a,b).|

|Построим частичную сумму | |теорема. | |Пусть в этой области |

|– сумму Римена. | |Теорема: Если функция | |задаётся функция P(x,y) –|

|[pic] | |f(x;y) задана в области Д | |непрер. и имеющая непрер.|

|Определение: | |такова, что существует | |частную производную: |

|[pic] | |двойной интеграл | |[pic], тогда имеет место |

|Если существует конечный | |[pic] | |след. равенство: |

|предел и не зависит от | |для любого фиксированного | |[pic] |

|способа делений области | |x( [a ; b] существует одно-| | |

|на части и от выбора т. | |мерный интеграл | |Доказательство: |

|((I;(I) в каждой из | |[pic] | |Рассмотрим двойной |

|частичных областей, то | |то тогда существует | |интеграл, стоящий справа |

|такой предел принято | |повторный интеграл | |в формуле(1). Т.к. под |

|называть двойным | |[pic] | |интегралом стоит непрер. |

|интегралом по обл. Р и | |Доказательство: | |функция, то такой двойной|

|пишут: | |[pic] | |интеграл существует, |

|[pic] | |Обозначим c=inf (1(x) a ( | |также существует |

|В случае, если фун-ия f >| |x ( b; d=max (1(x) a ( x (| |одномерный интеграл[pic] |

|0 мы приходим к | |b и рассмотрим | |и его можно вычислить |

|геометрическому смыслу | |прямоугольник | |через повторный: |

|двойного интеграла: | |R=[a,b;c,d](Д. P=R\Д (раз-| |[pic] |

|днойной интеграл – это | |ность множеств). Построим | |Теорема: Пусть задана |

|объём некоторого | |вспомогательную функцию | |область Д огран.: |

|цилиндрического тела, | |[pic] | |[pic] |

|сверху ограниченного | |Рассмотрим | |y=(1(x) с ( x ( d |

|пов-тью z = (x;y), | |[pic] | |y=(2(x) c ( x ( d |

|которая проектируется на | |Получаем следующее | |x=c , x=d. И пусть в |

|плоскость XOY в обл. Р, а| |равенство: | |этой области задаётся |

|образующие параллельны | |[pic] | |функция Q(x,y) – непрер. |

|OZ. Площадь обл. Р: | |Замечание: Пусть теперь | |и имеющая непрер. частную|

|[pic] | |область Д ограничена | |производную: [pic], тогда|

|Двойной интеграл от | |следующими линиями: | |имеет место след. |

|f(x;y) имеет многие | |[pic] | |равенство: |

|св-ва, аналогичные св-ам | |x=(1(y) c ( y ( d – слева; | |[pic] |

|одномерного интеграла. | |x=(2(y) c ( y ( d – справа;| | |

|Св-ва двойного интеграла:| | | |Cкладываем формулы (1) и |

| | |x = c – сверху; x = d – | |(2) и получаем следующую |

|1.Необходимым условием | |снизу. И пусть | |формулу Грина для области|

|сущ. Двойного интеграла | |[pic] | |Д: |

|явл. ограниченность ф-ции| |Тогда аналогично | |[pic] |

|f в обл. Р, т.е если сущ.| |предыдущему можно показать,| |D P(x,y), Q(x,y) |

|интеграл, то f(x;y) – | |что существует повторный | |[pic], [pic] |

|ограниченная. | |интеграл и | |[pic] |

|2.Всякая непрырывная | |[pic] | |Вычисление площадей через|

|ф-ция, заданная в обл. Р,| |Если же функция f(x;y) | |крив интеграл |

|интегри-руема. | |такова, что существует | | |

|3.Если ф-ция f(x;y) в | |двойной интеграл, | |[pic] |

|обл. Р имеет разрывы на | |существует оба повторных, | |Применим ф. Грина, т.е. |

|конечном числе | |то одновременно имеют место| |выразим его через |

|непрырывных кривых, | |формулы (1) и (2) и можно | |криволинейный интеграл по|

|принадлежащих этой обл., | |пользоваться любой из них. | |границе области. |

|то f интегрирума по обл. | | | |1. Q = x P = 0[pic] |

|Р. | | | |2. Q = 0 P = -y[pic] |

|4.Сумма Дарбу: | | | |Суммируем 1 и 2 :[pic] |

|[pic] [pic] | | | | |

|Теорема: Для того, чтобы | | | |Пример: Вычислить площадь|

|двойной интеграл от | | | |эллипса |

|ограниченной обл. Р | | | |[pic]. |

|существовал, необходимо и| | | |Сделаем замену |

|достаточно, чтобы | | | |переменных[pic] |

|выполнялось равенство: | | | |0 ( t ( 2( |

|[pic] | | | |[pic] |

|5.Аддетивность двойного | | | | |

|интеграла, т.е., если | | | | |

|задана обл.Р некоторой | | | | |

|непрырывной кривой | | | | |

|разбита на две обл-ти | | | | |

|Р1иР2 не имеющих общих | | | | |

|точек, то, если двойной | | | | |

|интеграл по обл. Р | | | | |

|существует, то существуют| | | | |

|интегралы относительно по| | | | |

|двум областям. | | | | |

|[pic] | | | | |

|6.Линейность: | | | | |

|[pic] | | | | |

|7.Если f(x;y) ( g(x;y) | | | | |

|для ((x;y)(P и ф-ции f и | | | | |

|g интегрируемы, то | | | | |

|соответственно | | | | |

|справедливо неравенство: | | | | |

|[pic] | | | | |

|9.Если f(x;y) | | | | |

|удовлетворяет нер-вам m | | | | |

|( f(x;y) ( M, то | | | | |

|справедливо следующее | | | | |

|неравенство: | | | | |

|[pic] | | | | |

|10.Для двойного интеграла| | | | |

|имеет место теорема о | | | | |

|среднем: если z = f(x;y) | | | | |

|– ф-ция, заданая в обл. Р| | | | |

|и такая, что во всех | | | | |

|точках этой области | | | | |

|выполняется нер-во m ( | | | | |

|f(x;y) ( M, где | | | | |

|[pic] | | | | |

|то существует число ( | | | | |

|такое, что справедливо | | | | |

|равенство: | | | | |

|[pic] | | | | |

|В случае непрырывности | | | | |

|ф-ции: | | | | |

|[pic] | | | | |

|Вопрос №6 | |Вопрос №4 | |Вопрос №2 |

|Неприрывную кривую назыв.| |Пусть заданы 2 плоскости с | |Теорема: Пусть z = f(x,y)|

|простой кривой | |введенными в прямоугольник | |– ограниченная функция, |

|(жордановой), если она не| |декартовыми системами | |заданная на |

|имеет точек | |координат | |прямоугольнике R = |

|самопересечения. | |[pic] | |[a,b;c,d], и существует |

| | |XOY и UOV. Пусть в | |двойной интеграл по этому|

|Областью называется | |плоскисти XOY задана | |прямоугольнику [pic] |

|всякое открытое связаное | |область DV ограниченная | |Если для ( X [a,b] |

|мн-во, т.е. такое мн-во | |кривой Г, а в плоскости | |существует одномерный |

|всякая точка кот. явл. | |UOV задана область G | |интеграл |

|внутренней и любые две | |ограниченная кривой L | |[pic] |

|точки этого мн-ва можно | |Пусть функция | |то ( повторный интеграл |

|соединить непрерывной | |[pic]отображает область G в| |[pic] |

|кривой все точки кот. | |области D, где т.(u,v)( G, | |Доказательство: |

|принадлежат данному | |а т.(x,y)(D. | |[pic] |

|мн-ву. | |Будем предпологать , что | |Разобьем отрезки ab и cd |

| | |функции x и y такие, что | |отрезками a=x00, | |функции переменной х , а y’| |непрерывные функции m – |

|выполняется равенство: | |и y входят в уравнение | |действительное число (0 и|

|[pic] | |в 1 степени. | |(1 |

| | |1.Метод подстановки: | |разделим уравнение на ym|

|Пример: [pic] | |Будем искать решение | |: |

|Определение: диф. ур-е 1 | |уравнения 1 в виде | |[pic] - приведем его к |

|порядка разрешённое | |произведения y=U(x)V(x) при| |линейному |

|относительно производной | |чём так, что мы | |Обозначим через [pic] а |

|называется однородным | |можем подобрать одну из | |теперь диференциируем |

|диф. ур-ем 1 порядка, | |функций по желанию, | |[pic] |

|если его правая чаcть | |а вторую так, чтобы | |теперь подставим в |

|(функция f(x,y)) является| |удовлетворяла (1) : | |уравнение |

|однородной функцией 0-й | |y’=U’V+UV’ ; | |[pic] |

|степени. | |U’V+UV’+UV*P(x)=Q(x) ; | |получили линейное |

|Метод решения: Пусть (1) | |U’V+U(V’+V*P(x))=Q(x) | |уравнение . |

|является однородным | |Найдём V ,чтобы V’+VP(x)=0 | | |

|уравнением [pic](1). | |: | |Уравнение Рикотти – это |

|[pic] Пусть [pic] | |[pic] [pic] | |диф. следующего вида |

|[pic] | |[pic] Тогда U’V=Q(x) | |[pic] |

|2) если [pic]то [pic] | |[pic] | |Где P(x),q(x),r(x) – |

|т.е. [pic] | |[pic] [pic] | |некоторые непрерывные |

| | |[pic] | |функции |

| | |y’+y cos(x)=1/2 sin(2x) | |Рассмотрим несколько |

| | |y=UV | |случаев |

| | |U’V+UV’+UVcos(x)=sin(x)cos(| |1) если ф-ции P(x) , Q(x)|

| | |x) | |и r(x) – явл. Константами|

| | |V’+Vcos(x)=0 | |то в этом случае сущ. |

| | |dV/V=-cos(x)dx | |решением ур-я Рикотти |

| | |ln(V)= -sin(x) | |т.к. в этом случае ур-е |

| | |V=e-sin(x) | |явл. Ур-ем с разделенными|

| | |[pic] | |переменными . |

| | |sin(x)=t [pic] | |[pic] |

| | |[pic] | |2) если q(x)=0 имеем лин.|

| | | | |Ур-ние |

| | | | |3) если r(x)=0 то имеем |

| | | | |ур-е Бернулли |

| | | | |Если не выполяется ни |

| | | | |одно из этих 3 условий , |

| | | | |то ур-е Рикотти решить |

| | | | |нельзя , неразрешимо в |

| | | | |квыадратурах . Однако |

| | | | |если эти три случая , но|

| | | | |возможно найти хотя бы |

| | | | |одно частное решение |

| | | | |этого ур-я то ур-е |

| | | | |решается в квадратуре . |

| | | | |Установим это : пусть |

| | | | |[pic]- явл. Часным |

| | | | |решением ур-я Рикотти |

| | | | |т.е. |

| | | | |[pic] |

| | | | |тогда введем новую |

| | | | |функцию z=z(x) |

| | | | |Положем [pic] , [pic] |

| | | | |Подставив в уравнение |

| | | | |получим |

| | | | |[pic] |

| | | | |а это ур-е Бернулли |

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

|Билет №23 | |Билет№21. | |Билет№19 Уравнения, |

|Уравнение в полных | |Метод вариации производной | |приводящиеся к |

|дифференциалах и их | |постоянной при решении | |однородным. |

|решение | |линейного диф. уравнения | |К таким уравнениям |

|Пусть задано диф. ур-е | |1-го порядка. | |относят уравнения вида: |

|ел. Вида: | | | |[pic] где a,в,с - |

|[pic] | |y’+P(x)y=Q(x) (1) | |const |

|где P(x,y) и Q(x,y) – | |-задано линейное | |1)[pic]Введём:[pic] чтобы|

|непрер. Функции имеющие | |неоднородное уравнение. | |исчезли с1 и с2 |

|непрерыв часн. | |Рассмотрим соотв. ему | |[pic] [pic] После |

|Производную 2 порядка | |однородное уравнение | |нахождения конкретных k и|

|включительно. | |y’=P(x)y=0 (2). Найдём | |h и подстановки их в наше|

|Диф. ур. Назыв. Ур-ем в | |общее решение: | |уравнение, с учётом того,|

|полных диф-лах , если | |[pic] [pic] | |что [pic] получаем :[pic]|

|[pic] такое что | |[pic] [pic] | |Это уравнение является |

|[pic] | | | |однородным и решается |

|т.е. ур. В этом случае | |Будем искать решение в том | |подстановкой [pic] |

|имеет вид :[pic] | |же виде, что и однородного,| |2). [pic] Тогда: [pic] |

|это уравнение явл полным | |только считая с не | |[pic] [pic] Подставим |

|диф. функции U как ф-ции | |произвольной константой ,а | |:[pic] Сделаем |

|двух переменных: | |функцией от х : [pic] | |замену:[pic] [pic] |

|[pic][pic] | |[pic] | |[pic] [pic] |

|если выполняется | | | |[pic] [pic] [pic] |

|равенство тогда то левая | | | |1). [pic]Допустим [pic] |

|часть [pic] а тогда его | | | |[pic] [pic] |

|решение | | | |?(z)=x+c |

|[pic] - общий интеграл | | | |?(a2x+b2y)=x+c |

|диф. Ур. | | | | |

| | | | |2). Теперь допустим[pic]|

|Теорема о необходимости и| | | |Тогда получим z=c. |

|достаточности условия | | | | |

|того что Ур было ур-ем в | | | | |

|полных дифференциалах | | | | |

|Теорема : Для того чтобы | | | | |

|ур было ур-ем в полных | | | | |

|диф. в некоторой Д | | | | |

|принадл ХОУ | | | | |

|Необх. И дост. Чтобы во | | | | |

|всех точках обл. Д выполн| | | | |

|равенство [pic] если | | | | |

|условие выполняется можно| | | | |

|найти ф-цию [pic] что | | | | |

|будет выполняться рав-во | | | | |

|след. Образом. | | | | |

|[pic] | | | | |

|найдем [pic] | | | | |

| | | | | |

|Билет №24 | |Вопрос №26. | |Билет 28. |

|Интегральный множитель и | |Уравнение вида: f(x,y()=0. | |Ур-ние Логранжа |

|его нахождение | |1) Предположим, что данное | |Ур. Лог.имеет следующий |

|Пусть задано диф. ур-ние| |уравнение можно разрешить | |вид[pic] |

|в диф. форме вида : | |относительно y(; y(=fk(x), | |где ф-ция[pic]и |

|[pic] | |k=1,2,… | |[pic]непрерывная и |

|не всякое такое уравнение| |[pic] Получим совокупность| |сменная производная по |

|явл. Уравнением в полных | |таких решений. Она является| |своему аргументу. |

|виференциалах однако | |общим решением данного | |Покажем что путём |

|доказано что для всякого | |уравнения. | |диф-ния и введения |

|такого ур-я может быть | |[pic] | |параметра можно получить |

|подобрана ф-ция | |[pic] | |общее решение |

|[pic]такая что после | |………………………………. | |в параметрической |

|умножения левого и | |[pic] | |форме.Пусть у`=p=p(x) |

|правого ур-я на эту | |2) Пусть оно не разрешается| |Подставляем в ур. |

|функцию данное уравнение | |относительно y( и | |[pic] (1) |

|стан ур-ем в полных диф. | |разрешается относительно x.| |Продиф-ем на х |

|Ф-цияю [pic]назыв | |Пусть оно эквивал. Такому | |[pic] |

|интегральным множителем | |x=((y(). Будем искать | |[pic] |

|данного уравнения | |решение данного уровнение в| |Рассмотрим два случая: |

|Найдем функцию | |параметрической форме. | |[pic] |

|определяющую интегр. | |y(=p=p(x). | |[pic] |

|Множитель данного | |Пусть x=((p), А y | |[pic][pic] |

|уравнения: | |ищем так: | |Будем смотреть на это |

|[pic] | |dx=(((p)dp | |ур-ние как наур-ние |

|тогда должно выполн. | |dy=y(dx=p(((p)dl. | |от неизв. Ф-ции х, |

|Рав-во: | |Отсюда [pic] | |которая в свою очередь |

|[pic] | |Тогда общее решение [pic] | |явл. |

|имеем уравнение в частных| |3) Предположим, что ур-ние | |Ф-цией параметра р.Тогда |

|производных относит неизв| |не разрешено не относ. х, | |имеем обычное |

|функции Мю.Общего метода | |не относ. y(, но оно может | |инт.ур.относительно |

|нахожения которой не | |быть представлено в виде | |неизв.ф-ции, которую |

|существует | |с-мы двух ур-ний, | |можем найти. |

|Найдем интегр множитель в| |эквивалентных данному | |Пусть общим интегралом |

|случае если он явл ф-цией| |ур-нию: [pic]( ( t ( ( | |этого ур.будут |

|от одной из перемен. | |dy=y(dx dx | |F(p,е,c)=0 (2) |

|1)Найдем условие при | |=(((x)dt | |Объеденим (2) и (1) |

|которых [pic] функция | |dy=((t)* (((t)dt | | |

|[pic]должна удовлетв | |Тогда парметрическое | |[pic] |

|равенству | |решение данное ур-я | |[pic] |

|[pic] ;[pic]будет | |[pic] | |А это и есть общее |

|зависеть только от Х если| | | |решение ,представленое |

|правая часть ур будет | | | |через параметр Р. |

|зависеть только от Х | | | |2)[pic] ,тогда Р=0,но |

|2) Аналогично и | | | |такая constanta, |

|[pic]=[pic](У) | | | |что удовлет. решению ур. |

|[pic] ;[pic]будет | | | |:[pic] |

|зависеть только от Х если| | | |Пусть РI(I=1,2,..) будут |

|правая часть ур будет | | | |решением этого ур. |

|зависеть только от У | | | |Тогда решением |

| | | | |первоначального ур.А. |

| | | | |будут ф-ции [pic], |

| | | | |которые явл. Особыми |

| | | | |решениями ур. А. |

| | | | |И не могут быть получены |

| | | | |общим решением. |

| | | | |Ур.Клеро. |

| | | | |Ур.Клеро имеет вид |

| | | | |[pic]где |

| | | | |[pic]-непрер. и |

| | | | |симетр.произв.по своему |

| | | | |аргументу. Вводим |

| | | | |параметр [pic]. |

| | | | |Тогда [pic] (3) |

| | | | |Диф-ем по Х [pic] |

| | | | |Если [pic],то р=е, а |

| | | | |тогда |

| | | | |подставляем в (3)и |

| | | | |получаем:[pic] |

| | | | |[pic]явл. общим решением |

| | | | |ур. Клеро |

| | | | |[pic]тогда имеем |

| | | | |параметрическое ур. |

| | | | |[pic]общее реш. |

| | | | |[pic][pic] [pic] |

| | | | |Пример[pic] |

| | | | |Замена [pic] |

| | | | |[pic] |

| | | | | |

| | | | |[pic] |

| | | | |общее решение: |

| | | | |[pic] |

| | |Билет 27. | |Билет 25. |

| | |Уравнение вида F(y,y`)=0 | |Рассмотрим несколько |

| | |1)Пусть ур-ние разрешимо | |случаев: |

| | |относ. | |1.Пусть задано следющее |

| | |y`,тогда y`=fk(y) Разрешим | |диф. ур-ние: |

| | |относ. y, где к=1,2…. | |[pic] |

| | |[pic][pic]k(y) . | |Это диф. ур-е 1-го |

| | |Пустьfk(y)[pic]0 тогда | |порядка n-ой степени, где|

| | |[pic][pic] | |(I (x;y) – некото- рые |

| | |Считаем х-функцией от у. | |непрырывные ф-ции двух |

| | |[pic]. [pic] | |переменных в некоторой |

| | |[pic]-это общий интеграл | |обл. Q ( R2 (i=0,…,n). Мы|

| | |данного ур-я . | |имеем ур-е n-ой степени |

| | |[pic] общее решен.х. | |относительно 1-ой |

| | |Пусть fk(y)=0 . Тогда | |производной, а известно, |

| | |решен.данного ур-я | |что всякое ур-е n-ой |

| | |могут быть ф-ции | |степени имеет вточности |

| | |[pic],где[pic]- консты, | |n-корней, среди которых |

| | |причём | |есть как действительные |

| | |такие,которые | |так и комплексные. Пусть |

| | |удовлнтв.условиюF[pic] | |например это ур-е имеет |

| | |2)Пусть ур-ние не | |какоето количество m ( n |

| | |разр.относ.у,, но разреш. | |действительных корней. |

| | |отн. y, т.е. пусть | |Т.к. коэффициенты этого |

| | |наше ур-е эквивал. | |ур-я являются ф-циями |

| | |Ур-нию[pic]Тогда общее | |двух переменных, то ясно,|

| | |реш.розыскивается в | |что корни тоже будут |

| | |парометрич. форме.Вводят | |ф-циями двух переменных. |

| | |параметры таким образом | |Пусть это будут решения |

| | |[pic] | |y1=fk(x;y), k=1,2…m. |

| | |а)пусть [pic]тогда | |Ур-е (1) свелось к m - |

| | |[pic], | |ур-ий 1-го порядка. |

| | |а тогда: | |Пусть это ур-я, имеющие |

| | |[pic]- общее решение в | |общий интеграл |

| | |пар-ой форме | |Fk=(x;y;c)=0, k=1,2…n. |

| | |[pic] | |Тогда совокупность всех |

| | |б) пусть у’=0, тогда | |этих общих интегралов |

| | |у=const | |[pic] |

| | |Решением ур-ния будут ф-ции| |и будет общим решением |

| | |у=[pic]к , | |данного диф. ур-я (1). |

| | |какие удовлет.ур-ние | |Пример: |

| | |F([pic]k,0)=0 | |[pic] |

| | |Пример: решить ур. [pic] | |Пусть x=0,а ур-ние |

| | |Разреш. относ. У | |разделим на x |

| | |.тогда[pic] | |[pic] [pic] |

| | |[pic] | |[pic] [pic] |

| | |[pic] | |[pic] [pic] |

| | |[pic]; [pic] | |[pic][pic] |

| | |[pic] | |[pic] [pic] |

| | | | |[pic] [pic] |

| | | | |Ур-я вида: F(y!)=0 |

| | | | |Пусть заданное диф. ур-е |

| | | | |явно зависит только от y!|

| | | | |и не зависит явно от x и |

| | | | |y. Тогда мы имеем |

| | | | |некоторое алгебраическое |

| | | | |ур-е относительно |

| | | | |производных. А такое |

| | | | |алгебраическое ур-е пусть|

| | | | |имеет конечное или |

| | | | |бесконечное множество |

| | | | |действительных решений |

| | | | |относительно производных.|

| | | | |Т.е. y! = ki , i= 1,2… , |

| | | | |где ki – некоторые |

| | | | |действительные числа. У |

| | | | |нас выполняется условие |

| | | | |F(ki)(0. Решим ур-е |

| | | | |y!=ki; y=kix+c; |

| | | | |ki=(y-c)/x. Общий |

| | | | |интеграл заданного диф. |

| | | | |ур-я |

| | | | |[pic] |

| | | | |Пример: |

| | | | |(y!)4-4(y!)2+1=0 |

| | | | |k4-4k2+1=0 |

| | | | |действительные корни есть|

| | | | | |

| | | | |Значит сразу получаем |

| | | | |общее решение |

| | | | |[pic] |