Экзаменационные билеты по математике

Экзаменационные билеты по математике

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 1

1) Сформулировать теорему существования и единственности для

дифференциального уравнения первого порядка.

2) Какая оценка параметра называется точечной? Приведите примеры точечных

оценок.

3) Исследовать на максимум и минимум функцию [pic].

4) Найти общее решение [pic].

5) Чему равны размах и медиана выборки: 0.666, 0.414, -0.011, -0.410,

-1.077, -1.132?

6) Какую систему уравнений называют однородной, неоднородной? Что

называется решением системы уравнений?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 2

1) Что называется полным дифференциалом функции?

7) Какая статистика вычисляется по выборке в случае, когда надо проверить

гипотезу о равенстве средних 2-х генеральных совокупностей с одинаковыми

дисперсиями, если эти дисперсии неизвестны? Какое распределение она

имеет? Если n>20 и значение этой статистики, вычисленное по выборке,

равно 2.5, а уровень значимости равен 0.05, какая гипотеза должна быть

принята: основная (x=(y или альтернативная ей?

8) Исследовать на максимум и минимум функцию [pic].

9) Найти общее решение [pic].

10) Средняя прибыль палатки составляет 1тыс. рублей в день. Какова средняя

прибыль 12-ти палаток?

11) В чем заключается прямой и обратный ход метода Гаусса (на примере)?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 3

1) Дать определение двойного интеграла.

12) По какой формуле вычисляется эмпирический коэффициент корреляции rxy?

13) Исследовать на максимум и минимум функцию [pic].

14) Найти общее решение [pic].

15) Имеются 2 независимые случайные величины ( и (. D(()=2, D(()=5. Чему

равна дисперсия величины ((+()/2?

16) Найти ранг матрицы [pic][pic] и вычислить ее определитель.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 4

1) Что называется функцией двух переменных?

17) Как определяется математическое ожидание случайной величины? Какими

свойствами обладает математическое ожидание случайной величины?

18) Найти полный дифференциал функции [pic] в точке [pic] (1, 1).

19) Найти общее решение [pic].

20) По выборке объема n=41 найдена выборочная дисперсия S2 =3. Найдите

несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

21) Дать определение некоммутативных матриц. Привести пример.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 5

1) Что называется линейным неоднородным разностным уравнением второго

порядка с постоянными коэффициентами?

22) Дать определение случайной величины хи-квадрат с n степенями свободы

(?2n).

23) Исследовать на максимум и минимум функцию [pic].

24) Найти общее решение [pic].

25) Случайная величина ( – стандартная нормальная величина. Чему для нее

равна вероятность попасть в интервал [-2; 2]?

26) Приведение матрицы к ступенчатому виду методом Гаусса (на примере).

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 6

1) Что называется градиентом функции?

27) По какой формуле считается l-ый начальный эмпирический момент? По какой

формуле считается l-ый центральный эмпирический момент?

28) Исследовать на максимум и минимум функцию [pic].

29) Найти общее решение [pic].

30) Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины,

распределенной равномерно на отрезке [-1,3]?

31) Убедиться, что система [pic]имеет единственное решение, и найти это

решение методом Гаусса.

[pic], [pic], [pic].

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 7

1) Какова структура общего решения линейного однородного дифференциального

уравнения II порядка с постоянными коэффициентами?

32) Какое распределение имеет эмпирическая дисперсия S2, если выборка

произведена из совокупности, имеющей распределение N(a, ()?

33) Найти область определения функции [pic].

34) Найти решение задачи Коши [pic]

35) Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя

продолжительность горения лампы оказалась равной 1000ч. Найти с

надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности а

горения ламп всей партии, если известно, что среднее квадратическое

отклонение продолжительности горения лампы (=40ч. Предполагается, что

продолжительность горения ламп распределена нормально.

36) Дать определение прямоугольной матрицы, транспонированной,

симметричной, единичной.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 8

1) Что называется дифференциальным уравнением?

37) Какова формула углового коэффициента и свободного члена ([pic]) МНК

прямой? Есть ли связь между МНК прямой и центром тяжести исходной

системы точек?

38) Вычислить [pic] где область D - треугольник с вершинами O( 0,0),

A(1,1), B(0,1).

39) Найти общее решение [pic].

40) Величина ( имеет распределение N(a, (). Чему равны математическое

ожидание и дисперсия величины [pic]? Какое распределение имеет случайная

величина (?

41) Неоднородные системы уравнений. Основные свойства решений. Критерий

совместности неоднородных уравнений системы уравнений.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 9

1) Что характеризует производная по направлению?

42) Из какого условия в методе наименьших квадратов ищется по точкам (xi,

yi) прямая y=ax+b?

43) Найти градиент функции [pic] в точке [pic][pic]

44) Найти общее решение [pic].

45) Постройте таблицу статистического распределения выборки:

-3, 0, 1, 4, -3, 4, -3, 0, 4, 1. Найдите выборочное среднее.

46) Какое решение системы называют общим, а какое частным? Пример.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 10

1) Что называется частным решением дифференциального уравнения второго

порядка ?

47) Что такое реализации и вариационный ряд? Что такое относительная

(эмпирическая) частота значения хi из вариационного ряда?

48) Найти полный дифференциал функции [pic] в точке [pic] (0, 1).

49) Найти общее решение [pic].

50) Найдите сумму квадратов отклонений S от точек (1,1), (1,3) (3,2), (3,4)

до прямой y=x/2+1,5.

51) Найти матрицу [pic], обратную к матрице А и с ее помощью решить

систему [pic], где

[pic], [pic], [pic].

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 11

1) Что называется разностным уравнением?

52) Какая оценка параметра называется несмещенной? Какая оценка параметра

называется состоятельной?

53) Найти производную по направлению функции [pic] в точке [pic] в

направлении, составляющем с осью Ox угол в [pic]

54) Найти общее решение [pic].

55) Постройте кумулятивную кривую по сгруппированным данным, n=20

[pic]

56) Найти матрицу А-1, обратную к матрице А и с ее помощью решить систему

А [pic]=[pic], где [pic], [pic]= [pic], [pic]= [pic].

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 12

1) Что называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения

II порядка с постоянными коэффициентами?

57) По какой формуле считается эмпирическое среднее [pic] в случае, если в

выборке нет повторяющихся значений? По какой формуле считается

эмпирическое среднее [pic] в случае, если задана таблица статистического

распределения выборки?

58) Вычислить частные производные первого и второго порядков для функции

[pic].

59) Найти общее решение [pic].

60) Величина ( имеет распределение N(a, (). Чему равна вероятность

p{(20 и значение этой

статистики, вычисленное по выборке, равно 4, а уровень значимости равен

0.05, какая гипотеза должна быть принята: основная (=(0 или

альтернативная ей?

63) Используя полный дифференциал, вычислить приближенно величину [pic].

64) Найти частное решение [pic].

65) По 2-м независимым малым выборкам, объемы которых n=12 и m=18,

извлеченным из нормальных совокупностей X и Y, найдены выборочные

средние, дисперсии и вычислено значение статистики [pic]. Проходит ли на

уровне значимости 0,05 гипотеза о равенстве генеральных средних при

альтернативной гипотезе Mx?My? (Указание. При n>20 распределение

Стьюдента практически совпадает с нормальным распределением)

66) Действия над матрицами: сложение матриц, умножение матриц на число,

умножение матриц.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 14

1) Что называется областью на плоскости?

67) Какая функция выборки задает точечную оценку для неизвестного

математического ожидания?

68) Найти градиент функции [pic] в точке [pic][pic]

69) Найти общее решение [pic].

70) Величина ( имеет распределение N(a, (). Чему равна вероятность

p{(>a+2(}?

71) Сколько решений может иметь система уравнений: [pic]?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 15

1) Дать определение общего решения дифференциального уравнения первого

порядка.

72) Как исправить эмпирическую дисперсию S2, чтобы получить несмещенную

точечную оценку s2 для неизвестной дисперсии?

73) Используя полный дифференциал, вычислить приближенно величину [pic].

74) Найти общее решение [pic].

75) Найти выборочное среднее по данному распределению выборки

[pic]

76) При решении однородной системы какие переменные называют свободными, а

какие – несвободными? Чему равно число свободных переменных?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 16

1) Каков общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка?

77) Что такое генеральная совокупность и выборка из нее? Что такое объем

выборки? Какая выборка называется репрезентативной?

78) Найти градиент функции [pic] в точке [pic] (1, 1).

79) Найти общее решение [pic].

80) Величина ( имеет распределение N(a, (). Чему равна вероятность [pic]?

81) Найти матрицу А-1, обратную к матрице [pic].

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 17

1) Сформулировать достаточное условие наличия экстремума функции двух

переменных.

82) Как по таблице статистического распределения выборки строится полигон

для дискретных вариационных рядов?

83) Вычислить [pic]где область D ограничена линиями [pic].

84) Найти общее решение [pic].

85) X~N(2,3); Y~N(1,4). Какое распределение имеет их сумма Z=X+Y?

86) Вычислить определитель матрицы А=[pic]методом Гаусса.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 18

1) Что называется частным решением дифференциального уравнения первого

порядка?

87) По какой формуле вычисляется по выборке доверительный интервал для

среднего значения ( нормального распределения в случае, когда

среднеквадратическое отклонение распределения ( известно? По какой

формуле вычисляется по выборке доверительный интервал для среднего

значения нормального распределения в случае, когда среднеквадратическое

отклонение распределения неизвестно?

88) Вычислить приближенно [pic], используя полный дифференциал.

89) Найти общее решение [pic].

90) Данные о прибыли, полученной в течение месяца, за последние 5 месяцев

оказались следующими:

[pic]

С помощью метода наименьших квадратов по этим точкам строится прямая.

Какое значение даст эта прямая для прибыли в марте? (Указание. Для

получения этого значения строить прямую не надо).

91) Дать определение системы из “m” линейных уравнений с “n” неизвестными.

Матричная векторная форма записи системы линейных уравнений.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 19

1) Какова структура общего решения линейного неоднородного

дифференциального уравнения?

92) Чему равно математическое ожидание равномерного распределения на

отрезке [a,b], нормального распределения N(a, ()? Чему равна дисперсия

величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b], величины,

распределенной нормально – N(a, ()?

93) Найти производную по направлению функции [pic]в точке [pic] (1, 2) в

направлении, составляющем с осью ОХ угол в [pic].

94) Найти общее решение [pic].

95) Чему равны медианы выборок: -1, 3, 2, 0, +1, -1.0 (n = 7) и -1, 3, 2,

0, 1, 2,0, 3 (n = 8)?

96) Понятие определителя применительно к матрице третьего порядка. Какую

величину называют алгебраическим дополнением элемента? Пример.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 20

1) Что называется функцией трех переменных?

97) Какое распределение имеет эмпирическое среднее [pic], если выборка

произведена из совокупности, имеющей распределение N((, ()?

98) Вычислить частные производные первого и второго порядков для функции

[pic].

99) Найти общее решение [pic].

100) Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины,

имеющей плотность распределения [pic]?

101) Исследовать и решить в случае совместности систему уравнений: [pic].

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 21

1) Что называется дифференциальным уравнением второго порядка?

102) Что такое таблица статистического распределения выборки?

103) Найти производную по направлению функции [pic] в точке [pic] (1, 1) в

направлении прямой [pic].

104) Найти общее решение [pic].

105) Как изменятся средняя прибыль и среднеквадратическое отклонение

прибыли палатки при росте всех цен в 2 раза, если объем продаж

сохранится? А если объем продаж при этом в 2 раза уменьшится?

106) Какие однородные системы имеют единственное решение? Пример.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 22

1) Что называется точкой максимума функции двух переменных?

107) Какая функция выборки задает точечную оценку для неизвестной

дисперсии?

108) Найти производную по направлению функции [pic] в точке [pic] (1, 1) в

направлении, составляющем с осью ОХ угол в [pic].

109) Найти общее решение [pic].

110) Постройте кумуляту по таблице:

[pic]

Найдите медиану.

111) Основные свойства определителя.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 23

1) Дать определение общего решения дифференциального уравнения второго

порядка.

112) Дать определение случайной величины tn, подчиняющейся закону Стьюдента

с n степенями свободы. Каким законом можно пользоваться вместо

распределения Стьюдента при большом числе степеней свободы?

113) Найти область определения функции [pic].

114) Найти общее решение [pic].

115) В половине наблюдений случайная величина равнялась 1, а в другой

половине она равнялась 3. Найдите выборочное среднее и выборочную

дисперсию.

116) Дать определение ранга матрицы.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 24

1) Каков геометрический смысл полного дифференциала?

117) Как по таблице статистического распределения выборки строится

гистограмма для интервальных вариационных рядов в случае одинаковых

интервалов?

118) Найти градиент функции [pic] в точке[pic].

119) Найти общее решение [pic].

120) Как следует изменить объем выборки n, чтобы доверительный интервал для

математического ожидания сузился вдвое?

121) Даны матрицы [pic] и [pic]. Найти АВ-ВА.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 25

1) Сформулировать необходимое условие существования экстремума функции двух

переменных.

122) Как определяется дисперсия случайной величины? Какими свойствами

обладает дисперсия случайной величины?

123) Исследовать на максимум и минимум функцию [pic].

124) Найти общее решение [pic].

125) Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению

выборки:

[pic]

126) Совместна ли система уравнений: [pic]?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 26

1) Что называется стационарной точкой функции двух переменных?

127) Какая связь между величинами называется линейной статистической

связью?

128) Исследовать на максимум и минимум функцию [pic].

129) Найти общее решение [pic].

130) Найдите эмпирический коэффициент корреляции между весом и ростом 5-ти

учащихся по выборке:

[pic]

131) Сколько линейно независимых решений имеет система: [pic]?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 27

1) Что называется точкой минимума функции двух переменных?

132) Если f(x) – плотность распределения вероятностей, то чему равен [pic]?

Чему равна вероятность попадания непрерывной случайной величины в

интервал [x1, x2)?

133) Найти полный дифференциал функции [pic]в точке [pic]

134) Найти общее решение [pic].

135) X~N(2,1). Какое распределение имеет величина Y=2X+1?

136) Дать определение обратной матрицы. Условие существования обратной

матрицы.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 28

1) Что называется производной по направлению?

137) Что такое среднеквадратическое отклонение? Каковы его свойства? Чему

равно среднеквадратическое отклонение величины, распределенной нормально

– N(a, ()?

138) Вычислить [pic] где область D ограничена линиями [pic]

139) Найти общее решение [pic].

140) По 2-м независимым малым выборкам, объемы которых n=12 и m=18,

извлеченным из нормальных совокупностей X и Y, найдены выборочные

средние, дисперсии и вычислено значение статистики [pic]. Можно ли

считать, что на уровне значимости 0,05 проходит не основная гипотеза о

равенстве генеральных средних, а альтернативная ей гипотеза о том, что

М(Х)>M(Y)? (Указание. При n>20 распределение Стьюдента практически

совпадает с нормальным распределением)

141) В каком случае неоднородная система уравнений имеет единственное

решение? Пример.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 29

1) Что называется граничной точкой области?

142) Как по таблице статистического распределения выборки строится

гистограмма для интервальных вариационных рядов в случае неодинаковых

интервалов?

143) Вычислить частные производные первого и второго порядков для функции

[pic].

144) Найти общее решение [pic].

145) Проверьте с (=0.05 гипотезу Н0: (=100 против (?100, если по выборке

объема 225 найдено эмпирическое среднее, равное 101, и S2=4.

146) Что называют определителем матрицы. Порядок определителя. Понятие

определителя применительно к матрице второго порядка. Пример.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 30

1) Дать определение точки разрыва функции.

147) Как строится полигон по гистограмме интервального вариационного ряда?

148) Найти полный дифференциал функции[pic] в точке [pic].

149) Найти решение задачи Коши [pic]

150) Для нормальной случайной величины Х~N(2,1) найдите вероятность того,

что Х<0.

151) Совместна ли следующая система: [pic]? Найти ее решение.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 31

1) Какая функция называется дифференцируемой в точке?

152) Какая случайная величина называется непрерывно распределённой

величиной? Что такое ее плотность распределения? Как связаны между собой

плотность вероятности f(x) и функция распределения F(x)?

153) Исследовать на максимум и минимум функцию [pic].

154) Найти общее решение [pic].

155) Какому закону подчиняется разность [pic] двух выборочных средних, если

случайные величины Х и Y для которых они находятся по выборкам объема n

и m соответственно, распределены одинаково и незaвисимы: X,Y~N((,()?

156) Существует ли матрица А-1, обратная [pic]?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 32

1) Что называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго

порядка с постоянными коэффициентами?

157) Какую сходимость к некоторому значению называют сходимостью по

вероятности?

158) Вычислить [pic]где область D ограничена линиями [pic].

159) Найти общее решение [pic].

160) Для нормальной случайной величины Х~N(2,1) найдите вероятность того,

что 0<Х<4.

161) Элементарные преобразования над строками матрицы.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 33

1) Дать определение непрерывности функции в точке.

162) По какой формуле считается эмпирическая дисперсия S2 в случае, если в

выборке нет повторяющихся значений? По какой формуле считается

эмпирическая дисперсия S2 в случае, если задана таблица статистического

распределения выборки?

163) Найти производную по направлению функции [pic]в точке [pic] в

направлении, идущем от этой точки к точке [pic]

164) Найти общее решение [pic].

165) В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором получены следующие

результаты (в мм): 92, 94, 103, 105, 106. Найдите выборочную среднюю

длину стержня, выборочную и исправленную дисперсию ошибок прибора.

166) Какую матрицу называют невырожденной? При каком значении определителя

строки матрицы являются зависимыми, а при каком – независимыми?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 34

1) Сформулировать теорему существования и единственности для

дифференциального уравнения второго порядка.

167) Какой метод получения оценок параметров называется методом моментов?

Приведите пример оценок, которые строятся с применением метода моментов.

168) Найти производную по направлению функции [pic]в точке [pic] в

направлении, составляющем с осью Ox угол в [pic]

169) Найти общее решение[pic].

170) Чему равна частота попадания в интервал (0,1; 0,3) случайных чисел,

извлеченных из равномерного закона на отрезке [0, 1] при большом их

количестве?

171) Задача межотраслевого баланса. Ее математическая модель.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 35

1) Как определяется поверхность уровня функции трех переменных?

172) По какой формуле считается l-ый начальный момент распределения? По

какой формуле считается l-ый центральный момент распределения?

173) Используя полный дифференциал, вычислить приближенно [pic].

174) Найти решение задачи Коши [pic]

175) Выборочные сведения о выполнении норм выработки рабочими приведены в

таблице:

[pic]

Найдите средний процент выполнения норм выработки всеми рабочими.

176) Однородные системы уравнений. Основные свойства.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------