Шпора по математическому анализу

Шпора по математическому анализу

|13. Линейные | |10. Линейные неодн| |Лекция №7 |

|неоднородные диф | |ДУ n-го порядка с | |1.Определение ( |

|ур-я n-го порядка | |перем коэф. | |решения. |

|с правой частью | |1)Теорема (я и | | |

|квазимногочлена. | |ед-ти решения нач | |Предп. что |

|1)Квазимногочлены | |задачи | |рассматр. нач. |

|и их свойства | |2)Теорема об общем| |задача вида |

|2)Правило | |решении | |(1)-(2) |

|нахождения | |3)Метод Лагранжа | |у(=f(x,у)(1) |

|частного решения в| |вариации произв | |у(х0) =у0(2) |

|нерезонансном | |пост | |f(x,у) – непр. по |

|случае | |4)Ф-я Коши и её | |совокупн. решенных|

|3)Правило | |св-ва | |предполог., что |

|нахождения | | | |f(x,у) рассматр. |

|частного решения в| |1:)Теорема (я и | |на прямоугольнике |

|резонансном случае| |ед-ти решения нач | |D= | |теоремой ( и | |Проинтегр. рав-ва |

|pj(x)=0, (j=1..k | |единств реш нач | |у((х) и для z((х) |

|(5). Проведём | |зад. | |у(х)=y0+(x0,x)?ds |

|ММИ: | |n-го порядка и | |(11) |

|1)k=1;f(x)=e([1]xp| |системой из | |z(x)=z0+(x0,x)?ds |

|2)Пусть многочлен | |порядка: возьмём | |(12) |

|вида (3)=0. | |уравнение 2-го | |вычтем. почленно |

|Разделим (3) на | |порядка с непр | |из (11)-(12) и |

|e([k]x: | |коэф: | |оценим разницу по |

|e(([1]-([k])xp1(x)| |y’’+p(x)y’+q(x)y=f| |иодулю: |

|+e(([2]-([k])xp2(x| |(x). | |у(х)-z(x)=y0-z0+(x|

|)+...+pk=0. Пусть | |y1(x)=y(x);y2(x)=y| |0,x)?|

|многочлена. Если | |y1’(x)=y’(x)=y2(x)| |ds (13) |

|продифференцироват| |; | ||y(x)-z(x)| | |неодн ур-я (1) | |огда посднее н-во |

|gj(x)(0. Если при | |имеет след вид: | |м-но зап-ть в |

|p=0 получ 0, то | |y=c1y1(x)+...+cnyn| |след. виде |

|дифференциальный | |(x)+z(x) (5), где | |U(x) (5) – | |решение (1) при | |м-но вып-ть оценку|

|д-но | |(c1,...,cn. Вся | |ф-ции U(x) если |

|Тхеоремена | |первая часть (5) –| |ф-ции у(х) и z(x) |

|доказякана | |решение (3). | |это точные реш-я, |

| | |Добавл к нему | |то (,(,( =0 |

|2:)Правило | |частн реш z(x), | ||y(x)-z(x)| | |Перенося z – | |3 Зависимость от |

|коэффициенты g(x) | |вправо, получ (5).| |правой части |

|определяются | |Теорема доказана. | |если у(х) и z(x) |

|однозначно. | |Общее решение | |это точное реш-е |

|Д-во: | |однородного | |но разных задач, |

|L(p)y=e(xp(x). | |уравнения есть ( | |то в этом случае |

|Учитывая (8), | |общ решения соотв | |(=(=0, (>0 и м-но |

|получаем: | |однор ур-я, и | |оценить разницу |

|L(p){e(xg(x)}=e(xp| |какого – либо | |между у(х) и z(x) |

|(x). Применим к | |частн решениия | | |

|лев части ф-лу | |неодн ур-я. | ||y(x)-z(x)|0(сост матр | |метод численного |

|L(p+(){xkg(x)}=p(x| |из игриков) => это| |интегрир. нач-ой |

|). Нужно найти | |система имеет | |задачи. Для этого |

|g(x), удовл | |единственное | |весь пр-к опред-я|

|последн ур-ю. Т.к.| |решение. Проверим,| |ф-ии по х разб. на|

|(-корень хар ур-я,| |что (6) при вып | |части х0 0 то в силу|

| | | | |непр. ф-ции f(x,у)|

| | |ci(x)=(Wi(x)/W(x))| |: |

| | |f(x) (11), i=1..n;| ||f(x,у)- |

| | |Wi – | |f(x,z)|0 (непр. по |

| | |в i-м столбце. | |совок. переменных)|

| | |ci(x)= | |M=maх|f(x,у)| |

| | |ci+(x0..x)((Wi(s)/| |Д-во |

| | |W(s))f(s)ds, | |Из (25) вытекает |

| | |i=1,…,n (12). | ||y(((x)-f(x,у((x))|

| | |Подставим в (6): | || |

| | |y=(i=1..n)(ciyi(x)| |=|f(xi,уi)-f(xi,уi|

| | |+(i=1..n)(((x0..x)| |)+(x-xi)f(xi,уi))||

| | |((Wi(s)/W(s))f(s)d| |<=( (26) |

| | |s)yi(x)=(i=1..n)(c| ||x-xi|<=(; |

| | |iyi(x)+(x0..x)((i=| ||x-xi||f(xi,уi)|<=|

| | |1..n)((Wi(s)/W(s)f| |(M |

| | |(s))y(x)ds) (13) | |При достаточно |

| | |K(x)=(i=1..n)((y(x| |малом шаге |

| | |)Wi(s))/W(s) (14);| |ломаная Эйлера |

| | |x,s((a;b) | |становится ( |

| | |y=(i=1..n)(ciyi(x)| |решением |

| | |+(x0..x)(K(x,s)f(s| |6 Оценка |

| | |)ds (15) – | |погрешности метода|

| | |интегральный | |ломаных Эйлера |

| | |оператор | |Предп. что f(x,у) |

| | | | |удовл. усл. Лищица|

| | | | |по кажд. |

| | | | |переменной |

| | | | |т.е. разница : |

| | | | ||f(x,у) |

| | | | |–f(s,z)|<=k|x-s|+L|

| | | | ||y-z| (27) |

| | | | |Вэтом случае |

| | | | ||y(((x)-f(x,у((x))|

| | | | ||=|f(xi,yi)-f(x,yi|

| | | | |+(x-xi)f(xi,уi)|<=|

| | | | | |

| | | | |( в кач-ве у(х) |

| | | | |выбир. отн. Эйлера|

| | | | |) |

| | | | |<= |

| | | | |k|x-xi|+|x-xi|LM<=|

| | | | |(k+(()(( (28) |

| | | | |Восп. соотн. (20) |

| | | | |Пусть сетка будет |

| | | | |равномерной |

| | | | ||y(x)-y((x)|<=(((k|

| | | | |+ML)()/h)(eL|x-x0||

| | | | |-1) (29) |

| | | | ||y(x)-y((x)|<= |

| | | | |h(M+k/h)(eL|x-x0|-|

| | | | |1) (30) |

| | | | |Оценка (30) наз-ся|

| | | | |оценкой первого |

| | | | |пор-ка точности. |

| | | | |Задаваясь опред. |

| | | | |точностью и зная |

| | | | |числа k,M,L можно |

| | | | |определить h таким|

| | | | |обр. чтобы посл. |

| | | | |произв. было <(. |

| | | | |Тогда соотв. и |

| | | | |разн. между ф-ей |

| | | | ||y(x)-y((x)|<( |

| | | | |(32) |