реферат, рефераты скачать
 

Геометрия Лобачевского


Геометрия Лобачевского

Реферат

З геометрії

На тему:

"Геомтрія Лобачевського"

Виконав

Учень 10-А класу

Середньої школи № 96

Коркуна Дмитро

Львів 2000

Нехай тепер АОВ – деякий гострий кут. (рис1) В геометрії Лобачевського

можна вибрати таку точку М на стороні ОВ, що перпендикуляр MQ до сторони ОВ

не перетинається з другою стороною кута. Цей факт як раз підтверджує, що не

виконується п'яте правило: сума кутів ( і ( є менше розгорнутого кута, але

прямі ОА і MQ не перетинаються. Якщо почати зближувати точку М до О, то

найдеться така "критична" точка М0, що перпендикуляр M0Q0 до сторони OB

поки що не перетинається зі стороною ОА, але для любої точки М`, яка

лежить між О і М0, відповідаючий перпендикуляр М`Q` перетинається зі

стороною ОА. Прямі ОА і M0Q0 все більше приближаються одна до одної, але

спільних точок не мають. На рис.2 ці прямі зображено окремо; а саме такі

необмежено наближаються одна до одної прямі Лобачевський в своїй геометрії

називає паралельними. А два перпендикуляра до одної прямої, які необмежено

віддаляються один від одного, як на рисунку Лобачевський називає прямими,

які розходяться. Виявляється, що цим і обмежуються всі можливості

розміщення двох прямих на площині Лобачевського: дві неспівпадаючі прямі,

які або перетинаються в одній точці, або паралельні , або можуть бути

такими, що розходяться (в цьому випадку вони мають єдиний спільний

перпендикуляр)

На рис. 3 перпендикуляр МQ до сторони ОВ кута АОВ не перетинається зі

стороною ОА, а прямі ОВ` , М`Q` симетричні прямим ОВ і MQ відносно ОА.

Дальше |ОА| = |MB|, так як MQ – перпендикуляр до відрізка ОВ` в його

середині і аналогічно M`Q` – перпендикуляр до відрізка ОВ` в його середині.

Ці перпендикуляри не перетинаються, тому не існує точки, одинаково

віддаленої від точок О,В,В`, отже трикутник ОВВ` не має описаного кола.

На рис. 4 зображено цікавий варіант розташування трьох прямих на

площині Лобачевського: кожні дві із них паралельні, тільки в різних

напрямках. А на рис. 5 всі прямі паралельні одна одній в одному напрямку

(пучок паралельних прямих). Лінія позначена пунктиром на рис.5

"перпендикулярна" всім проведеним прямим (тобто дотична до цієї лінії в

любій її точці М перпендикулярна прямій, яка проходить через М.). Ця лінія

називається граничною кола, або орициклом. Прямі розглянутого пучка ніби

являються її "радіусами", а центр граничної кола лежить в нескінченності,

оскільки "радіуси" паралельні. В той же час гранична кола не являється

прямою лінією, вона "викривлена". І інші властивості, які в евклідовій

геометрії має пряма, в геометрії Лобачевського виявляються властивими

другим лініям. Наприклад, з множини точок, які знаходяться на одній

стороні від даної прямої на даній відстані від неї, в геометрії

Лобачевського являють собою криву лінію, яка називається єквидистантою.

Ми коротко торкнулися деяких факторів геометрії Лобачевського, не

згадуючи багатьох інших цікавих і змістовних теорем (наприклад, довжина

кола і площа круга тут зростає в залежності від радіуса по показниковому

закону). Виникає переконання, що ця теорія багата дуже цікавими і

змістовними фактам, насправді не суперечлива. Але це переконання (яке було

у всіх трьох творців неєвклідової геометрії) не замінює доведення

несуперечливості.

Щоб дістати таке доведення , треба побудувати модель. І Лобачевський це

добре розумів і намагався її знайти.

Але сам Лобачевський вже не зміг цього зробити. Побудова такої моделі

(доведення несупечливості геометрії Лобачевського) випало на долю

математиків наступного покоління.

В 1868 р. італійській математик Є. Бельтрамі дослідив зігнуту

поверхність, яка називалась псевдосферою, і довів, що на цій поверховості

діє геометрія Лобачевського! Якщо на цій лінії намалювати найкоротші лінії

("геодезичні") і вимірювати по цим лініям відстані, складати з дуг цих

ліній трикутники тощо, то вияявляється, що в точності реалізуються всі

формули геометрії Лобачевського (зокрема сума кутів будь-якого трикутника

дорівнює менше 1800). Правда, на псевдосфері реалізується не вся площина

Лобачевського.

Клейн бере деякий круг К и розглядає такі проективні перетворення

площини, які відображають круг К на себе. "Площину" Клейн називає

внутрішність круга К, а вказані проективні перетворення вважає "рухом" цієї

"площини". Дальше кожну хорду круга К (без кінців оскільки беруться тільки

внутрішні точки круга) Клейн вважає "прямою". Оскільки, "рух" являє собою

проективні перетворення, "прямі" при цих рухах переходять в "прямі". Тепер

в цій "площині" можна роздивлятися відрізки, трикутники тощо. Дві фігури

називаються рівними, якщо кожна з них може бути перетворена в іншу деяким

"рухом". Так само введені всі поняття, які згадуються в аксіомах в цій

моделі. Наприклад, очевидно, що через будь-які дві точки А, В проходить

єдина пряма. Також , можна прослідкувати, що через точку А, яка не лежить

на прямій (, проходить нескінченно багато прямих , які не перетинають (.

Пізніша перевірка показує, що в моделі Клейна виконуються и всі інші

аксіоми геометрії Лобачевського. Частково для будь-якої прямої l існує

"рух"., перетворюючи її в другу пряму l` з віміченою точкою А`. Це дозволяє

перевірити виконання всіх аксіом геометрії Лобачевського.

-----------------------

[pic]

[pic]


ИНТЕРЕСНОЕ



© 2009 Все права защищены.