Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью

диф. Включений (2) очевидна. Имея уравнение (1) с разрывной f(t, x)

необходимо заменить значение [pic] в точке разрыва [pic] некоторым

множеством. Это множество должно быть ограниченным, выпуклым, замкнутым.

Кроме этого оно должно включать все предельные значения [pic]при (t,

x)[pic]. После такой замены (для любой точки разрыва) вместо (1) получаем

диф. включение (2), в котором многозначная функция[pic] удовлетворяет

перечисленным требованиям.

Однако, в некоторых случаях множество [pic] в (2) в точках разрыва

функции [pic] нельзя определить, зная только значения функции [pic] в

точках ее непрерывности.

Пример 4.

В механической системе с сухим трением:

[pic],

[pic]масса тела, [pic]его отклонение, [pic]упругая сила, [pic]сила

трения, являющаяся нечетной и разрывной при [pic]=0 функцией скорости

[pic], [pic]-внешняя сила. Трение покоя [pic] может принимать любые

значения между своим наибольшим и наименьшим значениями [pic] и -[pic].

Если [pic]=[pic][pic], то применимо доопределение [pic]. Если же

[pic]>[pic][pic], то движение с нулевой начальной скоростью зависит не

только от значений функции в областях ее непрерывности, но и от величины

[pic]. Доопределение А тогда неприменимо. В обоих случаях систему можно

записать в виде включения (2). Множество [pic] при [pic]– точка, а при v=0

– отрезок, длина которого зависит от [pic].

Следовательно, множество [pic] не всегда определяется предельными

значениями функции [pic]из (1), и в общем случае это множество надо

задавать, используя какие-то сведения о рассматриваемой системе.

Необходимость охватить такие системы приводит к следующему способу

построения множества F(t,x).

Рассмотрим систему

[pic],

(6)

где [pic], вектор-функция [pic] непрерывна по совокупности

аргументов, а скалярные или векторные функции [pic] разрывны соответсвенно

на множествах [pic], i=1,…,r, которые могут иметь общие точки и даже

совпадать. В каждой точке (t, x) разрыва функции [pic]задается замкнутое

множество [pic]- множество возможных значений аргумента [pic] функции

[pic]. Предполагается, что при [pic] аргументы [pic]и [pic]могут независимо

друг от друга пробегать соответственно множества [pic]и [pic]. Обычно, это

условие выполнено, если функции [pic]и [pic] описывают различные

независимые составные части (блоки) физической системы. В точках, где

функция [pic] непрерывна, множество [pic] состоит из одной точки [pic]. В

точках, разрыва функции [pic] необходимо, чтобы множество [pic] содержало

все точки, предельные для точек любой из последовательностей вида [pic],

где [pic] k=1,2,…(или [pic], где [pic][pic] k=1,2,…). Потребуем, чтобы

множество [pic] было выпуклым (если [pic] - скалярная функция, то [pic]-

отрезок или точка).

Пусть

[pic] (7)

множество значений функции [pic], когда t, x постоянны, а [pic]

независимо друг от друга пробегают соответственно множества [pic].

Определение 4.

Решением диф. уравн. (6) называют решение диф. включения (2), где

[pic](или [pic], где [pic]- наименьшее выпуклое множество, содержащее

множество [pic]).

Частными случаями такого способа построения функции F(t,x) является

как доопределение А, так и изложенные ниже Б и В.

Б. Доопределение методом эквивалентного уравнения

(управления).

Применяется к уравнениям вида (6), где f – непрерывная вектор-функция,

[pic] - скалярная функция, разрывная только на гладкой поверхности

[pic]1,…, r. Допускоются пересечения и даже совпадения этих поверхностей.

В точках, принадлежащих одной или одновременно нескольким

поверхноостям, например [pic],…, Sm ([pic], полагают (если решение не

может сойти тут же с такой поверхности или с пересечения этих поверхностей)

[pic], (8)

где эквивалентные управления [pic] определяются так, чтобы вектор

[pic] в (8) касался поверхностей [pic],…, Sm и чтобы значение

[pic]содержалось в отрезке с концами [pic], где [pic] – предельные значения

функции [pic] с обеих сторон поверхности [pic], i=1,…, m. Т.о., функции

[pic] определяются из системы уравнений

[pic].

Определение 5.

Решением (6) называется абсолютно непрерывная вектор-функция, которая

вне поверхностей [pic] удовлетворяет уравнению (6), а на этих поверхностях

и их пересечениях – уравнениям вида (8) (при почти всех t ).

Например, в случае [pic] конец вектора [pic] лежит на пересечении

касательной к S в точке x с дугой abc , которую пробегает конец вектора

f(t,x,u), когда u изменяется от [pic]до [pic]:

Рис. 4.

С геометрической точки зрения, метод эквивалентного управления

предполаглет замену разрывного управления на границе разрыва, где оно не

определено, ненпрерывным управлением, которое направляет вектор скорости в

пространстве состояний системы вдоль пересечения поверхностей разрыва.

Например, в системе c одной поверхностью разрыва [pic] для нахождения этого

вектора в некоторой точке (t, x) нужно построить годограф f(t, x, u),

изменяя скалярное управление от [pic], и найти точку его пересечения с

касательной плоскостью. Точка пересечения определяет [pic] диф. уравнения

(8) (для r=1 (8) примет вид [pic][pic]).

Уравнение (6), доопределенное указаным образом, сводится к диф.

включению [pic]. Множество [pic] определено в (7), где [pic] – отрезок с

концами [pic] и [pic]; для тех [pic], которые непрерывны в точке (t,x),

[pic] является точкой [pic].

Правая часть (8) есть вектор с концом в точке пересечения множества

[pic]с касательной к пересечению поверхностей [pic],…, Sm. На рис. 4

множество [pic] – дуга abc, а правая часть (8) – вектор xb.

Доопределение А было обосновано лишь для скалярного случая (u -

скалярная функция) и лишь с помощью предельных переходов для частных

случаев неидеальностей, доопределение Б применимо и в случае векторной

разрывной динамической системы (т.е. управляющее воздействия приложены к

различным точкам объекта и управление u является векторной величиной ),

описываемой уравнениями

[pic]

(9)

x,f - n-мерные векторы-столбцы, [pic] - координаты системы, [pic]-

непрерывные функции по всем аргументам ([pic]), u - m-мерный вектор-

столбец, каждая компонента которого [pic] претерпевает разрывы на

поверхности [pic]:

[pic]

i=1, …, m, [pic], [pic] ([pic]),[pic] - непрерывные функции. Если

положить [pic], то [pic].

Для доопределения уравнений идеального скольжения используют метод

эквивалентного управления [7]: в уравнение модели (9) вместо [pic]

подставить [pic], которые являются решениями уравнения

[pic],

где строки матрицы G={[pic]} размерности [pic] являются градиентами

функций [pic]. Очевидно, что при начальном значении [pic] в силу условия

(10) дальнейшее движение будет происходить по траекториям, лежащим на

многообразии S(x)=0.

Пример 5.

Получить уравнение скольжения для разрывной системы:

[pic]

В любой точке прямой разрыва S=0 (т.е. при [pic]) выполняются условия

возникновения скользящего режима [pic], а уравнение метода эквивалентного

управления (10) имеет вид:

[pic].

Найдем эквивалентное управление из уравнения [pic], откуда [pic],

подставим его в первое уравнение системы (учитывая [pic]):

[pic]

Замечание.

Метод Филиппова, примененный к рассматриваемой системе, согласно (4)

приводит к уравнению [pic] движения по прямой S=0.

В. Общее дополнение.

Оно применяется к уравнениям вида (6), где функция f непрерывна по t,x,

[pic], а каждая из функций [pic] разрывна только на поверхности [pic],

i=1,…, r.

Пусть [pic]и [pic] те же, что в Б, а [pic] – наименьшее выпуклое

замкнутое множество, содержащее множество [pic].

Определение 6.

Решением уравнения (6) называется решение включения

[pic]

(10)

Движение по поверхности разрыва S (S(x)=0) может происходить только со

скоростью [pic], где K(t,x)– пересечение множества с плоскостью,

касательной к S в точке x. На рис. 4 множество [pic]- наименьшее выпуклое

замкнутое множество, содержащее дугу abc. Если эта дуга лежит в одной

плоскости, то множество [pic] – сегмент между этой дугой и ее хордой,

заштрихованный на рисунке, а K(t,x) – отрезок, являющийся пересечением

этого сегмента с касательной к S в точке x.

Если функция f нелинейна по [pic], то, вообще говоря, множество K(t,

x) содержит более одной точки и скорость движения по S определяется

неоднозначно.

Сравнение определений.

Сравним определения А, Б, В.

Уравнение (6) можно записать в виде (1) и применить к нему определение

А. Т.к. при этом множнство [pic] содержит множества [pic] и [pic] из (2) и

(7), то каждое решение в смысле определения А и каждое решение в смысле

определения Б являются так же решением в смысле определения В. Обратно,

вообще говоря, неверно: на рис. 4 множество F – хорда ac, [pic] - дуга abc,

[pic]- заштрихованный сегмент.

Если же функция f линейна по [pic], то [pic] и определения Б и В

совпадают. Если, кроме того, все поверхности [pic] различны и в точках их

пересечения векторы нормалей линейно независимы, то множества F, [pic]и

[pic]совпадают, тогда совпадают и все три определения А, Б, В.

Глава III

Исследование устойчивости для дифференциальных

уравнений с разрывными правыми частями.

§1.Определение устойчивости. Метод функций Ляпунова.

Теория устойчивости создана в 90-х годах 19 в. А.М. Ляпуновым (в 1892

г. появилась знаменитая докторская диссертация “Общая задача об

устойчивости движения”). Эта теория нашла широкое применение не только в

математике, механике, технике, но и в химии, термодинамике, синергетике.

Очень бльшую роль играет решение прроблемы устойчивости движения в небесной

механике. На теории Ляпунова базируется современная наука о полете

искусственных спутников Земли.

Определение устойчивости и асимптотической устойчивости решений диф.

уравнений с непрерывной правой частью приводится, например, в [4]. Теория

устойчивости движения занимается исследованием влияния возмущающих факторов

на движение матариальной системы (под возмущающим фвкторами понимают силы,

не учитываемые при написании движения вследствие их малости по сравнению с

основными силами); устойчивость по Ляпунову – это близость законов

изменения состояния во времени для невозмущенного и возмущенного движений.

Сводя вопрос устойчивости невозмущенного движения к вопросу устойчивости

положения равновесия, А.М. Ляпунов связывал факт устойчивости или

неустойчивости с наличием функции V(t, x) – функции Ляпунова, производная

которой по времени, взятая согласно системе диф. уравнений, обладает

определенными свойствами. Метод функций Ляпунова является одним из наиболее

эффективных методов исследования систем автоматического управления.

Значение этого метода далеко не исчкрпывается возможностью установления

факта устойчивости или неустойчивости исследуемой системы. Но в данной

работе ограничимся только этим.

Метод функций Ляпунова переносится и на случай разрывной правой части

системы

[pic].

(1)

Как было показано в первой главе, уравнения (1) сводятся к диф.

включениям

[pic]

(2)

Для диф. включений имеются два типа устойчивости: устойчивость и слабая

устойчивость.

Определение 1.

Решение [pic] дифференциального включения (2) называется устойчивым

(соответственно слабо устойчивым), если для каждого [pic] существует такое

[pic], что для каждого такого [pic], что [pic], каждое решение

(соответственно некоторое решение) [pic] с начальным условием [pic] при

[pic] существует и удовлетворяет неравенству

[pic] ([pic]).

Асимптотическая устойчивость и слабая асимптотическая устойчивость

определяются аналогично, но с дополнительным условием [pic]

Пример 1.

[pic]([pic]). Решение [pic]асимптотически устойчиво. При [pic] любое

другое решение достигает положения равновесия x=0 за конечное время, а при

[pic] за бесконечное время.

Пример 2.

[pic], F(x) – отрезок с концами kx и mx. [pic]- решение. Для других

решений имеем

[pic]

При [pic] асимптотически устойчиво,

при [pic] устойчиво,

при [pic] слабо асимптотически устойчиво,

при [pic] неустойчиво.

Для диф. уравнений с непрерывной правой частью известны теоремы

Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости [4]. В работе

[17] сформулированы подобные теоремы для разрывных систем (1). Но для

таких уравнений функция Ляпунова V(t,x) может не принадлежать [pic].

Для функции [pic] (т.е. имеются непрерывные производныепервого порядка)

определяются верхняя и нижняя производные в силу диф. включения (2):

[pic]

При почти всех t производная [pic]существует и удовлетворяет включению

(2). При этих t существует

[pic] (3)

Теорема 1.

Пусть в замкнутой области D ([pic]) для всех [pic] - непустое,

ограниченное, замкнутое, выпуклое множество и функция [pic]-непрерывна по

t, x; [pic] и существуют функции [pic], для которых[pic].

Тогда:

1) Если [pic] в D, то решение [pic] включения (2) устойчиво.

2) Если, кроме того, существуют функции [pic] [pic] причем [pic],

[pic], ([pic]),[pic], то решение [pic] асимптотически устойчиво.

Известные доказательства этих утверждений для диф. уравнений [4]

остаются справедливыми и для диф. включений; при этом для оценки сверху

функции V(t, x(t)) используют соотношение (3).

Теорема 2.

Если выполнены условия теоремы 1, но с заменой [pic], то решение [pic]

слабо устойчиво в случае 1) и слабо асимптотически устойчиво в случае 2).

Доказательство теоремы 2 приведено в [17].

Рассмотрим теперь случай, когда функция Ляпунова [pic], но

удовлетворяет условию Липшица в окрестности каждой точки области D. Тогда

для любой абсолютно непрерывной функции x(t), значит и для любого решения,

сложная функция V(t, x(t)) абсолютно непрерывна и почти всюду имеет

производную по t. Однако решение может в течение некоторого промежутка

времени идти по линии или поверхности, на которой grad V не существует, и

производную dV/dt, нельзя, как в случае [pic], представить в виде

[pic]

Для [pic]:

[pic].

(4)

В случае функции V(t, x), удовлетворяющей условию Липшица, верхнюю и

нижнюю производные [pic] от функции V в силу включения (2) можно

определить как sup и inf правой части (4) по всем [pic]. Тогда теоремы 1и 2

сохраняются.

Пример 3.

Если [pic], то нельзя пренебрегать отысканием dV/dt на линиях

поверхностях разрыва функции f(t, x) даже в случае доопределения А.

[pic]

Но этого недостаточно для применения теоремы 1, т.к. производные [pic]

разрывны на осях координат, т.е. там же, где разрывны правые части системы.

На оси Ox при доопределении А:

[pic]

[pic], и условия теоремы 1 не выполнены. Тот же результат получается

по формуле (4) при h=0:

[pic].

Т.к. на оси Ox имеем [pic], то решения по оси удаляются от точки (0, 0)

со скоростью 1 и решение [pic] неустойчиво

§2. Некоторые сведения теории дифференциальных

уравнений с импульсным воздействием.

При математическом описании эволюции процессов с кратковременными

возмущениями часто длительностью возмущения пренебрегают и считают, что эти

возмущения носят “мгновенный” характер. Такая идеализация приводит к

необходимости исследовать динамические системы с разрывными траекториями

или, как их еще называют, диф. уравн. С импульсным воздействием.

Определение таких систем приведено [12], они задаются

а) системой диф. уравн.

[pic]

(5)

б) некоторым множествам Ft, заданным в расширенном фазовом

пространстве,

в) оператором At, заданным на множестве Ft и отображающем его на

множество [pic].

Сам процесс происходит следующим образом: изображающая точка [pic],

выйдя из точки (t0, x0), движется по кривой {t, x(t)}, определяемой

решением x(t) = x(t, t0, x0) системы уравнений (1). Движение по этой кривой

осуществляется до момента времени t = t1 > t0, в который точка (t, x(t)),

встречается с множеством Ft (попадает в точку множества Ft). В момент

времени t = t1 точка Pt “мгновенно” перебрасывается оператором At из

положения [pic] в положение [pic]и движется дальше по кривой {t, x(t)},

которая описывается решением [pic] системы уравнений (1). Движение по

указанной кривой происходит до момента времени t2 > t1, в которой точка Pt

снова встречается с множеством Ft. В этот момент под действием оператора At

точка Pt мгновенно перескакивает из положения [pic] в [pic]и движется

дальше по кривой {t, x(t)}, описываемой решением [pic] системы уравнений

(1), до новой встречи с множеством Ft и т.д.

Совокупность соотношений а) – в) называют системой диф. уравнений с

импульсным воздействием.

Кривую {t, x(t)} описываемую точкой Pt называют интегральной кривой,

а функцию x = x(t), которая задает эту кривую – решением системы (1).

Систему диф. уравнений с импульсным воздействием (совокупность

соотношений а)- в)) можно записать в более компактной форме:

[pic]

(6)

Т.о., решение системы уравнений (2) [pic] - это функция,

удовлетворяющая уравнению (5) вне множества Ft и имеющая разрывы первого

рода в точках Ft со скачками

[pic]

[pic] - состояние системы до и после скачка в момент времени t1.

В зависимости от характера импульсного воздействия выделяют несколько

видов таких уравнений. Рассмотрим систему с нефиксированными моментами

импульсного воздействия, т.е. системы, подвергающиеся импульсному

воздействию в момент попадания изображающей точки Pt на заданные

поверхности [pic] расширенного фазового пространства. Тогда система (6)

примет вид:

[pic]

(7)

Устойчивость в системах с нефиксированными моментами

импульсного воздействия.

Определение 2.

Решение x(t) системы уравнений (7), определенное при всех t?t0,

называется устойчивым по Ляпунову, если для произвольных чисел [pic] и

[pic] существует такое число [pic], что для любого другого решения y(t)

уравнений (7) из того [pic], что следует, что[pic] при всех t?t0 таких, что

[pic], где [pic] – моменты пересечения интегральной кривой решения x(t)

поверхностей [pic].

Определение 3.

Решение x(t) системы уравнений (7) называется асимптотически

устойчивым, если оно устойчиво в определенном выше смысле и если можно

указать такое число [pic], что для любого другого решения этой системы

уравнений, удовлетворяющего неравенству [pic] имеет место предельное

равенство: [pic].

Вопрос исследования устойчивости некоторого решения уравнения (7), как

и в случае обыкновенных диф. уравнений, можно свести к вопросу исследования

устойчивости тривиального решения некоторой новой системы уравнений с

импульсным воздействием. Эта процедура описана в [12], в результате которой

получим систему диф. уравн. с импульсным воздействием:

[pic]

(8)

где [pic] т.е. решение x=x(t) системы (7) перешло в положение

равновесия системы (8).

Вопрос устойчивости нулевого решения системы (8) можно решить с помощью

прямого метода Ляпунова (метод функций Ляпунова).

Теорема 3.

Если существует положительно-определенная функция, удовлетворяющая в

некоторой области D неравенствами

[pic] (9)

то тривиальное решение системы уравнений (8) устойчиво.

Если же вместо второго из неравенств (9) потребовать, чтобы выполнялось

неравенство

[pic]

для всех [pic]- непрерывная при [pic] функция, [pic], то нулевое

решение уравнений (8) асимптотически устойчиво.

Пример 4.

Исследовать вопрос устойчивости нижнего положения маятника,

подверженного импульсному воздействию, динамика которого описывается

уравнениями:

[pic],

[pic]

В качестве функции Ляпунова возьмем полную механическую энергию

невозмущенного маятника [pic] находим

[pic].

Независимо от свойств поверхностей [pic] выполняются условия теоремы

(3), следовательно, нулевое решение исходной системы уравнений устойчиво.

§3. Связь рассматриваемых теорий.

Теория систем с разрывной правой частью может быть сведена к теории

диф. уравнений с импульсными возмущениями, а именно к системам с

нефиксированными моментами импульсного воздействия, определение которых

было дано в §2.

Пусть задана система

[pic]

(10)

где функция f(t, x) претерпевает разрыв на поверхности S: S(t, x)=0.

Тогда множества [pic], фигурирующие в определении импульсной системы, для

системы (10) примут вид:

[pic]

где оператор [pic] действует по закону

[pic]

Если S(t, x)=0 разрешимо относительно t: [pic], то систему (10) можно

записать в виде:

[pic] (11)

Второе уравнение системы (11) дает возможность решению уравнения (10)

сойти с поверхности разрыва. Т.о., диф. уравнения с разрывной правой частью

можно подвергнуть импульсному воздействию в момент прохождения изображающей

точки поверхности разрыва.

Решение X(t) системы (10), сведенной к системе (11) будет строиться

следующим образом. Пусть задано начальное условие [pic]. Тогда для [pic]

функция X(t) совпадает с решением системы (10) при условии [pic] Для [pic]

функция X(t) совпадает с решением системы (10) при условии [pic]; для [pic]

– с решением системы (10) при условии [pic] и т.д. Каждое решение x(t)

будет представлять собой непрерывную функцию.

Но указанный способ построения решения системы (10) не позволяет

доопределить f(t, x) на поверхности разрыва (как при доопределениях А, Б,

В), так как осуществляется перескок [pic]через поверхность [pic]. В этом

случае система (10) сводится к диф. включению

[pic]

(12)

где М – множество точек пересечения интегральной кривой поверхностей

разрыва [pic] в моменты [pic].

Тогда решение x(t) ([pic]) диф. включения (12) устойчиво по Ляпунову,

если для произвольных чисел [pic] существует такое число [pic], что для

любого другого решения [pic] включения (12) из того, что [pic]следует, что

[pic] при всех [pic] таких, что [pic], где [pic] – моменты пересечения

интегральной кривой решения x(t) поверхностей [pic].

Теорема 4. Достаточное условие отсутствия биения решений.

Пусть при [pic] функции [pic]2, 3,… непрерывны, а функции [pic]

удовлетворяют условию Липшица, т.е.

[pic] при всех i=1, 2, …, [pic],

и неравенству

[pic].

Тогда, если число h достаточно мало, то интегральная кривая любого решения

системы уравнений (8) x(t) , определенного при всех [pic] и лежащего в

области

[pic],

пересекает каждую поверхность [pic] только один раз.

Доказательство этой теоремы приведено в [12].

Теорема 5.

Если решение x(t) включения (12), определенное при всех [pic]

устойчиво по Ляпунову, то оно является устойчивым и для системы (8). Верно

и обратное.

Доказательство.

Пусть выполнены условия теоремы 4, т.е. исключим случай биения решения

уравнения (8) о поверхности [pic].

Решение x(t)=0 включения (12) устойчиво. Докажем, что оно будет

устойчивым и для системы (8).

Для диф. включения (12) существует определенно-положительная функция

V(t, x), удовлетворяющая неравенству

[pic].

При почти всех t производная [pic]существует и удовлетворяет включению

(12). При этих t существует и

[pic],

т.е. выполнено первое неравенство теоремы 3.

Т.к. [pic] где M – множество точек пересечения интегральной кривой

поверхностей разрыва [pic] в моменты [pic], то указанная функция V(t, x) ,

будет удовлетворять и второму неравенству :

[pic].

Т.о., выполнены условия теоремы 3 и решение x(t)=0 системы (8)

устойчиво.

Обратно доказывается аналогично.

Заключение.

В связи с теорией релейных систем, систем с переменной стуктурой,

реализацией законов оптимального управления и иных разрывных систем

управления изучается общая теория разрывных систем. Эта теория восходит к

задачам механики, где впервые изучались системы с сухим трением в трудах П.

Пенлеве (1895 г. “Лекции о трении”) и Аппеля П.

В теории систем с разрывной правой частью учитываются как инженерно-

физические, так и чисто математические соображения. Эта теория обеспечивает

возможность математического исследования указанных систем, т. е. включает

стандартные теоремы существования решений, их проджолжимости, теоремы

качественной теории. Во второй главе приведено определение решения

разрывных систем А.Ф. Филиппова. Как было отмечено, это определение

соответствует минимальному возможному построению множества F(t, x) среди

всех допустимых. Помимо определения Филиппова имеются и другие определения

решений разрывных систем и диф. включений: Айзермана и Пятницкого [1]

Викторовского [6], Матросова [8].

Теория систем с разрывными правыми частями основывается на теории

дифференциальных включений, развитой Маршо и Зарембой (1934 г.), затем

дополненной многочисленными авторами, в частности Важевским (1961 г.) и др.

Связь этих теорий указана в §2 главы II. В третьей главе эти системы

сводятся к системам дифференциальных уравнений с импульсным воздействием.

Сформулирована и доказана теорема об устойчивости таких систем.

Литература.

1. Айзерман М. А., Пятницкий Е. С. Основы теории разрывных систем I, II. –

Автоматика и телемеханика, 1974, № 7, 33-47, № 8, 39-61.

2. Алимов Ю. И. Об устойчивости в целом равновесного состояния нелинейных

систем автоматического регулирования. – Известия вузов, Радиофизика,

1959, 2, № 6.

3. Андронов А. А., Витт А.А., Хайкин Р.Э. Теория колебаний. – М.:

Физматгиз, 1959.

4. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. – М.: Наука, 1967.

5. Барбашин Е.А., Алимов Ю.И. Ктеории релейных дифференциальных уравнений.

– Известия вузов, сер. матем., 1962, № 1, 3-13.

6. Викторовский Е.Е. Об одном обобщении понятия интегральных кривых для

разрывного поля направлений. – Математический сборник, 1954, 34, № 2,

213-248.

7. Гелиг А.Х., Леонов Г. А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с

неединственным состоянием равновесия. – М.: Наука, 1978.

8. Матросов В.М. О дифференциальных уравнениях и неравенствах с разрывными

правыми частями I, II. – Диф. уравн.,1967, 3, № 3, 395-409; № 5, 869-

878.

9. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных коледаний. –

М.: Наука, 1972.

10. Неймарк Ю.И. о скользящем режиме релейных систем автоматического

регулирования. – Автоматика и телемеханика, 1957, 18, № 1.

11. Рожко В.Ф. Устойчивость по Ляпунову в разрывных динамических системах.

– Диф. уравн., 1975, 11, № 6 1005-1012.

12. Самойленко А.М. Пересчук Н.А. Системы диф. уравн. с импульсным

возмущением. М.: Наука, 1987.

13. Терия систем с переменной структурой / Под ред. Емельянова С. В. – М.:

Наука, 1981.

14. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. – М.:

Наука,1981.

15. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной

структурой. – М.: Наука, 1974.

16. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. –

Математический сборник, 1960, 51, № 1, 99-128.

17. Филиппов А.Ф. дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. –

М.: Наука, 1985.

18. Филиппов А.Ф. Система диф. уравн. с несколькими разрывными функциями. –

Математические заметки, 1980, 27, № 2, 255-266.

19. Филиппов А.Ф. Устойчивость для диф. уравн. с разрывными и многозначными

правыми частями. – Диф. уравн., 1979, 15, № 6, 1018-1027.

-----------------------

ueq

Fтр

Поверхность разрыва

[pic]

f -

f +

G -

f +

G -

f -

f 0

f +

f -

f +

-2

G+

G -

(x,t)

u - (t,x)

u + (t,x)

Страницы: 1, 2

МЕНЮ

Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью

ИНТЕРЕСНОЕ