Шпоры по математическому анализу

Шпоры по математическому анализу

1. Производные и дифференциалы высших порядков

Опр-ие: производной n-го порядка (n(2) функции у=f(х) называется

производная (первого порядка) от производной (n-1)-го порядка.

Найдя 1-ю производную можно определить 2-ю производную по тем же формулам,

по которым определяли первую.

Опр-ие: Дифференциалом n-го порядка функции у=f(х) называется дифференциал

первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается dny)По

определению dny= d(dn-1y). Иногда dy называют диф. Первого порядка. В общем

случае, dny=f(n)(х)dxn, в предположении, что n-ая производная f(n)(х) сущ-

ет, поэтому понятно, что n-e. Производную обозначают так

3. Теорема Ролля.

Теорема Ролля: Если функция у=f(х) непрерывна на замкнутом промежутке

[a,b], дифференцируема хотя бы в открытом промежутке (a,b) и на концах

промежутка ее значения совпадают f(a)=f(b), то внутри промежутка найдется

такая точка x=c, что f'(c)=0

Док-во: Если функция сохраняет постоянное значение на промежутке [a,b],

f(х)= f(a)=f(b), то f'(c)=0 и в качестве точки с можно взять любую точку

интервала (a,b).

Пусть теперь функция f(x) не является постоянной. По теореме Вейштраса

существуют точки х1 и х2 на отрезке [a,b] , в которых достигаются

наименьшее m и наибольшее М значения функции. Обе эти точки не могут быть

концевыми для отрезка [a,b], т.к. из условия f(a)=f(b) вытекало бы, что

m=М, следовательно, функция f(х) сохраняла бы постоянное значение, вопреки

предположению.

Допустим, что не совпадает с концом отрезка точка х1, т.е. a< х10, будет ?y:?x ?0, поэтому

При ?х0, будет ?y:?x ?0, поэтому

При ?х0), а

после точки х0 убывает (т.е. f'(х)0 при

х< х0 и f'(х) х0 , то в точке х0 имеется максимум.

Если в достаточно малой окрестности точки х0 f'(х)0

при х > х0 , то в точке х0 имеется минимум.

2. Перейдем к формулировке достаточного условия экстремума с помощью второй

производной. Предполагается, что в некоторой окрестности точки х0 , в том

числе и в самой точке х0 , существует первая производная f'(х). Кроме

того, в точке х0 существует вторая производная f''(х0). Исходя из

выполнения необходимых условий экстремума, полагаем, что f''(х0)=0.

Посмотрим теперь на f''(х)как на первую производную от функции

Допустим, что f''(х0)>0. Это означает, что f'(х) возрастает при переходе

значений х < х0 к значениям х > х0 . Но f'(х0)=0, поэтому возрастание

f'(х0)0, при х > х0 . (для значений х из достаточно

малой окрестности х0 ). В соответствии с п.1 получается минимум в точке х0

. Аналогичное рассуждение при f''(х0)0, то функция

y=f(x) имеет локальный минимум в точке х0.

11. Формула Тейлора и Маклорена.

Этой формулой можно воспользоваться, когда в некоторой окрестности точки х0

существует непрерывная производная f(n+1)(x), и значения х принадлежат этой

окрестности. Через Rn обозначен так называемый остаточный член. Его можно

записывать в разных формах. Мы ограничимся формулой Лагранжа:

Здесь с - какое-то число, о котором известно только то, что оно находится

между х0 и х.

При х0=0 формулу Тейлора называют формулой Маклорена, общий вид которой:

8. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Рассмотрим функцию у=f(х), непрерывную на отрезке [a,b]. По теореме

Вейерштрасса эта функция принимает наибольшее и наименьшее значения на

отрезке. Наибольшее и наименьшее значения могут достигаться либо в точках

локального экстремума (x2, x3, x4, x5,), либо на концах промежутка. Находим

точки, подозрительные на экстремум (х1, x2, x3, x4, x5,). Вычисляем

значения функции в этих точках и на концах промежутка [a,b]. Из полученных

чисел выбираем самое большое и самое маленькое. Это не предусматривает

применения достаточных условий экстремума в точке х1, где локального

экстремума не существует, т.е. проделана лишняя работа. Однако, как

правило, экономнее вычислять значения функции во всех точках,

подозрительных на экстремум, вместо того, что бы отбирать из них с помощью

достаточных условий лишь те точки, в которых локальный экстремум

действительно есть. Иногда описанную задачу называю глобальный экстремум.

9. Нахождение асимптот графиков функции.

Говорят, что точка движется по кривой в бесконечность, если расстояние этой

точки до начала координат неограниченно возрастает.

Определение: Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки,

движущейся по кривой в бесконечность, до этой прямой стремится к нулю.

Нахождение вертикальных ас:

Ищутся конечные значения х=а, при которых

Существование такого значения часто связано с обращением в нуль знаменателя

дроби.

Нахождение наклонных асимптот.

Пусть y = kx+b - асимптота кривой y=f(x) при x>+? (как на рисунке). Угол ?

сохраняет постоянное значение, ?=?. Из ? KLM KM=ML? cos ?. Поэтому KM и ML

стремятся к нулю одновременно. ML=f(x)-(kx+b), следовательно (1):

Преобразуем это равенство, вынеся х за скобки:

При x>? такое равенство возможно только тогда, когда:

Здесь

Поэтому

Следовательно (получаем (2)),

Вычислив k, находим b. Из равенства (1)(получаем (3)

Существование пределов (2) и (3) не только необходимо, но и достаточно,

чтобы прямая y=kx+b была асимтотой кривой y=f(x). В частности, при k=0

асимптота будет горизонтальной. Кривая не имеет наклонной асимптоты, если

не существует хотя бы один из пределов (2) и (3).

13. Первообразная. Теорема о двух первообразных одной функции.

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на

интервале (a,b), если на этом интервале существует производная F'(x) и

F'(x)=f(x).

Теорема: Если F1(x) и F2(x) - первообразные для одной и той же функции

f(x), то их разность есть величина постоянная.

Докозательство: По условию F'1(x)=F'2(x)=f(x) обозначим: Ф(x)= F1(x) -

F2(x). Очевидно, Ф'(x) равняется нулю во всем промежутке (a,b), где

определены первообразные F1(x) и F2(x). Для любых х1, x2,( (a,b) по формуле

Лагранжа Ф(х1)-Ф(х2)=Ф'(c)(b-a). но Ф'(c)=0, т.к. с( (a,b), следовательно

Ф(х1)=Ф(х2). Это означает, что Ф(х) сохраняет постоянное значение на

промежутке (a,b), т.е. F1(x) - F2(x)=С.

Следствие: Если для функции f(x) первообразной на интервале (a,b) является

функция F(x), то ее любая другая первообразная для f(x) имеет вид F(x)+C,

где С - произвольная постоянная.

14. Неопределенный интеграл. Табличные интегралы.

Определение: Неопределенным интегралом от функции f(x) называется

совокупность всех первообразных этой функции. Он изображается так: ?

f(x)dx, где ?- знак интеграла, f(x)dx - подынтегральное выражение,f(x) -

подынтегральная функция.

Из определения вытекает, что

И следовательно d(?f(x)dx)=f(x)dx. С другой стороны,

?F'(x)dx=?dF(x)=F(x)+C.

Если F(x) - какая-нибудь первообразная для f(x), то учитывая приведенное

выше следствие, можно написать: ? f(x) dx = F(x)+C, где С- произвольная

постоянная. Путем дифференцирования обеих частей равенства легко доказать

справедливость следующих свойств:

1. ? Аf(x)dx = A ? f(x)dx (постоянный множитель можно выносить за знак

интеграла).

2. ?[f(x)-f(x)]dx=?f(x)dx+?f(x)dx (интеграл от суммы функций равен сумме

интегралов от этих функций).

10. Схема исследования функции с помощью дифференциального исчисления и

построения графика.

Исследование функции y=f(x) проводится по плану:

1. Находится ООФ.

2. Вычисляются нули функции y=f(x), т.е. значения х1, x2…, при которых

f(x1)=0, f(x2)=0…Между нулями функция, как правило сохраняет знак, так,

непрерывная функция не может сменить знак не обратившись в ноль.

Устанавливают где f(x)>0 и f(x)0, функция возрастает, где

f'(x)0) и точка перегиба

(f''(x)=0).

5. Определяются вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Рекомендуется вычислять значения самой функции в тех точках, где f'(x) и

f''(x) обращаются в нуль и наносить соответствующие точки на график. Затем

нанесеные точки плавно соединяется прямой с учетом всех результатов

исследования. Если функция обладает свойством четности или нечетности, то

можно использовать это обстоятельство при исследовании (или после

исследования для частичной проверки правильности построения графика).

21. Теорема о среднем значении для определенного интеграла.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то найдется такая точка

?((a,b), что справедливо равенство:

Теорема верна и при b0 предел интегральных сумм вида :(R равен b-a, в то время, как для

равен нулю. Итак, для интегральных сумм разного вида пределы получаются

различные, зависящие от выбора точек на отрезках [xi, xi+1]. Это означает,

что функция Дирихле не интегрируемая.

З класса функции:

1. Функции непрерывные на отрезке [a,b].

2. Функции имеющие не более конечного числа разрывов 1-го рода на отрезке

[a,b]. (их называют кусочно-непрерывными)

3. Функции монотонные на отрезке [a,b] (у функции этого класса число

разрывов может быть бесконечным).

23. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его непрерывности.

Теорма: Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то функция

непрерывна на этом отрезке.

Доказательство: Дадим числу х приращение ?х так, чтобы х+?х([a,b]. Для

наглядности изобразим на числовой оси один из возможных вариантов

расположения точек:

a x0 x х+?х b

Получим:

По теореме (Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке, то интегрируема и

абсолютная величина |f(x)|, причем

…(на этом теорема закончилась, но неравенство относится к ней.) и следствию

из теоремы (Если на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема и удовлетворяет

неравенству m(f(x)(M. То выполняются неравенства:

(на этом следствие из теоремы закончилось)

получаем:

Отсюда следует, что при ?х>0 будет ?F>0. Это доказывает непрерывность

функции F(x). Отметим, что для подынтегральной функции f(x) точка х может

быть точкой разрыва.

24. Теорема о произвольной от интеграла с переменным верхним пределом.

Теорема: Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке (a,b), то производная

от интеграла

По переменному верхнему пределу x существует и равна подынтегральной

функции с заменой переменной интегрирования верхним пределом х, т.е.

F'(x)=f(x)

Доказательство: Дадим аргументу х приращение

?х так, чтобы х+?х((a,b). Для приращения ?F функции F(x) воспользуемся

формулой

и применим теорему о среднем значении ( Если функция y=f(x) непрерывна на

отрезке [a,b], то найдется такая точка ?( (a,b), что справедливо равенство:

Теорема верна и при ba). Если существует конечный

предел

То это предел называют несобственным интегралом от функции f(x) на

промежутке от а до +? и обозначают

Аналогично определяется интеграл от -? до b:

Интеграл от -? до +? можно определить так:

Где с - произвольное число.

Когда несобственный интеграл существует, говорят, что он существует или что

он сходится. В противном случае несобственный интеграл расходится.

40. Необходимые условия абсолютного экстремума функции двух переменных.

Теорема: Пусть функция z=f(x,y) имеет экстремум в точке (x0, у0). Если в

этой точке существуют частные производные по х и по у, то они равны нулю.

Докаательство: Оно может быть сведено к применению известной теоремы для

функции одной переменной. В наших условиях функция f(x,y0) имеет экстремум

в точке x0, т.к. неравенство f(х0+?х, y0+?у)?f(х0, y0), иначе ?f?0

Или ?f?0 должно, в частности, выполнятся и при ?у=0. Поэтому,

d/dx?f(x,y0)=0 при х=х0, а это то же самое, что f'x(х0, y0)=0. Аналогично

устанавливается, что f'у(х0, y0)=0. Экстремум возможен и тогда, когда одна

или обе частные производные не существуют, что тоже является необходимым

условием экстремума. Т.о., необходимые условия экстремума формулируются

так: для каждой из частных производных выполняется одно из двух - лиюл она

существует и равна нулю, либо она не существует.

31. Предел и непрерывность функции двух переменных.

Определение: Число А называется пределом по совакупности переменных функции

f(x,y) при стремлении х к х0 и у к у0, если для любого ?>0 существует такое

?>0, что для всех точек (x,y), координаты которых удовлетворяют

неравенствам | х - х0 |< ?, | y - y0 |< ? ( за исключением, быть может,

точки (х0, y0)), выполняется неравенство |f(x,y)-A| < ?. Применяется

обозначение

Заметим, что точка (х0, y0) может не принадлежать ООФ f(x,y).

Пусть функция f(x,y) определена в области D.

Определение. Если выполняются три условия:

1. (х0, y0)( D;

2. существует

3.

то функция называется непрерывной в точке (х0, y0).

Определение: Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функцию

называют разрывной в точке (х0, y0), а саму точку называют точкой разрыва.

Определение: Функция называется непрерывной в области, если она непрерывна

в каждой точке этой плоскости.

Определение: Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке (х0, y0),

если при стремлении к нулю приращений ?х, ?у, независимых переменных

стремится к нулю полное приращение ?z функции f(x,y) (здесь предполагается

выполнение условий 1 и 2.) (?z - полное приращение).

42. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа для функции двух

переменных.

В этом методе не требуется выражать явно y через х , однако используется то

обстоятельство, что в случае предполагаемой замены y на g(x) дело сводится

к безусловному экстремуму функции одной переменной.

Итак, находим полную прозводную от z по х, считая y функцией х:

В точках экстремума dz: dx=0, следовательно (1),

Применим снова правило дифференцирования сложной функции к уравнению

?(x,y)=0. Будем предполагать при этом, что у заменен той самой функцией х,

которая неявно задается уравнением. Такая замена превращает уравнение

?(x,y)=0 в тождество. Получим (2):

Умножим (2) на неопределенный множитель ? и сложим с (1):

Мы будем предполагать, что в точке экстремума ((((у((. Тогда существует

число (, при котором (f((y + ((((((у) = 0 в этой точке. Из равенства (3)

следует, что в этой точке (f((х + ((((((х) = 0

Мы приходим к необходимым условиям экстремума (4):

В этой системе из трех уранений три неизвестные величины x, y и (. Из

системы находятся одна или несколько точек (х,у). Что касается (, то этот

множитель играет вспомогательную роль и дальше не требуется. Найденные

точки (х,у) проверяют на наличие в них экстремума и его вид (максимум или

минимум). В случае необходимости вычисляются значения f(x,y) на концах

промежутка, ограничивающего изменение х при описании кривой АВ. Часто из

существа задачи легко решается вопрос, с каким из значений - наибольшим или

наименьшим - мы имеем дело. Проведенные рассуждения обосновывают метод

Лагранжа, который состоит в следующем.

Составляется вспомогательная функция

F (x,y,() = f(x,y) + (((x,y) (5), называемая функцией Лагранжа. Для нее

выписываются как для функции трех переменных необходимые условия

абсолютного экстремума:

При этом получается в точности система (4).

Коэффициент ( называют множителем Лагранжа.

Метод Лагранжа допускает обобщение на функции большего числа переменных.

Так, в задаче на условный экстремум функции u=f(x,y,z) с ограничениями

(1(x,y,z)=0 и (2(x,y,z)=0 функция Лагранжа имеет вид:

F(x,y,z, (1, (2) = f(x,y,z) + (1(1(x,y,z)+ (2(2(x,y,z).

Нулю приравниваются все произвоные по x,y,z, (1, (2.

41. Достаточные условия абсолютного экстермума функции двух переменных.

Обратимся к формуле Тейлора (вопр. 11). Нас интересует случай, когда

необходимые условия экстремума выполняются, т.к. в противном случае вопрос

решается однозначно - экстремума нет. Поэтому будем считать:

И, перенеся f(х0,y0) в левую часть, получим слева

Кроме того, обозначим

Приводим к формуле:

Положим u = A?x2 + 2B?x?y +C?y2 При ?>0 квадратичная форма u убывает со

скоростью р2, т.е. быстрее. Поэтому в достаточно малой окрестности точки

(х0,, y0) ,будет выполнятся неравенство 1/2|u|>|R|(если u не обратится в

нуль). Это означает, что знак приращения совпадает со знаком u. Разумеется,

в точках, где u=0, знаки ?f и R совпадают. Имеются 3 возможности:

1. Величина u сохраняет знак, обращаясь в нуль только при ?x=?y=0. Такая

квадратичная форма называется знакоопределенной. В этом случае сохраняет

знак и приращение ?f . При ?f?0 в точке (х0,, y0) имеется максимум, а

при ?f?0 - минимум.

2. В любой оокрестности точки (х0,, y0) величина u принимает как

положительные, так и отрицательные значения. Такая квадратичная форма

называется знакопеременной. В этом случае меняет знак и приращение ?f .

Экстремума нет.

3. Величина u сохраняет знак, но обращается в нуль не только в начале

координат. Такая квадратичная форма называется знакопостоянной. В этом

случае никакого вывода сделать нельзя без исследования остаточного члена.

Если в точках названной прямой остаточный член меняет знак, то экстремума

нет, если сохраняет тот же знак, что и величина u - экстремум есть, если

сохраняет знак противоположный u - экстремума нет.

Дело свелось теперь к установлению условий, при которых квадратичная форма

u является знакоопределенной, знакопеременной или знакопостоянной. Если А =

С = 0, В ( 0, то u = В?х?у, и квадратичная форма является знакопеременной.

При совпадении знаков ?х и ?у она имеет знак В, при несовпалении - знак

противоположный знаку В. В этом случае экстремума нет. Если к тому же В =

0, вопрос об экстремуме решается путем исследования остаточного члена R в

каждом конкретном случае.

Пусть теперь хотя бы одна из величин А, С отлична от нуля. Положим для

определенности, что А ? 0. Преобразуем форму u: вынесем за скобки А,

прибавим и вычтем (В(А ?у)2. Первые три слагаемых представляют полный

квадрат, два последних приводим к общему знаменателю:

1. Если В2 - АС 0, то форма знакопеременная. Действительно, выражение в

квадратных скобках останется ?x2 и если ?х?0., то ?x2 > 0; при ?у?0 можно

взять ?х = -В/А?у и выражение в квадратных скобках будет отрицательным.

3. Если В2 - АС = 0, то форма знакопостоянная. В скобках останется

выражение (?х+В/А?у)2, которое неотрицательно. Но в нуль оно обращается не

только при ?х=?у=0, а и тогда, когда ?х = -В/А?у, при любом ?у.

33. Частные производные.

Наряду с полным приращением функции вводится понятие частных приращений по

х ?хz и по у ?уz. Они определяются формулами, где приращение дается только

одной из переменных.

Определение: Частной производной функции f(x,y) по х называется предел

отношения частного приращения ?хz к приращению ?х, когда х>0 (если этот

предел существует)(1)

Аналогично определяется частная производная функции z=f(x,y) по у. Для

частной производной функции нескольких переменных, производную функции

одной переменной называют переменной иногда обыкновенной.

Формуле (1) можно дать такое толкование: у функции f(x,y) фиксируется

значение переменной у и получается, что f(x,y) становится функцией одной

переменной х, а частная производная - обыкновенной производной этой

функции. Так же истолковывается формула для f'y(x,y) с той разницей, что

f(x,y) рассматривается как функция одной переменной у. Мы приходим к

следующему правилу.

Для вычисления частной производной по х следует переменную у (или другие

переменные, если их несколько) считать постоянной и вычислять производную

по х как обыкновенную.

Аналогично формулируется правило вычисления частной производной по у.

32. Свойства непрерывных функций двух переменных.

1. Функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области D а) ограничена в

области

б) достигает в этой области наибольшего М и наименьшего m значений.

2. Сумма, произведение и частное непрерывных функций есть снова непрерывная

функция, если в последнем случае делитель не принимает нулевого значения.

19. Определенный интеграл. Определение. Геометрический смысл.

Определение: Пусть дана функция y=f(x), ограниченная на отрезке [a,b]

(a0. Независящий от

выбора разбиений R и выбора точек ?i, то он называется определенным

интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] и обозначается (1)

Добавление к определению:

1. При a>b полагают

2. принимают

В интеграле (1) числа a и b называются соответственно нижними и верхними

Страницы: 1, 2