Волновые уравнения

Волновые уравнения

Вывод уравнения колебания в электрических проводах.

Электрический ток в проводах характеризуется величиной [pic] и напряжением

[pic] которые зависят от координат Х точки провода и от времени t.

Рассмотрим элемент провода ?Х. Можем написать, что падение напряжения на

элементе ?Х равно

[pic]-[pic].Это падение напряжения складывается из омического, равного

[pic] и индуктивного, равного [pic] Итак

[pic]

где R и L –сопротивление и коэффициент индуктивности рассчитанные на

единицу длинны провода. Знак минус взят потому, что ток течёт в

направлении, обратном возрастанию U.Сокращая на ?Х, получим уравнение

[pic]

Далее разность токов, выходящего из элемента ?Х за время ?t , будет

[pic]

Она расходуется на зарядку элемента, равную [pic] и на утечку через боковую

поверхность провода в следствии несовершенства изоляции, равную [pic]

Здесь А- коэффициент утечки. Приравняем эти выражения

[pic]

Сократим на [pic]

[pic]

Уравнения (2) и (3) принято называть телеграфными уравнениями. Составим

систему уравнений

[pic]

Из этой системы уравнений можно получить уравнение, содержащее только

искомую функцию[pic], и уравнение, содержащее только искомую функцию [pic].

Продифференцируем члены уравнения (3) по Х; члены уравнения (2)

продифференцируем по t и умножим их на С.

[pic]

[pic]

Аналогичным образом получим уравнение для определения [pic]

[pic]

[pic]

Если можно пренебречь утечкой через изоляцию (А=0) и сопротивлением (R=0),

то уравнения (5) и (6) переходят в волновые уравнения:

[pic]

Исходя из физических условий формулируются граничные и начальные условия

задачи.

Навоийский Государственный горный институт

Горный факультет

Кафедра «Высшей математики»

Волновые уравнения

Подготовил: студент 2-го курса группы 20-02 ГД

Дерюга А.М.

Навоий 2004 г.