Все о Конусе

Все о Конусе

Муниципальное обще образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №54 с углубленным изучение предметов

социально-гуманитарного цикла центрального района города Новосибирска

Экзаменационная работа по геометрии на тему:

«Конус»

I Конус

Конус – тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг

прямой, содержащей катет.

S- вершина конуса, круг с центром О – основание конуса

Отрезок SA=L образующая.

Отрезок OA=R – радиус основания.

Отрезок BC=2R – диаметр основания.

Треугольник SBC-осевое сечение

Угол BSC – угол при вершине осевого сечения

Угол SBO – угол наклона образующей к плоскости основания

II Сечение конуса

1. Секущая плоскость проходит через ось конуса (осевое сечение –

равнобедренный треугольник рис. 1)

2. Секущая плоскость проходит перпендикулярно к оси конуса

- круг с центром О1 (рис. 2)

3.Сечение проходящее через верщину конуса – равнобедренный

треугольник (рис. 3)

4.Параболическое и гиперболическое сечения. (рис. 4 )

В конус всегда можно вписать шар. Его центр на оси конуса

и совпадает с центром окружности, вписанно в треугольник,

являющийся осевым сечением конуса.

Rш = Rк * tg a/2 = H*Rк/Rк +L

Около конуса всегда можно описать шар. Его центр лежит на

оси конуса и совпадает с центром окружности, описаной около

треугольника, являющегося осевым сечением конуса.

Rш = Rк / sinb ; RІш= (H-Rш) І + RкІ

Rш =L/2H ; (2Rш - Hк)Hк = RкІ

III Площадь поверхности конуса

За плщадь боковой поверхности конуса принимается площадь её разертки.

Выразим S бок через его опразующую L и радиус основания r. Площадь

кругового сектора ?LІ/360*? . Выразим ? через L и r . Длинна дуги ABA

равна 2?r (длинна окружности основания конуса) 2?r = ?L/180* ?, откуда

следует ?=360r/L следовательно Sбок = ?LІ360r/360L=?rL

Sбок = ?rL

2. Площадь полной поверхности конуса есть сумма площадей боковой

поверхности и основания

Sпол=?rL(L+r)

IV Объем конуса

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Рассмотрим конус с обьемом V, радиусом R, высотой h и вершиной О. Введем

ось Ох, чтобы она совпадала с осью конуса -ОН . Произвольное сечение

конуса плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, является круг с центром в

точке Н1 пересечения этой плоскости с осью Ох. Обозначим Радиус этого круга

через , ф площадь S(x) через,где х-абсцисса точки Н1. Из подобия

треугольников ОН1А1 и ОНА следует,что ОН1/ОН=R1/R,

или x/h=R1/R =>R1=XR/h. Так как S(x)= ?RІ, то S(x)= ?RІ/hІ* І

Применяя основную формулу вычисления обьемов тел при а=0 и b=h получаем

V Усеченный конус.

Усеченный конус – часть конуса, заключенная между основанием и паралельным

основанию сечением конуса.

Круги с центрами О1 и О2 – верхнее и нижнее основания усеченного конуса, R

r – радиусы оснований, АВ= L образующая ,? угол наклона образующе и

плоскости нижнего основания.

Отрезок О1О2-высота. Трапеция АВСD – осевое сечение.

Н=L*sin ?

HІ+(R-r) І=LІ

Около усеченного конуса всегда можно описать шар. Его центр лежит на прямой

О1О2

CF=FD OF+Cd=>

О – центр описанного шара R - радиус описанного шара, равный радиусу

окружносит описанной около ?ACD

В усеченный конус можно вписать шар тогда и только тогда, когда образующая

равна сумме радиусов оснований L=R+r => существует вписанный шар.

VI Площадь поверхности усеченного конуса

Пусть Р – вершина конуса, из которого получен усеченный конус, АА1-одна из

образующих

Усеченного конуса О и О1 – центры оснований. Используя формулу Sбок для

конуса получаем

S бок = ?r*PA-?r1*PA1=?r(PA1+AA1)- ?r1PA1, отсюда, учитывая, что AA1=L,

находим

Sбок =?rL +? (r - r1)PA1

Выразим РА1 через L1, r и r1. Прямоугольные треугольники РО1А1 и РОА

подобны, так как имеют общий острый угол Р и поэтому PA1/PA=r/r1 или

PA1/PA1+L=r/R1. Получаем PA1=Lr1/R-r1. S=?rL + (?(r-r1)Lr1)/r-

r1=?rL+?r1L=?L(r+r1)

Sбок =?L(r+r1)

Площадь полной поверхности усеченного конуса равна сумме площадей боковой

поверхности усеченного конуса и оснований

Sполн = S1+S2+Sбок=?L(r+r1)+ ?RІ+?rІ

VII Обьем усеченного конуса

Обьем усеченного конуса V, высота которого равна h, а площади оснований S и

S1 вычисляется по формуле

V=1/3h(S+S1+?S*S1)

-----------------------

Выполнил: Ученик 11В класса

Сушко Юрий