| |||||
МЕНЮ
| Вычислительные методы алгебры (лекции)Вычислительные методы алгебры (лекции)§1. Учет погрешностей вычислений. При решении математических задач могут возникнуть погрешности по различным причинам: 1. При составлении математической модели физического процесса или явления приходится принимать условия, упрощающие постановку задачи. Поэтому математическая модель не отражает реальный процесс, а дает его идеализированную картину. Погрешность, возникающая при этом, называется погрешностью постановки задачи. 2. Часто приходится для решения задачи применять приближенный метод (интеграл заменяют квадратурной суммой, производную заменяют разностью, функцию – многочленом). Погрешность, возникающая при этом, называется погрешностью метода. 3. Часто исходные данные заданы не точно, а приближенно. При выполнении вычислений погрешность исходных данных в некоторой степени переходит в погрешность результата. Такая погрешность называется погрешностью действий. 4. Погрешность, возникающая при округлении бесконечных и конечных десятичных чисел, имеющих большее число десятичных знаков, чем надо в округлении, называется погрешностью округления. Определение. Пусть х – некоторое число, число а называется его приближенным значением, если а в определенном смысле мало отличается от х и заменяет х в вычислениях, [pic]. Определение. Погрешностью [pic] приближенного значения а числа х называется разность [pic], а модуль этой погрешностью называется абсолютной погрешностью. Если [pic], то а взято с недостатком. Если [pic], то а взято с избытком. Определение. Границей погрешности приближенного значения а числа х называется всякое неотрицательное число [pic], которое не меньше модуля погрешности: [pic]. Говорят, что приближение а приближает число х с точностью до [pic], если [pic], [pic], [pic]. Пример. Пусть а=0,273 – приближенное значение х с точность до 0,001. Указать границы, в которых заключается х. [pic] При округлении чисел считают, что границы погрешности округления равна половине единицы округляемого разряда: [pic], ? – порядок округления разряда. Определение. Относительной погрешностью приближенного значения а числа х называется отношение [pic]. Пример. Округлить до десятых число 27,52 и найти погрешность и относительную погрешность округления: [pic], [pic], [pic]. Также как и абсолютная погрешность относительная погрешность не всегда может быть вычислена и приходится оценивать ее модуль. Модуль относительной погрешности выражается в процентах. Чем меньше модуль относительной погрешности, тем выше качество приближения. Определение. Границей относительной погрешности приближенного значения а числа х называется всякое неотрицательное число [pic], которое не меньше модуля относительной погрешности: [pic]. Установим связь между границами погрешностей абсолютной и относительной: [pic] - граница относительной погрешности; [pic] - граница абсолютной погрешности. [pic]. |
ИНТЕРЕСНОЕ | |||
|