Высшая математика, интегралы (шпаргалка)

Высшая математика, интегралы (шпаргалка)

Равномерная непрерывность

Определение 28.7: Функция [pic]называется равномерно непрерывной на

множестве [pic], если: [pic]. (в отличие от критерия Коши: [pic]).

Пояснение: [pic] Пусть: [pic]. Тогда: [pic] Т.е. функция [pic]не является

равномерно непрерывной на множестве [pic].

Теорема 28.3: Непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывна на

нём.

Классы интегрируемых функций

Теорема 28.4: Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём.

Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём.

Теорема 28.5: Если функция [pic]определена и ограничена на отрезке [pic], и

если [pic]можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки

разрыва этой функции на [pic]. Причём общая длина этих интервалов меньше

[pic]. То [pic]- интегрируема на [pic].

Замечание: Очевидно, что если [pic]- интегрируема на [pic], а

[pic]отличается от [pic]только в конечном числе точек, то [pic]-

интегрируема на [pic]и [pic].

Существование первообразной

Определение 28.9: Пусть [pic]- интегрируема на [pic], [pic], тогда:

[pic]функция [pic]интегрируема на [pic]и функция [pic]называется интегралом

с переменным верхним пределом, аналогично функция [pic]- интеграл с

переменным нижним пределом.

Теорема 28.6: Если функция [pic]- непрерывна на [pic], то у неё существует

на [pic]первообразная, одна из которых равна: [pic], где [pic].

Замечание 1: Из дифференцируемости функции [pic]следует её непрерывность,

т.е. [pic]

Замечание 2: Поскольку [pic]- одна из первообразных [pic], то по

определению неопределённого интеграла и теореме о разности первообразных:

[pic]. Это связь между определённым и неопределённым интегралами

Интегрирование подстановкой

Пусть для вычисления интеграла [pic]от непрерывной функции сделана

подстановка [pic].

Теорема. Если 1. Функция [pic]и ее производная [pic]непрерывны при [pic]

2. множеством значений функции [pic] при [pic]является отрезок [a;b]

3. [pic], то [pic]=[pic].

Док-во: Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [a;b]. Тогда по

формуле Ньютона-Лейбница [pic]=[pic]. Т.к. [pic], то [pic]является

первообразной для функции [pic], [pic]. Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница

имеем

[pic]=[pic][pic].

Формула замены переменной в определенном интеграле.

1. при вычислении опред. интег-ла методом подстановки возвращаться к

старой переменной не требуется;

2. часто вместо подстановки [pic]применяют подстановку t=g(x)

3. не следует забывать менять пределы интегрирования при замене

переменных.

Интегрирование заменой переменной.

а). Метод подведения под знак дифференциала

Пусть требуется вычислить интеграл [pic]. Предположим, что существуют

дифференцируемая функция [pic]и функция [pic]такие, что подынтегральное

выражение [pic]может быть записано в виде:

[pic].

Тогда: [pic]. Т.е. вычисление интеграла [pic]сводится к вычислению

интеграла [pic](который может оказаться проще) и последующей подстановке

[pic].

Пример: Вычислить [pic].

[pic].

Подстановка: [pic].

б). Метод подстановки

Пусть требуется вычислить интеграл [pic], где [pic]. Введём новую

переменную формулой: [pic], где функция [pic]дифференцируема на [pic]и

имеет обратную [pic], т.е. отображение [pic]на [pic]- взаимно-однозначное.

Получим: [pic]. Тогда [pic]. Т.е. вычисление интеграла [pic]сводится к

вычислению интеграла [pic](который может оказаться проще) и последующей

подстановке [pic].

Пример: Вычислить [pic].

[pic], откуда: [pic].

Интегрирование по частям. Пусть [pic]- дифференцируемые функции, тогда

справедлива формула: [pic], или короче: [pic]. Эта формула используется в

тех случаях, когда подынтегральное выражение [pic]можно так представить в

виде [pic], что интеграл [pic]вычисляется проще исходного.

Пример: Вычислить [pic].

Положим [pic]. Тогда [pic]. В качестве [pic]выберем первообразную при

[pic]. Получим [pic]. Снова [pic]. Тогда [pic]. Окончательно получим:

[pic].

Замечание 26.5: Иногда при вычислении интеграла [pic]методом интегрирования

по частям получается зависимость: [pic]. Откуда можно получить выражение

для первообразной: [pic].

Интегрирование рациональных функций

Постановка задачи:[pic][pic] [pic]

|1). [pic] |2). [pic] |

|3). [pic] |

т.е. все задачи сводятся к задаче B.2).

Теорема 1: Пусть [pic], тогда, если: [pic], где [pic], то [pic][pic]Из этой

теоремы следует, что для интегрирования любой рациональной функции

необходимо уметь интегрировать следующие функции:

|1. [pic] |2. [pic] |3. [pic] |4. [pic] |5. [pic] |

|6. [pic] |7. [pic] |8. [pic] |9. [pic] |10. [pic]. |

Интегрирования дробно-линейных и квадратичных иррациональностей

[pic]

Сделав подстановку: [pic], получим: [pic].

тогда [pic]

[pic]

a). Подстановки Эйлера.

1). Корни многочлена [pic]- комплексные, сделав подстановку: [pic],

получим: [pic].

2). Корни многочлена [pic]- действительные: [pic]. Подстановка: [pic],

получаем: [pic].

b). Подстановка: [pic], далее, если:

|1). [pic]подстановка - [pic] |2). [pic]подстановка - [pic] |

|3). [pic]подстановка - [pic] |

c).

Если [pic]подстановка - [pic]

Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических

[pic]

Универсальная подстановка: [pic], тогда: [pic]

[pic]подстановка: [pic]

[pic]или [pic]- нечётные: вносим функцию при нечётной степени под знак

дифференциала

Интегрируется по частям

Неопределенный интеграл

Определение 26.1: Функция [pic]называется первообразной для функции [pic]на

[pic], если: [pic].

Пусть [pic]и [pic]- первообразные функции [pic]на [pic]. Тогда: [pic].

Определение 26.2: Неопределённым интегралом от функции [pic]на

[pic]называется объединение всех первообразных [pic]на этом интервале.

Обозначается: [pic].

Замечание 26.1: Если [pic]- одна из первообразных [pic]на [pic], то [pic].

Замечание 26.2: Подынтегральное выражение в определении представляет из

себя полный дифференциал первообразной [pic]на [pic], т.е. [pic].

Замечание 26.3: Два неопределённых интеграла равны “с точностью до

постоянной”.

Св-ва неопределенного интеграла:

1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному

выражению, а производная неопред. интегр. равна подынтегр. функции.

Благодаря этому св-ву правильность интегрирования проверяется

дифференцированием.

[pic], [pic]

2. Неопред. интегр. от дифференциала нек-рой функции равен сумме этой

функции и производной постоянной:

[pic]

3. Постоянный множитель м. выносить за знак интеграла:

[pic], где a[pic]0-постоянная.

4. Неопред. интегр. от алгебраич. суммы конечного числа непрерывных функций

равен алгебраич. сумме интегралов от слагаемых функций:

[pic]

5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если[pic], то и [pic], где

u=[pic]- произвольн. функция, имеющая непрерывную производную.

Табличные интегралы

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

Определённый интеграл.

Интегрируемость

Определение 28.1: Множество точек отрезка [pic]таких, что: [pic]называют

разбиением отрезка [pic]. Длины частичных отрезков разбиения обозначим:

[pic]. Мелкостью разбиения [pic](читается – “дельта большое”) назовем

максимальнуя из длин отрезков разбиения, т.е. [pic].

Определение 28.2: Пусть в определении 28.1 для всех [pic]точки [pic].

Интегральной суммой функции [pic]на отрезке [pic]с разбиением [pic]будем

называть сумму (зависящую от разбиения [pic]и выбора точек [pic]) вида:

[pic].

Определение 28.3: Пределом интегральных сумм функции [pic]на отрезке

[pic]назовём такое число [pic], что [pic]. Обозначается: [pic].

Определение 28.4: Функция [pic]называется интегрируемой на отрезке [pic],

если существует конечный предел её интегнральных сумм на [pic].

Обозначается: [pic].

Теорема 28.1: Если [pic]интегрируема на отрезке [pic], то она ограничена на

нём.

Замечание 1: Эта теорема является необходимым, но недостаточным условием

интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле (ограничена, но

неинтегрируема).

Критерий интегрируемости функций

Теорема 28.2: Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция,

была интегрируема на нём, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось

условие: [pic].

Следствие 1: Условие Т.2 эквивалентно условию: [pic].

Следствие 2: Если функция интегрируема на , то: [pic].

Определение 28.8: Определённым интегралом функции [pic]на [pic]называется

число [pic], равное пределу интегральных сумм [pic]на [pic]. Условие

интегрируемости эквивалентно существованию определённого интеграла.

Свойства определённого интеграла

1. Если с – постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то

[pic], т.е. пост. множитель с можно выносить за знак определенного интег-

ла.

2. Если функции f(x), g(x) интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на

[a;b] их сумма и разность

[pic], [pic]

3. Если [pic], то: [pic]

4. Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a

[pic], т.е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям

этого отрезка. Это св-во наз-ют аддивностью определенного интеграла.

Сравнение определённых интегралов

Если [pic]- интегрируема на [pic]и [pic], то: [pic].

Если [pic]- интегрируема на [pic]и [pic], то: [pic]

Неравенство м\у непрерывными функциями на отрезке [a;b], можно

интегрировать. Если [pic]- интегрируемы на [pic]и почти для всех [pic], то:

[pic]

Модуль определенного интег-ла не превосходит интег-ла от модуля

подынтегральной функции. Если [pic]- интегрируема на [pic], то [pic]- также

интегрируема на [pic](обратное неверно), причём: [pic]

Оценка интеграла. Если m и M-соответственно наименьшее и наибольшее

значения функции y=f(x) на отрезке [a;b]. Если [pic]- интегрируемы на

[pic]и [pic] [pic], то: [pic]

Теорема о среднем значении

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка [pic]

такая, что [pic].

Док-во: По формуле Ньютона-Лейбница имеем

[pic], где F’(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа

(теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F’(c)*(b-

a)=f(c)*(b-a).

Эта теорема при f(x)[pic]0 имеет простой геометрич. смысл: значение

определенного интег-ла равно, при нек-ром [pic], площади прямоугольника с

высотой f(с) и основанием b-a.

Число [pic] наз-ся средним значением функции f(x) на отрезке [a;b].

Формула Ньютона-Лейбница

Если [pic]- первообразная непрерывной функции [pic]на [pic], то:[pic].

Док-во: Рассмотрим тождество

[pic]

Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа

[pic]. Получим [pic]т.е. [pic], где [pic]есть нек-рая точка интервала[pic].

Т.к. функция y=f(x) непрерывна на [a;b]. Поэтому существует предел

интегральной суммы, равный определенному интегралу от f(x) на [a;b].

Переходя к пределу при [pic], получаем F(b)-F(a)=

=[pic], т.е. [pic].

интеграл с переменным верхним пределом

Если изменять, например, верхний предел так, чтобы не выйти за пределы

отрезка [a;b], то величина интеграла будет изменяться. Другими словами,

интеграл с переменным верхним пределом представляет собой функцию своего

верхнего предела. Производная определенного интег-ла по переменному

верхнему пределу равна подынтегральной функции, в к-рой переменная

интегрирования заменена этим пределом, т.е.

[pic].

Док-во: По формуле Ньютона-Лейбница имеем:[pic][pic].

Следовательно, [pic]

=[pic].

Это значит, что определенный интег-л с переменным верхним пределом есть

одна из первообразных подынтегральной функции.